Analiza matematyczna/Przykład szeregu 5

Rozwinąć w szereg potęgowy funkcje $f(x)=\frac{1}{1+x}$ oraz $g(x)=\ln (x+1)$ w szereg potęgowy o środku w $x_0=0$.

Wzór funkcji $f$ przekształcimy do postaci sumy szeregu geometrycznego:

$f(x)=\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=$

co rozwiniemy właśnie do tego szeregu geometrycznego otrzymując:

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-x{)}^n=$

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{x}^n$

Co jest szukanym rozwinięciem funkcji $f(x)$. Zauważymy również, że:

$g^{\prime }(x)=\frac{1}{x+1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{x}^n$

Całkując wyraz po wyrazie powyższy szereg otrzymamy rozwinięcie funkcji $g(x)$:

$g(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{\int }_0^x{t}^{n}dt=$

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{n+1}}{n+1}$

Na zakończenie należy jedynie zwrócić uwagę, że powyższe rozwinięcia są prawdziwe dla $x\in (-1,1)$ ze względu na przedział zbieżności rozpatrywanego na początku szeregu geometrycznego.