Tekst źródłowy strony Wstęp do fizyki cząstek elementarnych/Teoria oddziaływań i pól kwantowych

<noinclude><!--
-->{{SkomplikowanaStronaStart<!--
      -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!--
-->}}</noinclude>

W teorii oddziaływania przyjmuje się, że oddziaływania są wynikiem wymiany między sobą bozonów, to musi odbywać się w czasie krótszym niż &Delta;t określonym przez równanie {{Formuła|<MATH>\Delta E\Delta t\simeq \hbar\;</MATH>}}, takie cząstki nazywamy wirtualnymi. Kwantowa teoria oddziaływania w oddziaływaniu elektromagnetycznym, to ciągła wymiana fotonów pomiędzy cząstkami naładowanymi. Pola, ani kwanty nie są obserwowalne bezpośrednio.

== Teoria pól kwantowych Yukawy ==
Poszukując krótkozasięgowe oddziaływanie pomiędzy protonami, a neutronami w jądrach, można opisywać bezpośrednio za pomocą równania kwantowego Kleina-Gordona:
{{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=\Delta\psi-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\psi\;</MATH>|2.1}}
Gdy będziemy rozpatrywać będziemy pola bez udziału czasu, i zakładając, że funkcja jest  zależna tylko od od "r":
{{CentrujWzór|<MATH>\Delta U(r)=\nabla^2U(r)={{1}\over{r^2}}{{\partial}\over{\partial r}}\left(r^2{{\partial U}\over{\partial r}}\right)={{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}U(r)\;</MATH>|2.2}}
Pamiętając, że zachodzi {{LinkWzór|2.1}}, a także {{LinkWzór|2.2}}, to wtedy na podstawie tego zależność potencjału od "r" i od stałej g{{Sub|0}}, jest w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>U(r)={{g_0}\over{4\pi r}}e^{-{{r}\over{R}}}\mbox{ gdzie R}={{\hbar}\over{m_0c}} \;</MATH>|2.3}}
Wyznaczmy pierwszą pochodną wyrażenia {{LinkWzór|2.3}} względem "r" w zależności od parametru g{{Sub|0}}, m{{Sub|0}} i <MATH>\hbar\;</MATH> i stałej R zależnej od stałej kreślonej Planka, masy spoczynkowej bozonu i prędkości światła:
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial U(r)}\over{\partial r}}=-{{g_0}\over{4\pi r^2}}e^{-{{r}\over{R}}}-{{g_0}\over{4\pi r}}e^{-{{r}\over{R}}}{{m_0c}\over{\hbar}}=-{{g_0}\over{4\pi}}e^{-{{r}\over{R}}}\left({{1}\over{r^2}}+{{m_0c}\over{r\hbar}}\right)\;</MATH>|2.4}}
Następnym krokiem jest policzenie pochodnej względem "r" podzielonej przez r{{Sup|2}} iloczynu kwadratu "r" i pochodnej cząstkowej wielkości U(r) względem "r":
{{CentrujWzór|<MATH>\Delta U(r)=\nabla^2U(r)={{1}\over{r^2}}{{\partial}\over{\partial r}}\left(r^2{{\partial U}\over{\partial r}}\right)=-{{g_0}\over{4\pi r^2}}{{\partial}\over{\partial r}}e^{-{{r}\over{R}}}\left(1+{{m_0c}\over{\hbar}}r\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{g_0}\over{4\pi r^2}}e^{-{{r}\over{R}}}{{m_0c}\over{\hbar}}\left(1+{{m_0c}\over{\hbar}}r\right)-{{g_0}\over{4\pi r^2}}e^{-{{r}\over{R}}}{{m_0c}\over{\hbar}}=\left({{m_0c}\over{\hbar}}\right)^2{{g_0}\over{4\pi r}}e^{-{{r}\over{R}}}={{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}U(r)\;</MATH>|2.5}}
wtedy równanie {{LinkWzór|2.1}} dla przypadku stacjonarnego po działaniu operatorem &Delta; funkcję U(r), czyli {{LinkWzór|2.5}}, stąd rozwiązaniem {{LinkWzór|2.1}} jest {{LinkWzór|2.3}}.

