Analiza matematyczna/Przykład szeregu 3

Obliczyć sumę szeregu liczbowego:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n{3}^n}=$

Powyższy szereg zapiszemy inaczej w postaci:

$=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}{\left(\frac{1}{3}\right)}^n$

Szukamy zatem sumy szeregu funkcyjnego

$S(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n}$ dla $x=\frac{1}{3}$

Czynnik liniowy zależny od indeksu $n$ znajduje się w mianowniku, stąd szereg będziemy różniczkować wyraz po wyrazie:

$S^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n}=$

$=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n\cdot \frac{x^{n-1}}{n}=$

$=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^{n-1}=$

co po przeindeksowaniu przyjmie postać:

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=$

Jest to szereg geometryczny, którego suma jest równa:

$=\frac{1}{1-x}$

Wracając do sumy wyjściowego szeregu otrzymujemy:

$S(x)={\int }_0^x\frac{1}{1-t}dt=$

$=-\ln (1-x)$

Co ostatecznie daje nam odpowiedź:

$S(x=\frac{1}{3})=-\ln \frac{2}{3}$