Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Miejsca zerowe funkcji

Na wykresie funkcji f miejscami zerowymi będą miejsca przecięcia wykresu funkcji z osią OX.

• Przykład 1

Funkcja $f(x)=x+2$ ma jedno miejsce zerowe dla $x=-2$. Możemy to zaobserwować na wykresie albo rozwiązać równanie $f(x)=0$:

$x+2=0$

$x=-2$

Plik:Wykres y=x+2.png

Nie wszystkie funkcje posiadają miejsca zerowe. Pokazuje nam to kolejny przykład.

• Przykład 2

Funkcja $f(x)=x+3$, gdzie $D_f=(-2;+\mathrm{\infty })$ nie posiada miejsc zerowych. Widać to na wykresie: Plik:Wykres y=x+3 (x=(-2;+oo)).png

Możemy również sprawdzić to algebraicznie:

$\{\begin{array}{c}x+3=0\\ x\in (-2;+\mathrm{\infty })\end{array}⟺\{\begin{array}{c}x=-3\\ x\in (-2;+\mathrm{\infty })\end{array}⟺x\in \mathrm{\varnothing }$

• Przykład 3

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji $f(x)=2(x-2)(x+3)$.

$f(x)=0⟺2(x-2)(x+3)=0$

możemy obustronnie dzielić przez 2 i otrzymujemy

$(x-2)(x+3)=0⟺(x-2=0\vee x+3=0)⟺(x=2\vee x=-3)$

Zatem $f(x)=0⟺x\in \{-3,2\}$.

• Przykład 4

Znajdźmy wszystkie x dla których $f(x)=0$, a $f(x)=9-x^2$. Czyli:

$f(x)=0⟺9-x^2=0$

$x^2-9=0$

Korzystając, ze wzorów skróconego mnożenia $(x-a)(x+a)=x^2-a^2$ otrzymujemy:

$(x-3)(x+3)=0$, czyli $x-3=0$ lub $x+3=0$.

Zatem $f(x)=0$, gdy $x=3$ lub $x=-3$.

• Przykład 5

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji $f(x)=|x+1|+|x-3|-4$.

Dla $x<-1$ (czyli $x+1<0$), funkcję $f$ można wyrażać jako $f(x)=-(x+1)+(-(x-3))-4=-2x-2$. Ta funkcja nie ma miejsc zerowych w zbiorze $\{x:x<-1\}$.

Dla $x>3$ (czyli $x-3>0$), funkcję $f$ można wyrażać jako $f(x)=(x+1)+(x-3)-4=2x-6$. Ta funkcja nie ma miejsc zerowych w zbiorze $\{x:x>3\}$.

Dla $-1\le x\le 3$ (czyli $x+1\ge 0$ i $x-3\le 0$. funkcja $f(x)=(x+1)+(-(x-3))-4=0$ jest stała z wartością 0.

Zatem $f(x)=0$, gdy $-1\le x\le 3$.