Astrofizyka/Kosmologia Newtonowska

Wyobraźmy sobie dowolne dwie galaktyki oddalone w chwili obecnej $t_0$ o odległość $d{l}_0$. Jeżeli Wszechświat jest dynamiczny i rozszerza się, to ich odległość w chwili t będzie równa:

$dl=a(t)d{l}_0$

a(t) nazywamy czynnikiem skali. Wygodnie jest tak wybrać parametryzacje, by w chwili obecnej $t_0$ czynnik skali $a(t_0)=1$.

Obserwator na jednej z galaktyk będzie widział pozorny ruch z prędkością

$v=\frac{dl}{dt}=\frac{da(t)}{dt}d{l}_0=\dot{a}d{l}_0=\frac{\dot{a}}{a}dl=Hdl$

Jest to słynna zależność Hubble'a, a H jest stałą Hubble'a:

$H=\frac{\dot{a}}{a}=\frac{1}{t_H}$

$t_H$ nazywamy wiekiem Hubble'a. W chwili obecnej stała Hubble'a może być wyrażona przez bezwymiarową wielkość h:

$H_0=H(t_0)=100h\frac{km}{s}\frac{1}{Mpc}$

czas Hubble'a:

$t_H=H_0^{-1}=9.773h^{-1}Gyr$

Przez lata pomiary h dawały 0.4<h<1.0. Obecne pomiary dają

$h=0.7$

U podstaw kosmologii leży zasada kosmologiczna. Wyobraźmy sobie dowolną galaktykę o masie m umieszczoną na powierzchni kuli o dowolnym promieniu l umieszczonej w dowolnym punkcie O. Całkowita energia tej galaktyki jest równa:

$E=\frac{1}{2}m{v}^2+U(l)=\frac{1}{2}m{v}^2-G\frac{Mm}{l}$

M jest masą zawartą w kuli o promieniu l:

$M=\frac{4\pi }{3}{l}^3\rho$

Przypadek z E=0 (realizowany w ogólnej teorii względności) daje:

$v^2=H^2{l}^2=\frac{8\pi }{3}G\rho l^2$

Wynik nie zależy od rozmiaru kuli l (można uprościć przez $l^2$). Ostatecznie otrzymujemy:

$H^2=\frac{8\pi }{3}G\rho$

Wartość stałej Hubble'a w chwili obecnej wyznacza gęstość krytyczną:

$H_0^2=\frac{8\pi }{3}G{\rho }_c$

Wartość ta oraz stała Newtona G dają

${\rho }_c=1.88h^{2}10^{-29}gc{m}^{-3}=2.7710^{11}{h}^2{M}_{S}Mp{c}^{-3}=11.26h^{2}protons{m}^{-3}$

Plik:Newcos.png

W kosmologii ważnym parametrem jest Ω

$\mathrm{\Omega }=\frac{\rho }{{\rho }_c}$

określającym względną gęstość materii w stosunku do gęstości krytycznej. Zakładając zachowanie masy w rozszerzającej się objętości otrzymujemy:

$\rho =\frac{M}{V}=\frac{M}{V_0{a}^3}=\frac{{\rho }_0}{a^3}$

Plik:Townt.png

Pamiętając, że:

$H=\frac{\dot{a}}{a}$

otrzymujemy równanie różniczkowe na czynnik skali:

$\frac{da}{dt}=H_0\sqrt{\frac{\mathrm{\Omega }}{a}}$

Rozwiązaniem tego równania jest:

$a(t)=(\frac{t}{t_0}{)}^{\frac{2}{3}}$

gdzie:

$t_0=\frac{2}{3}\frac{1}{\sqrt{\mathrm{\Omega }}}{t}_H$

jest wiekiem Wszechświata.

Szablon:Nawigacja