Analiza matematyczna/Ciągi i szeregi liczbowe/Przykład 4

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\ln \frac{n^2+1}{n^2}$

Występuje pod znakiem sumy szeregu funkcja logarytmiczna. Naturalne zatem wydaje się skorzystanie z zależności:

$\ln x<x$

Otrzymamy wówczas:

$\ln \frac{n^2+1}{n^2}<\frac{n^2+1}{n^2}=1+\frac{1}{n^2}$

Co niestety nie rostrzyga o zbieżności naszego wyjściowego szeregu, gdyż:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n^2})=1$

Pozostaje zatem spróbować skorzystać z innej podobnej zależności funkcji logarytmicznej:

$\ln x\le x-1$

Wtedy otrzymamy:

$\ln \frac{n^2+1}{n^2}\le \frac{n^2+1}{n^2}-1=$

$=\frac{n^2+1-n^2}{n^2}=\frac{1}{n^2}$

A zatem:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n^2})<1$

Stąd odpowiedź, że nasz wyjściowy szereg jest zbieżny.