Analiza matematyczna/Przykład szeregu 4

Rozwiń funkcję $f(x)=x\cdot \arctan x$ w szereg potęgowy o środku w $x_0=0$.

Obliczymy pochodną funkcji $\arctan x$:

$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$

Jest to wzór na sumę pewnego szeregu geometrycznego:

$\frac{1}{1+x^2}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-x^2{)}^n$

Mając taką postać szeregu, aby dojść do rozwinięcia funkcji wyjściowej należy scałkować ten szereg wyraz po wyrazie oraz pomnożyć otrzymany szereg przez $x$. Otrzymamy zatem:

$x\cdot \arctan x=x\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{2n}dt=$

$=x\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}=$

Co ostatecznie daje wynik:

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+2}}{2n+1}$