== Transformata pędu cząstki ==
Napiszmy ile wynosi transformata Fouriera cząstki potencjału {{Formuła|<MATH>U(r)={{g_0}\over{4\pi r}}e^{-{{r}\over{R}}}\;</MATH>}} {{LinkWzór|2.3}}, którą napiszemy po całkowitej przestrzeni względem przekazu pędu {{Strong|q}}. Ją piszemy jako w układzie współrzędnych kulistych, zakładając przy okazji, że pęd {{Strong|q}} jest równoległy z osią zetową:
{{CentrujWzór|<MATH>f(\vec{q})=g\int U(\vec{r})e^{i{{\vec{q}\vec{r}}\over{\hbar}}}dV=g\int\int\int U(r)e^{{{i rq\cos\theta}\over{\hbar}}}r^2d\phi\sin\theta d\theta dr=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=2\pi g\int_0^{\infty}\int_{0}^{\pi}U(r)e^{i{{qr}\over{\hbar}}\cos\theta}\sin\theta d\theta=2\pi g\int_{0}^{\infty}dr U(r)r^2\int_{0}^{\pi}e^{i{{qr}\over{\hbar}}\cos\theta}\sin\theta d\theta=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-2\pi g\int_{0}^{\infty}dr U(r)r^2\int_{0}^{\pi}{{\hbar}\over{iqr}}\left(e^{i{{qr}\over{\hbar}}\cos\theta}\right)^{'}d\theta=
2\pi g{{\hbar}\over{iq}}\int_{0}^{\infty}dr U(r)r\left(e^{i{{qr}\over{\hbar}}}-e^{-i{{qr}\over{\hbar}}}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=
g_0g{{\hbar}\over{2iq}}\int_0^{\infty}dr e^{-{{r}\over{R}}}\left(e^{i{{qr}\over{\hbar}}}-e^{-i{{qr}\over{\hbar}}}\right)=g_0g{{\hbar}\over{2iq}}\int_0^{\infty}\left[e^{r\left(-{{1}\over{R}}+i{{q}
\over{\hbar}}\right)}-e^{-r\left({{1}\over{R}}+i{{q}
\over{\hbar}}\right)}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=
g_0g{{\hbar}\over{2iq}}\left({{1}\over{-{{1}\over{R}}+i{{q}
\over{\hbar}}}}+{{1}\over{{{1}\over{R}}+i{{q}
\over{\hbar}}}}\right)={{g_0g\hbar^2}\over{2iq}}\left({{1}\over{-m_0c+iq}}+{{1}\over{m_0c+iq}}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=
{{g_0g\hbar^2}\over{2iq}}{{m_0c+iq-m_0c+iq}\over{m_0^2c^2+q^2}}={{g_0g\hbar^2}\over{2iq}}{{2iq}\over{(m_0c)^2+q^2}}={{g_0g\hbar^2}\over{(m_0c)^2+q^2}}
</math>|2.6}}
Powyższa dyskusja dotyczy rozpraszania cząstki o stałej sprzężenia g opisanej równaniem {{LinkWzór|2.6}} dla potencjału U(r) zależnej tylko od promienia położenia cząstki na danym potencjale i niezależnej od współrzędnych cząstkowych. U(r) jest to pole statyczne. Propagacja bozonu opisuje rozpraszanie elastyczne na danym potencjale. Proces wymiany dwóch bozonów dla przypadków opisujących cząstkę rozpraszającą a cząstką rozpraszaną propagator bozonu jest iloczynem stałych sprzężenia g i g{{Sub|0}} przez sumę kwadratów m{{Sub|0}}c i q.

== Opis podstawowych oddziaływań w przyrodzie ==

=== Oddziaływania elektromagnetyczne ===
Stała sprzężenia, która charakteryzuje cząstki ze sobą oddziaływających piszemy w zależności od ładunku elektronu, stałej prędkości światła, stałej Planka i nazwiemy ją stała struktury subtelnej:
{{CentrujWzór|<MATH>\alpha={{e^2}\over{4\pi\hbar c}}={{1}\over{137,0360...}}\;</MATH>|2.7}}
Ona określa rozszczepienie widm atomowych oddziaływań spin-orbita. Pola elektromagnetyczne mogą być transformowane jak wektory i dlatego foton. który jest przekaźnikiem oddziaływania jest cząstką wektorową. Jeśli będziemy definiować moment magnetyczny jako:
{{CentrujWzór|<MATH>\mu=g\hbar\mu_{B}s\;</MATH>|2.8}}
gdzie s=1/2, w teorii Diraca (mechanice kwantowej) otrzymujemy g=2. Weźmy ile jest równa wielkość g w elektrodynamice kwantowej jako wielkość odchylenia od liczby g.
{{CentrujWzór|<MATH>\left({{g-2}\over{2}}\right)^{teor}=0,5\left({{\alpha}\over{\pi}}\right)^2-0,32848\left({{\alpha}\over{\pi}}\right)^2+1,19\left({{\alpha}\over{\pi}}\right)^3+...\;</MATH>|2.9}}
Bardzo ważną teorią jest elektrodynamika kwantowa QED. Ta owa teoria opisuje właściwości zwane renormalizowalnością i niezmienniczością względem cechowania.
{{Rysunek|SelfE.svg|otsentspfe|Odziaływanie tego samego elektronu na ten sam poprzez fotony wirtualne}}
Rysunek obok przedstawia pojedynczy elektron, który oddziaływuje sam ze sobą poprzez fotony wirtualne lub ona przedstawia wirtualną parę cząstek elektron-pozyton. Linie elektronowe dla diagramach Feymanna reprezentuje sam "goły" elektron ubrany w procesy, które stanowią procesy wirtualne poprzez wymianę fotonów wirtualnych. Ograniczenia na pęd "k" nie ma. W teorii QED występują rozbieżne całki, które można zastąpić predyfiniując ładunek i masę, który zawsze występuje w obliczeniach z czynnikiem multiplikatywnym, która posiada całkę rozbieżną. Zatem te dwa ładunki można zastąpić przez wielkości mierzone doświadczalnie, tzn. e i m. Taki stan postępowania nazywamy renormalizacją. Okazuje się, że QED stała sprzężenia wcale nie jest stałą, tylko zależy w skali logarytmicznie od energii w dokonywanym procesie. Bardzo ważnym elementem jest niezmienniczość względem cechowania, co jest ważne do teorii renormalizowalności. Dla rzędu skali energii Z{{Sup|0}} współczynnik sprzężenia wynosi 1/128, a nie 1/127.

