Analiza matematyczna/Całka podwójna

W układzie współrzędnych dany mamy prostokąt $\overline{P}$:

$\overline{P}=\{(x,y):x\in [a;b]\wedge y\in [c;d]\}$

oraz funkcję $f(x,y)$ określoną i ograniczoną na tym prostokącie.

${\delta }_n$ nazywać będziemy podział $\overline{P}$ na prostokąty ${\overline{P}}_k$ o polach równych $\mathrm{\Delta }{\sigma }_k$ i przekątnych długości $d_{k}k=1,2,\dots ,n$, prowadząc proste równoległe do osi współrzędnych.

${\sigma }_n$ – średnica podziału, największa spośród liczb $d_k$

${\sigma }_n=\max d_{k}1\le k\le n$

$S_n=\sum _{k=1}^{n}f(A_k)\cdot \mathrm{\Delta }{\sigma }_k$ – Suma całkowa funkcji $f$ dwóch zmiennych na całym prostokącie.

Zmiana całki podwójnej na iterowaną

Aby obliczyć całkę podwójną, najłatwiej przekształcić ją w całkę iterowaną

$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dy)dx$, gdzie $a$, $b$, $c$, $d$ to odpowiednie boki prostokąta

Przykład
Obliczanie całki na prostokącie $\underset{D}{\iint }xydxdy$ na prostokącie $0\le y\le 4,0\le x\le 5$
$\underset{D}{\iint }xydxdy=\underset{0}{\overset{5}{\int }}\left(\underset{0}{\overset{4}{\int }}xydy\right)dx$
$\underset{0}{\overset{5}{\int }}{\frac{x{y}^2}{2}|}_{y=0}^{4}dx=\underset{0}{\overset{5}{\int }}8xdx={4x^2|}_{x=0}^5=100$

Interpretacje całki podwójnej

1. Jeśli $f$ jest tożsamościowo równa 1 ($f=1$), to:

   $\underset{P}{\iint }1d\sigma =\underset{P}{\iint }d\sigma =\sigma$     – pole prostokąta $\overline{P}$

2. Jeśli $f$ jest ciągła na $\overline{P}$ i nie przyjmuje w żadnym punkcie $\overline{P}$ ujemnych wartości ($f(x,y)\ge 0$), to:

   $\underset{P}{\iint }f(x,y)d\sigma =V$     – objętość bryły ograniczonej płaszczyznami: $z=0;x=a;x=b;y=c;y=d$ i powierzchnią $z=f(x,y)$ dla $(x,y)\in \overline{P}$

3. gęstość -> masa
4. środek ciężkości