Analiza matematyczna/Rachunek różniczkowy

Pochodna funkcji

Spotyka się również inne oznaczenia pochodnej funkcji:

$f^{\prime }(x_0)={\frac{df}{dx}|}_{x_0}={\frac{dy}{dx}|}_{x_0}={\frac{d}{dx}f|}_{x_0}=\dot{f}(x_0)$

Jeżli założymy, że $y=ax+b$ jest równaniem prostej stycznej do wykresu funkcji f, to wartość pochodnej interpretujemy jako współczynnik kierunkowy $a$ prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie $(x_0,f(x_0))$. Możemy zatem zapisać:

$f^{\prime }(x_0)=\tan \alpha$, gdzie $\alpha$ to kąt zawarty pomiędzy styczną do wykresu funkcji a półosią x.

W praktyce przy liczeniu pochodnej korzystać będziemy z tablic i twierdzeń przedstawionych poniżej. Czasami jednak w trudniejszych przypadkach możemy stanąć przed koniecznością skorzystania z definicji. W celu udowodnienia twierdzeń o pochodnych także konieczne będzie skorzystanie bezpośrednio z definicji.

Pochodna sumy funkcji

Szablon:Twierdzenie Przykład $y=x^2+x$
$y^{\prime }=[x^2+x{]}^{\prime }$
$y^{\prime }=[x^2{]}^{\prime }+[x{]}^{\prime }$
$y^{\prime }=2x+1$

Pochodna iloczynu funkcji

Jeżeli liczymy pochodną iloczynu trzech i więcej funkcji, powyższe twierdzenie należy zastosować iteracyjnie, tzn.

$[f(x)\cdot g(x)\cdot h(x)\cdot m(x){]}^{\prime }=$

iloczyn wielu funkcji traktujemy jako iloczyn dwu prostszych funkcji. Następnie korzystamy ze znanego wzoru na pochodną iloczynu dwu funkcji.

$=f^{\prime }(x)\cdot g(x)\cdot h(x)\cdot m(x)+f(x)\cdot [g(x)\cdot h(x)\cdot m(x){]}^{\prime }=$

Powyższy krok powtarzamy tak długo, aż pod znakiem pochodnej nie będzie więcej niż dwie funkcje.

$=f^{\prime }(x)\cdot g(x)\cdot h(x)\cdot m(x)+f(x)\cdot [g^{\prime }(x)\cdot h(x)\cdot m(x)+g(x)\cdot [h(x)\cdot m(x){]}^{\prime }]=$

Ostatecznie otrzymujemy długi, aczkolwiek prosty w wykorzystaniu wzór końcowy:

$=f^{\prime }(x)\cdot g(x)\cdot h(x)\cdot m(x)+f(x)\cdot [g^{\prime }(x)\cdot h(x)\cdot m(x)+g(x)\cdot [h^{\prime }(x)\cdot m(x)+h(x)\cdot m^{\prime }(x)\left]\right]=$

Pochodna ilorazu funkcji

Szablon:Twierdzenie Przykład

$y=\frac{\sin x}{x}$
$y^{\prime }=\frac{(\cos x\cdot x)-(\sin x\cdot 1)}{x^2}$

Pochodne funkcji elementarnych

Funkcja	Pochodna	Uwagi
$c$	$0$	$c\in ℝ$
$x$	$1$
$x^n$	$n{x}^{n-1}$	$n\in ℝ$
$ax+b$	$a$
$a{x}^2+bx+c$	$2ax+b$
$\frac{a}{x}$	$\frac{-a}{x^2}$	$x\ne 0$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\mathrm{tg}x$	$\frac{1}{co{s}^{2}x}$	$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
$\mathrm{ctg}x$	$-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$	$x≠k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x\ln a$	$a>0$
$x^x$	$x^x(1+\ln x)$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$	$x>0$
${\log }_{a}x$	$\frac{1}{x\ln a}$
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$|x|<1$
$\arccos x$	$\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$	$|x|<1$
$\mathrm{arctg}x$	$\frac{1}{1+x^2}$
$\mathrm{arcctg}x$	$\frac{-1}{1+x^2}$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$x>0$
$\sqrt[n]{x}$	$\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$	$x>0$
$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$	$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$	$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
$\mathrm{tgh}x=\frac{\sinh x}{\cosh x}$	$\frac{1}{{\cosh }^{2}x}=\frac{4}{(e^x+e^{-x}{)}^2}$
$\mathrm{artgh}x=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}$	$\frac{1}{1-x^2}$	$|x|<1$
$\mathrm{arctgh}x=\frac{1}{2}\ln \frac{x+1}{x-1}$	$\frac{-1}{1-x^2}$	$|x|>1$
$\ln (x+\sqrt{x^2\pm a^2})$	$\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}$

Ekstremum funkcji

Jeśli pierwsza pochodna funkcji jest w punkcie $x_0$ równa 0 i zmienia tam znak, to funkcja w tym punkcie posiada ekstremum.

1. Jeśli pierwsza pochodna $f^{\prime }(x)$ w punkcie $x_0$ z prawej strony jest ujemna (a z lewej strony dodatnia), to $f(x)$ w punkcie $x_0$ ma maksimum lokalne.
2. Jeśli pierwsza pochodna $f^{\prime }(x)$ w punkcie $x_0$ z prawej strony jest dodatnia (a z lewej strony ujemna), to $f(x)$ w punkcie $x_0$ ma minimum lokalne.

• Jeśli druga pochodna $f^{″}(x)$ w pukcie $x_0$ zmienia znak, to $f(x)$ w punkcie $x_0$ ma punkt przegięcia.

Ekstremum funkcji wielu zmiennych

3xy+2x+1