=== Oddziaływanie silne ===
Rozpatrzmy cząstkę Σ{{Sup|0}}(uds), która rozpadać się może na cząstki &Lambda; i &gamma;, a silne rozpady tej cząstki są zabronione, ze względu na zasadę zachowania izospinu, a &Lambda; jest stanem singletowym i ma spin 1/2, natomiast na rozkład &Lambda; i &pi;{{Sup|0}} zachodzi z oddziaływaniem silnym, dalej cząstka Σ{{Sup|+}} są barionami o spinie 1/2 i jej rozkład może zachodzić z użyciem oddziaływania silnego.
{{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable|<!--
            -->{{Wiersz|<!--
                     -->{{Komórka|nagłówek=tak|Barion}}<!--
                     -->{{Komórka|nagłówek=tak|Skład}}<!--
                     -->{{Komórka|nagłówek=tak|Wartość energii rozpadu Q [MeV]}}<!--
                     -->{{Komórka|nagłówek=tak|Sposoby rozpadu}}<!--
                     -->{{Komórka|nagłówek=tak|Czas życia [s]}}<!--
           -->}}{{Wiersz|<!--
                     -->{{Komórka|Σ{{Sup|0}}}}<!--
                     -->{{Komórka|uds}}<!--
                     -->{{Komórka|74}}<!--
                     -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\Sigma\rightarrow\Lambda^0+\gamma\;</MATH>}}}}<!--
                     -->{{Komórka|10{{Sup|-19}}}}<!--
          -->}}{{Wiersz|<!--
                     -->{{Komórka|Σ{{Sup|0}}}}<!--
                     -->{{Komórka|uds}}<!--
                     -->{{Komórka|208}}<!--
                     -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\Sigma\rightarrow\Lambda^0+\pi^0\;</MATH>}}}}<!--
                     -->{{Komórka|10{{Sup|-23}}}}<!--
         -->}}{{Wiersz|<!--
                     -->{{Komórka|Σ{{Sup|+}}}}<!--
                     -->{{Komórka|uus}}<!--
                     -->{{Komórka|189}}<!--
                     -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\Sigma\rightarrow p+\pi^0\;</MATH>}}}}<!--
                     -->{{Komórka|10{{Sup|-10}}}}<!--
         -->}}<!--
-->}}

