Analiza matematyczna/Ciągi i szeregi liczbowe/Przykład 5

Zbadać zbieżność szeregu liczbowego:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^n+3^n}{4^n+5^n}$

Można ten problem rozwiązać na trzy sposoby:

Sposób 1

Z kryterium Cauchy'ego dla szeregów liczbowych otrzymamy zależność:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{\frac{2^n+3^n}{4^n+5^n}}=$

$=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{2^n+3^n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{4^n+5^n}}=$

Prawdziwe są jednak nierówności:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{3^n}<\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{2^n+3^n}<\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{2\cdot 3^n}$

oraz

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{5^n}<\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{4^n+5^n}<\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{2\cdot 5^n}$

Skąd otrzymujemy ostatecznie:

$=\frac{3}{5}$

Zatem z kryterium Cauchy'ego nasz wyjściowy szereg jest zbieżny.

Sposób 2

Oszacujemy od góry wyrażenie pod znakiem sumy:

$\frac{2^n+3^n}{4^n+5^n}<\frac{2\cdot 3^n}{2\cdot 4^n}={\left(\frac{3}{4}\right)}^n$

Co na mocy I-go kryterium porównawczego oznacza, że szereg jest zbieżny.