Analiza matematyczna/Ciągłość funkcji

Ciągłość funkcji

Jedną z własności funkcji jest jej ciągłość. Intuicyjnie możemy rozumieć funkcję ciągłą jako taką, której wykres możemy narysować bez odrywania ręki. Funkcja jednak może wykazywać różną ciągłość w różnych punktach wykresu. Przybliżymy sobie pojęcie ciągłości w punkcie. Szablon:Mat:Def

Przyjrzyjmy się funkcji:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}x+3,& x⩽1\\ -x^2+2x+3,& x>1\end{array}$

Interesować nas będzie punkt 1; musimy sprawdzić wpierw, czy istnieje dla tej funkcji w tym punkcie obustronna granica. Łatwo możemy potwierdzić jej istnienie. Lewostronna granica funkcji będzie równa:

$\underset{x\to 1^{-}}{lim}(x+3)=1+3=4$

Prawostronna zaś:

$\underset{x\to 1^{+}}{lim}(-x^2+2x+3)=-(1^2)+2\cdot 1+3=-1+2+3=4$

Zatem $\underset{x\to 1}{lim}f(x)=4$. Widzimy też, że $f(1)=1+3=4=\underset{x\to 1}{lim}f(x)$, więc funkcja ta jest ciągła w punkcie 1.

Po narysowaniu wykresu funkcji możemy zobaczyć, iż rzeczywiście jest ona ciągła w tym punkcie: Szablon:Centruj

Oprócz ciągłości w punkcie, możemy mówić o ciągłości w przedziale oraz w zbiorze: Szablon:Mat:Def

Podstawowe własności funkcji ciągłych

Z powyższych własności wynika, że:

• Każdy wielomian $W_n(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\mathrm{...}+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$ jest ciągły w zbiorze $ℝ$.
• Każda funkcja wymierna będąca ilorazem wielomianów $f(x)=\frac{W_m(x)}{W_n(x)}$ jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny.