Astrofizyka/Grawitacja Newtonowska

Z punktu widzenia mechaniki klasycznej grawitacja jest siłą, z jaką oddziałują na siebie wszelkie ciała obdarzone masą. Prawo powszechnego ciążenia sformułowane przez Izaaka Newtona w Philosophiae Naturalis Principia Mathematica głosi, że:

każde ciało we Wszechświecie przyciąga wszystkie ciała siłą skierowaną wzdłuż prostej łączącej ich środki ciężkości siłą wprost proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między środkami.

Matematycznie związek ten wyraża się wzorem:

$F^i=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}\frac{x^i}{r}=-\frac{\partial U}{\partial x^i}$

We wzorze tym G oznacza stałą grawitacji, jedną z podstawowych stałych fizycznych.

G = 6,6732(31)*10^-11m³kg^-1s^-2.

U(r) jest potencjałem pola grawitacyjnego

$U(r)=-G\frac{m_1{m}_2}{r}.$

$x^i$/r jest wektorem jednostkowym. Masy grawitacyjne $m_1$ i $m_2$ nie muszą być równe masom bezwładnościowym (np. $m_{b,2}$ dla ciała 2) występującym w równaniu Newtona

$m_{b,2}{a}^i=F^i=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}\frac{x^i}{r}.$

Zaobserwowana równość tych mas $m_{b,2}=m_2$ ozmacza, że ruch ciała (2) w polu grawitacyjnym nie zależy od jego masy (Galileusz). Ten fakt jest podstawą ogólnej teorii względności.

Ruch w polu grawitacyjnym wywołany jest przez potencjał:

$U(\overrightarrow{x})=m_2\phi (\overrightarrow{x}).$

Potencjał ten podobnie jak w elektrostatyce jest rozwiązaniem równania Poissona:

$\mathrm{\Delta }\phi (\overrightarrow{x})=4\pi \rho (\overrightarrow{x})$

Cząstka punktowa podobnie jak w elektrostatyce opisana gęstością $\rho (\overrightarrow{x})\sim \delta (r)$ jest proporcjonalna do funkcji Geena równania Poissona:

$\mathrm{\Delta }(\frac{1}{r})=-4\pi \delta (r).$

Stąd dowolne rozwiązanie generowane przez rozkład masy ρ ma postać podobną jak w elektrostatyce:

$\phi (\overrightarrow{x})=-G\int d^3{x}^{\prime }\frac{\rho (\overrightarrow{x^{\prime }})}{|\overrightarrow{x^{\prime }}-\overrightarrow{x}|}.$

Szablon:Nawigacja