Analiza matematyczna/Przykład szeregu 2

Obliczyć sumę szeregu potęgowego:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2n+2}{3^n}{x}^{2n+1}$

Szereg potęgowy można całkować wyraz po wyrazie, gdy jest jednostajnie zbieżny oraz zmienna $x$ jest w przedziale zbieżności.

Liniowego czynnika w liczniku ułamka pozbędziemy się całkując wyraz po wyrazie (mamy tu na myśli całkę oznaczoną od środka przedziału zbieżności do $x$ - zwróć uwagę, w którym miejscu pojawia się zmienna $x$, a w którym zmienna $t$):

${\int }_0^x\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2n+2}{3^n}{t}^{2n+1}dt=$

Wyrażenie zależne wyłącznie od wskaźnika $n$ możemy wyłączyć przed znak całki:

$=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2n+2}{3^n}{\int }_0^x{t}^{2n+1}dt=$

$=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2n+2}{3^n}\frac{x^{2n+2}}{2n+2}=$

$=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(x^2{)}^{n+1}}{3^n}=$

$=3\cdot \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{x^2}{3}\right)}^{n+1}=$

Po przeindeksowaniu wyrazów nasz szereg otrzyma znaną postać szeregu geometrycznego

$=3\cdot \sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{x^2}{3}\right)}^n=\mathrm{...}=$

którego suma jest równa:

$=\frac{x^4}{3-x^2}$

Zatem ostatecznie dochodzimy do równania:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2n+2}{3^n}{x}^{2n+1}={\left(\frac{x^4}{3-x^2}\right)}^{\prime }=$

$\frac{-2x^5+12x^4}{(3-x^2{)}^2}$

Stąd szukana suma szeregu ma wartość:

$S(x)=\frac{-2x^5+12x^4}{(3-x^2{)}^2}$