Astrofizyka/Kwantowy oscylator harmoniczny

Oscylator harmoniczny jest układem fizycznym, który ma duże zastosowanie i znaczenie w wielu działach fizyki.

Jest to ciało o masie m, na które działa siła proporcjonalna do wychylenia z przeciwnym zwrotem $F=-kx$. Ponieważ siła F= - ∂U/∂x, to układ opisany jest przez potencjał:

$U(x)=\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2.$

Jego energia całkowita jest równa:

$E=\frac{1}{2}m{v}^2+U(x)=\frac{p^2}{2m}+U(x)$

gdzie pęd p=mv. W mechanice kwantowej pęd p przechodzi w operator: p=mv⇒p= - iℏ $\frac{d}{dx}$ spełniający regułę komutacyjną [x,p]=iℏ. Wygodnie jest zdefiniować zamiast x, p dwa operatory

$a=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{\frac{m\omega }{\hslash }}x+i\frac{1}{\sqrt{m\omega \hslash }}p),$ $a^{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{\frac{m\omega }{\hslash }}x-i\frac{1}{\sqrt{m\omega \hslash }}p)$

nazywane operatorami anihilacji i kreacji, stąd operator położenia x to

$x=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}(a+a^{+})$

Potencjał oscylatora harmonicznego i kilka pierwszych stanów własnych.

Potencjał oscylatora harmonicznego i kilka pierwszych stanów własnych.

Bozonowy oscylator harmoniczny

Hamiltonian, czyli operator energii, przyjmuje teraz postać

$H=\frac{1}{2}\hslash \omega (a^{+}a+a{a}^{+})$

Operatory $X_i$={I,a,$a^{+}$ ,n=$a^{+}a$} rozpinają algebrę Heisenberga: [a,$a^{+}$ ]=1, [a,a]=[$a^{+}$ ,$a^{+}$]=0, [n,a]= - a, [n,$a^{+}$ ]=$a^{+}$, [I,Xi]=0. Komutator zdefiniowany jest jako [A,B]=A B - B A a antykomutator {A,B}=A B + B A. Hamiltoniam można przekształcić do postaci:

$H=\hslash \omega (n+\frac{1}{2})=\hslash \omega n+E_0$

gdzie $E_0=\frac{1}{2}\hslash \omega$ jest energią stanu podstawowego. Hamiltoniam posiada całą drabinkę stanów własnych H|n> =$E_n$|n> z energiami własnymi:

$E_n=\hslash \omega (n+\frac{1}{2})=\hslash \omega n+E_0$

i stanami własnymi:

$|n>=\frac{1}{\sqrt{n!}}(a^{+}{)}^n|0>.$

Stan podstawowy |0> zdefiniowany jest jako a|0> =0. W tradycyjnym zapisie stan |n> opisuje funkcję falową ${\psi }_n(x)$. Równanie a|0>=0 (lub $a{\psi }_0(x)=0$) jest równaniem różniczkowym którego rozwiązaniem jest funkcja falowa stanu podstawowego:

${\psi }_0=C_0\exp (-\frac{1}{2}{\left(\frac{x}{x_0}\right)}^2)$

gdzie

$x_0=\sqrt{\frac{\hslash }{m\omega }}$

. Operatory kreacji

$a^{+}$

tworzą kolejne funkcje falowe stanów wzbudzonych (stąd ich nazwa – creare (łac.) to tworzyć). Można je wyrazić przez wielomian|wielomiany Hermite'a:

${\psi }_n(x)=\frac{1}{\sqrt{n!}}(a^{+}{)}^n{\psi }_0(x)=C_n{H}_n\left(\frac{x}{x_0}\right){\psi }_0(x)$

gdzie

$H_n(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2}\frac{d^n}{d{x}^n}{e}^{-x^2}.$

Fermionowy oscylator harmoniczny

Fermionowy oscylator harmoniczny opisujemy hamiltonianem:

$H=\frac{1}{2}\hslash \omega (c^{+}c-c{c}^{+})$

Operatory $X_i$={I,c,$c^{+}$ ,n=$c^{+}c$} rozpinają algebrę gradowaną: {c,$c^{+}$ }=1, {c,c}={$c^{+}$ ,$c^{+}$ }=0, [n,c]= - c, [n,$c^{+}$ ]=$c^{+}$, [I,$X_i$]=0. Hamiltonian ten można przekształcić do postaci

$H=\hslash \omega (n+\frac{1}{2})=\hslash \omega n+E_0$

gdzie $E_0$= - $\frac{1}{2}$ℏω jest energią stanu podstawowego. Reguła komutacyjna {$c^{+},c^{+}$}=0 oznacza zakaz Pauliego, istnieje tylko stan próżni |0>, pierwszy stan wzbudzony |1>=$c^{+}$|0>, drugi stan wzbudzony już nie istnieje: |2>=$(c^{+})2|0>=0$, bo z reguł antykomatacyjnych wynika, iż $(c^{+}{)}^2=0$. Fermionowy oscylator harmoniczny zbudowany jest tylko z dwóch stanów, stanu podstawowego |0> i stanu wzbudzonego |1>. Posiada tylko dwie wartości własne $E_0$= - $\frac{1}{2}$ℏω i $E_1$= $\frac{1}{2}$ℏω.

Supersymetria

Bozonowy i ferminowy hamiltonian razem posiada dodatkową symetrię, która miesza bozonowe stopnie swobody z fermionowymi – nazywamy ją supersymetrią,

$H=\frac{1}{2}\hslash \omega (\{a^{+},a\}+[c^{+},c]\}).$

Generowana jest przez operatory: $Q=\sqrt{2\omega }{a}^{+}c$, $Q^{+}=\sqrt{2\omega }{c}^{+}a$, spełniają one relację:

$\{Q,Q^{+}\}=2H.$

Ta własność jest podstawą konstrukcji supersymetycznej teorii pola.

Szablon:Nawigacja