Analiza matematyczna/Przykład szeregu 1

Dany jest szereg :

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n+2}{3^n}(x-1{)}^{2n}$

Zadanie:

1. obliczyć jego promień zbieżności,
2. wyznaczyć zbiór zbieżności,
3. obliczyć sumę szeregu

Jest to specyficzny szereg potęgowy, w którym współczynniki przy nieparzystych potęgach $(x-1)$ są równe zeru. Aby uprościć obliczenia wprowadzimy podstawienie:

$t=(x-1{)}^2$

Wówczas nasz szereg potęgowy przyjmie postać:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n+2}{3^n}{t}^n$

Promień zbieżności

Promień zbieżności szeregu potęgowego obliczymy ze wzoru

$R_t=\frac{1}{\lambda }$ , gdzie $\lambda =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}$

$\lambda =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n+3}{3^{n+1}}\frac{3^n}{n+2}=$

$=\frac{1}{3}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n+3}{n+2}=$

$=\frac{1}{3}$

Zatem szukany promień zbieżności szeregu uproszczonego ma wartość $R_t=3$ .

Przedział (zbiór) zbieżności

Dla szeregu uproszczonego mamy zatem:

$t\in (t_0-R_t,t_0+R_t)$

tzn.

$t\in (-3,3)$

Korzystając z zastosowanego wcześniej podstawienia otrzymamy:

$(x-1{)}^2\in (-3,3)$

$x-1\in (-\sqrt{3},\sqrt{3})$

$x\in (-\sqrt{3}+1,\sqrt{3}+1)$

Nie wiemy jednak, co dzieje się na końcach przedziału zbieżności. Aby to sprawdzić, podstawiamy wartości na końcach przedziałów do danego wzoru na szereg. W wyniku tego otrzymamy dwa szeregi liczbowe, których zbieżność należy zbadać. Jeżeli dany szereg liczbowy będzie zbieżny, to odpowiadający mu koniec możemy włączyć do zbioru (przedziału) zbieżności. W przeciwnym wypadku nie wolno nam tego zrobić.

Lewy koniec

Zatem dla $x=-\sqrt{3}+1$ otrzymamy szereg liczbowy:

Prawy koniec

Dla $x=\sqrt{3}+1$ otrzymamy szereg liczbowy:

Suma szeregu

$\underset{1}{\overset{x}{\int }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n+2}{3^n}(t-1{)}^{2n}dt$