Analiza matematyczna/Przebieg zmienności funkcji zadania/Odpowiedzi

Zad1.1

Funkcja $y=x^3-x^2-x$

Dziedzina: R (Bo to wielomian)
Granice: w $\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }$ w $-\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }$
Parzystość i nieparzystość: $f(x)=x^3-x^2-x,f(-x)=-x^3-x^2+x,-f(x)-x^3+x^2+x$ Funkcja nie jest parzysta ani nieparzysta
Monotoniczność i ekstrema:
Funkcja $y=x^3-x^2-x$
Pochodna $y^{\prime }=3x^2-2x-1$
$y^{\prime }=0\iff 0=3x^2-2x-1\iff x=\frac{-1}{3}\vee x=1$
$y^{\prime }>0\iff 0>3x^2-2x-1\iff x<\frac{-1}{3}\vee x>1$
$y^{\prime }<0\iff 0<3x^2-2x-1\iff x>\frac{-1}{3}\wedge x<1$
czyli w punktach $x_1=\frac{-1}{3}$ i $x_2=1$ Mamy ekstrema
Wypukłość i punkty przegięcia: Druga pochodna$y^{″}=6x-2$ $y^{″}=0\iff 6x-2=0\iff x=\frac{1}{3}$ $y^{″}>0\iff 6x-2>0\iff x<\frac{1}{3}$ $y^{″}<0\iff 6x-2<0\iff x>\frac{1}{3}$ czyli w punkcie $x_1=\frac{-1}{3}$ mamy punkt przegięcia do tego punktu funkcja jest wypukła w górę a za nim w dół.
Miejsca zerowe
$0=x^3-x^2-x$
$0=x(x^2-x-1)\iff x=\frac{1-\sqrt{5}}{2},x=0,x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
Przecięcie z osią OY
$y=0^3-0^2-0\iff y=0$

Koniec teraz wszystko wkładamy w tabele

.

$-\mathrm{\infty }$

$(-\mathrm{\infty },\frac{1-\sqrt{5}}{2})$

$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

$(\frac{1-\sqrt{5}}{2},\frac{-1}{3})$

$\frac{-1}{3}$

$(\frac{-1}{3},0)$

$0$

$(0,1)$

$1$

$(1,\frac{1+\sqrt{5}}{2})$

$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$(\frac{1+\sqrt{5}}{2},\mathrm{\infty }$

$\mathrm{\infty }$

y'

+

+

+

+

0

-

-

-

0

+

+

+

+

y

-

-

-

-

0

+

+

+

+

+

+

+

+

y

$\mathrm{\infty }$

$\nearrow$

0

$\nearrow$

$\frac{-10}{27}$

$\searrow$

0

$\searrow$

-1

$\nearrow$

0

$\nearrow$

$\mathrm{\infty }$

Zad 1.2

Funkcja:$\sqrt{x}$
Dziedzina: $<0,\mathrm{\infty })$
Granice
$\underset{x\to 0}{lim}\sqrt{x}=0$
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{x}=\mathrm{\infty }$
Parzystość i nieparzystość Funkcja ma nie symetryczną dziedzinę więc nie może być ani parzysta ani nieparzysta
Monotoniczność i ekstrema $y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$y^{\prime }=0\iff \frac{1}{2\sqrt{x}}=0,\mathrm{\forall }x\frac{1}{2\sqrt{x}}>0$ Funkcja stale rosnąca
wypukłość i pinkty przegięcia
$y^{″}=-\frac{1}{4\sqrt[2]{3}}$
$y^{″}=-\frac{1}{4\sqrt[2]{x^3}}=0,\mathrm{\forall }x=-\frac{1}{4\sqrt[2]{x^3}}<0$
Funkcja stale wypukła w górę
Miejsca zerowe
$0=\sqrt{x}\iff x=0$
Miejsce przecięcia z osią OY $y=\sqrt{0}\iff y=0$

I tabelka

.	0	$(0,\mathrm{\infty })$	$\mathrm{\infty }$
y'	+	+	+
y	-	-	-
y	0	$\nearrow$	$\mathrm{\infty }$

Zad1.4

$\frac{sinx}{x}$
Dziedzina: R\{0} (mianownik musi być różny od zera)
Granice:
$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{sinx}{x}=1$
$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{sinx}{x}=1$
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{sinx}{x}=0$
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{sinx}{x}=0$
Parzystość i nieparzystość
$f(-x)=\frac{-sinx}{-x}=\frac{sinx}{x}$
Funkcja jest parzysta Nieparzystości sprawdzać nietrzeba
Ekstrema i monotoniczność
$y^{\prime }=cosx$
Ekstrema $y=k\pi +\frac{\pi }{2}$
Funkcja rośnie $y\subset (2k\pi -\frac{\pi }{2},2k\pi +\frac{\pi }{2})$
Funkcja maleje $y\subset (2k\pi +\frac{\pi }{2},2k\pi -\frac{\pi }{2})$
Punkty przegięcia
$y^{″}=-sinx$
Punkty przegięcia $k\pi$
Funkcja wygięta w górę $(2k\pi ,2x\pi +\pi )$
Funkcja wygięta w dół$(2k\pi +\pi ,2x\pi )$
Miejsca zerowe
$y=k\pi$
Przecięcie z osią OY Poza dziedziną

Zad1.5

$y=e^{\frac{1}{1-x^2}}$
Dziedzina: R\{-1,1}
Granice:
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{\frac{1}{1-x^2}}=1$
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{e}^{\frac{1}{1-x^2}}=1$
$\underset{x\to -1^{-}}{lim}{e}^{\frac{1}{1-x^2}}=0$
$\underset{x\to -1^{+}}{lim}{e}^{\frac{1}{1-x^2}}=\mathrm{\infty }$