Analiza matematyczna/Ciągi i szeregi liczbowe/Przykład 6

Zbadać zbieżność szeregu liczbowego:

$\sum _{n=3}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\ln n\ln (\ln n)}$

Skorzystamy tym razem z kryterium całkowego, w związku z czym musimy zbadać funkcję całkowalną taką, że:

$a_n=f(n)$

Wówczas jeżeli istnieje całka niewłaściwa ${\int }_a^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$, to jest to równoważne zbieżności szeregu $\sum _{n=a}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ .

Zatem należy zbadać istnienie całki:

${\int }_3^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x\ln x\ln (\ln x)}dx=$

Po podstawieniu $t=\ln x$ oraz $dt=\frac{dx}{x}$ otrzymamy:

$=\int \frac{1}{t\ln t}dt$

Po kolejnym analogicznym podstawieniu:

$=\int \frac{1}{z}dz=ln|z|=$

Co, po powrocie do pierwotnych zmiennych, da nam:

$=\ln |\ln t|=\ln |\ln (\ln x)|$

Ostatecznie całka oznaczona będzie miała postać:

${\int }_3^{\mathrm{\infty }}()dx=[\ln |\ln (\ln x)|{]}_3^{\mathrm{\infty }}$

Ponieważ całka niewłaściwa nie istnieje, szereg jest rozbieżny.