Algebra abstrakcyjna/Działania

Działania

Działanie wewnętrzne

Działaniem wewnętrznym (lub krócej działaniem) w zbiorze A nazywamy dowolne odwzorowanie produktu kartezjańskiego $A\times A$ w zbiór A. Innymi słowy mówimy, że w zbiorze A określone jest działanie wewnętrzne, jeśli każdej parze uporządkowanej (a,b) elementów zbioru A przyporządkowany jest dokładnie jeden element zbioru A (zwany wynikiem działania na elementach a i b).

Jeżeli $\ast :A\times A\to A$ jest działaniem wewnętrznym w A, to zazwyczaj wynik działania $\ast$ na elementach a,b∈A oznaczamy przez: $a\ast b$ (nie zaś przez $\ast (a,b)$ ).

Dla oznaczenia działań wewnętrznych stosujemy często symbole: $\ast ,+,\cdot$. W przypadku użycia symbolu $+$ mówić możemy o notacji addytywnej (działanie nazywamy wówczas dodawaniem, zaś wynik - sumą); w przypadku użycia $\cdot$ o multiplikatywnej (działanie nazywamy mnożeniem, zaś wynik iloczynem). Przy stosowaniu notacji multiplikatywnej często symbol działania pomija się, tzn. zamiast $a\cdot b$ piszemy $ab$.

Działanie zewnętrzne

Niech A i F będą dowolnymi zbiorami niepustymi. Działaniem zewnętrznym w zbiorze A nazywamy dowolne odwzorowanie produktu kartezjańskiego FxA w zbiór A. Zbiór F nazywamy zbiorem operatorów.

Działanie łączne

Mówimy, że działanie $\ast$ w zbiorze A jest łączne, jeśli dla dowolnych a,b,c∈A zachodzi równość $(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$.

Działanie przemienne

Mówimy, że działanie $\ast$ w zbiorze A jest przemienne, jeśli dla dowolnych a,b∈A zachodzi równość $a\ast b=b\ast a$.

Jeżeli dane działanie jest przemienne, to zazwyczaj oznaczamy je addytywnie.

Działanie rozdzielne

Niech w zbiorze A określone będą działania $\ast$ oraz $+$. Mówimy, ze działanie $\ast$ jest rozdzielne względem działania $+$, jeśli dla dowolnych $a,b,c\in A$ zachodzą równości:

• $a\ast (b+c)=(a\ast b)+(a\ast c)$ (rozdzielność lewostronna działania $\ast$ względem działania $+$),

• $(a+b)\ast c=(a\ast c)+(b\ast c)$ (rozdzielność prawostronna działania $\ast$ względem działania $+$).

Element neutralny

Mówimy, że element $e\in A$ jest elementem neutralnym działania $\ast$ określonego w A, jeśli dla każdego $a\in A$ zachodzi równość $a\ast e=e\ast a=a$.

Element neutralny działania $\ast$ w A, o ile istnieje, jest wyznaczony jednoznacznie. Gdyby bowiem $e,e^{\prime }\in A$ były elementami neutralnymi działania $\ast$, to: $e=e\ast e^{\prime }$, bo e' jest elementem neutralnym oraz $e^{\prime }=e\ast e^{\prime }$, bo e jest elementem neutralnym, wobec czego: $e=e^{\prime }$.

Element odwrotny

Niech działanie $\ast$ w zbiorze A ma element neutralny e i niech a∈A. Każdy element b∈A spełniający równość $a\ast b=b\ast a=e$ nazywamy elementem odwrotnym do a. Jeśli istnieje dokładnie jeden element odwrotny do a, to oznaczamy go symbolem $a^{-1}$. W notacji addytywnej element odwrotny do a nazywamy elementem przeciwnym do a i oznaczamy –a. Ponadto, zamiast pisać $a+(-b)$ piszemy zazwyczaj $a-b$.

Jasne jest, że jeśli element b jest odwrotny do a, to element a jest odwrotny do b.

Ponadto, jeżeli działanie $\ast$ w zbiorze A jest łączne, to element odwrotny do elementu $a\in A$, o ile istnieje, jest wyznaczony jednoznacznie. Gdyby bowiem $b,b^{\prime }\in A$ były odwrotne do a, to: $b^{\prime }=b^{\prime }\ast e=b^{\prime }\ast (a\ast b)=(b^{\prime }\ast a)\ast b=e\ast b=b$.

Element neutralny zawsze posiada element odwrotny. Jest nim on sam.

Działania - przykłady

Działania wewnętrzne

Niech X będzie dowolnym zbiorem. Przez $2^X$ oznaczamy zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X. Działania $\cup :2^X\times 2^X\to 2^X$ i $\cap :2^X\times 2^X\to 2^X$ są działaniami wewnętrznymi w $2^X$. Działania te są łączne, przemienne i każde z nich jest rozdzielne względem drugiego. Elementem neutralnym względem działania $\cup$ jest $\mathrm{\varnothing }$. Elementem neutralnym względem działania $\cap$ jest X. Jedynymi elementami posiadającymi elementy odwrotne względem tych działań są ich elementy neutralne.

Niech $X=\{x\}$ będzie zbiorem jednoelementowym. Jedynym działaniem wewnętrznym w X jest działanie przyporządkowujące parze elementów (x,x) element x. Jest to oczywiście działanie łączne, przemienne, z elementem neutralnym równym x i elementem odwrotnym do x równym x.

Niech X będzie dowolnym zbiorem. Przez $S(X)$ oznaczmy zbiór wszystkich bijekcji z X na X. Jako działanie wewnętrzne w X przyjmijmy składanie funkcji. Jest to działanie łączne, nieprzemienne (o ile X jest co najmniej 3-elementowy). Elementem neutralnym jest funkcja identycznościowa na X. Elementem przeciwnym do danej funkcji jest jej funkcja odwrotna.

Działania zewnętrzne

Oznaczmy przez $𝒰$ zbiór wszystkich skończonych podzbiorów zbioru liczb naturalnych, zaś przez $𝒲$ zbiór wszystkich nieskończonych podzbiorów zbioru liczb naturalnych. Zdefiniujmy działanie $f:𝒰\times 𝒲\to 𝒲$ następująco: dla $A\in 𝒰$ i $B\in 𝒲$ przyjmujemy: $f(A,B)=B\setminus A$. Funkcja $f$ jest działaniem zewnętrznym w zbiorze $𝒲$.

Szablon:Nawigacja