Analiza matematyczna/Ciągi i szeregi liczbowe/Przykład 1

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)}$

Wyrażenie pod znakiem sumy rozkładamy na ułamki proste:

$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$

Stąd po rozwinięciu wyrażenia na sumę częściową szeregu otrzymujemy:

$S_n=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\mathrm{...}\frac{1}{(n-1)\cdot n}+\frac{1}{n\cdot (n+1)}=$

$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\mathrm{...}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

Sąsiednie wyrazy redukują się, zatem otrzymujemy ostatecznie:

$S_n=1-\frac{1}{n+1}$

W granicy do nieskończoności otrzymujemy:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=1$

Stąd mamy wniosek, że dany szereg jest zbieżny do sumy:

$S=1$