{{Rysunek|Pn scatter quarks.png|dfpnrkppk|Diagram Feynmana proton-neutron rozpraszania, któremu pośredniczy pion, pojedyncze kwarki są pokazane na rysunku obok w rozkładając je na układ kwarków}}
Oddziaływanie silnie spotykamy w oddziaływaniach pomiędzy neutronami i protonami, a także pomiędzy kwarkami. Stosunek stałej sprzężenia oddziaływania silnego przez stałą sprzężenia oddziaływania elektromagnetycznego jak udowodnimy jest równy w przybliżeniu sto, czyli:
{{CentrujWzór|<MATH>{{\alpha_s}\over{\alpha}}\sim\sqrt{{{10^{-19}}\over{10^{-23}}}}\sim 100\;</MATH>|2.10}}
Ale ponieważ stała sprzężenia w oddziaływaniu elektromagnetycznym jest równa {{LinkWzór|2.7}}, zatem stała sprzężenia oddziaływania silnego jest równa w przybliżeniu jeden (&alpha;{{Sub|s}}≈1). Oddziaływania pomiędzy kwarkami w oddziaływaniu silnym zachodzi poprzez wymianę gluonu, który jest obojętny elektrycznie, jest ona cząstką wektorową o parzystości J{{Sup|p}}=1{{Sup|-}}. W teorii oddziaływania między kwarkami istnieje 6 typów silnych ładunków kolorowych, przy czym każdy kwark niesie jeden ładunek kolorowy, czyli czerwony, zielony i niebieski, a antykwark odpowiednio antykolory. Sam gluon jest również obdarzony ładunkiem kolorowym, i dlatego one mogą bezpośrednio oddziaływać. W teorii QED istnieją sprzężenia pomiędzy bozonami przenoszących oddziaływanie, co jest charakterystyczne dla teorii nieabelowych, a elektrodynamika kwantowa jest teorią abelową. Gluony przenoszą jednocześnie ładunek kolorowy i antykolorowy, a tych kombinacji jest 3{{Sup|2}}=9. Istnieje osiem stanów gluonowych, tzn. {{Formuła|<MATH>r\overline{r}+b\overline{b}+g\overline{g}\;</MATH>}}. 
[[File:Oddziaływanie silne (człon przyciągający i odpychający).png|thumb|right|400px|Oddziaływanie silne (człon przyciągający i odpychający)]]
Oszacowaliśmy że &alpha;{{Sub|s}}, które odpowiadają wymianie jednego gluonu, a za wymiany wielogluonowe  odpowiedzialne są kolejne człony potęgi stałych sprzężenia oddziaływania silnego. Potencjał pola silnego zależny od "r", a także od "k" i od stałej sprzężenia &alpha;{{Sub|s}} piszemy:
{{CentrujWzór|<MATH>V_s=-{{4}\over{3}}{{\alpha_s}\over{r}}+kr\;</MATH>|2.11}}
Pierwszy człon jest dominujący przy małych odległościach, a w przypadku drugim dla dużych odległości. Czynnik 4/3 w {{LinkWzór|2.11}} jest uzasadniany tym, że mamy osiem stanów kolorowych, które uśredniamy po trzech stanach gluonowych. Drugi wyraz w {{LinkWzór|2.11}} odpowiada z uwięzieniem kwarków w cząstkach elementarnych. Próby oderwania kwarku z cząstki elementarnej powoduje produkowanie nowych mezonów, za co jest odpowiedzialny drugi człon w potencjale na oddziaływanie silne. Podczas anihilacji elektronu i pozytonu, co wyniku której powstaje hadron, antyhadron, który jest fragmentacją kwarków.

=== Oddziaływanie słabe i elektrosłabe ===
Można zauważyć porównując rozpad zmieniający dziwność {{Formuła|<MATH>\Sigma^+\rightarrow p+\pi^+\;</MATH>}}, a także rozpad elektromagnetyczny {{Formuła|<MATH>\Sigma^0\rightarrow\Lambda+\gamma\;</math>}} zauważamy, że stała oddziaływań słabych jest mniejsza stałej oddziaływań elektromagnetycznych &alpha; o czynnik {{Formuła|<MATH>\sqrt{10^{-19}/10^{-10}}\sim 10^{-5}\;</MATH>}}. Pomiędzy kwarkami i leptonami te oddziaływania zachodzą, z której z każdej tych oddziaływań  przepisujemy ładunek "g". Oddziaływania słabe są całkowite przesłonięte przez znacznie silne oddziaływanie elektromagnetyczne i silne, chyba że zostaje wykluczone z których z tych oddziaływań przez jakąś zasadę zachowania. Obserwowane słabe oddziaływanie wiąże się z neutrinami lub z procesami zmiany zapachu kwarku, czyli &Delta;S=1, &Delta;C=1, co jest nie możliwe w oddziaływaniu silnym.
{{Rysunek|Beta Negative Decay.svg|osprnnepae|Oddziaływanie słabe podczas rozpadu neutronu na elektron, proton i antyneutrino elektronowe}}
Przykładami oddziaływań z namiastką oddziaływania stałego są {{Formuła|<MATH>n\rightarrow p+e^-+\tilde{\nu}_{e}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\tilde{\nu}_{e}+p\rightarrow n+e^+\;</MATH>}}. Oddziaływania słabe są związane z wymianą naładowanych i obojętnych bozonów zwanych bozonami wektorowymi W{{Sup|±}},Z{{Sup|}}, których masy są M{{Sub|W}}=80GeV i M{{Sub|Z}}=91GeV, stąd mamy oddziaływania słabe mają krótko zasięgowy zakres. W oddziaływaniu słabym wymiana W{{Sup|±}} jest związana ze zmianą ładunku leptonu lub kwarka, ale już z Z{{Sup|0}} już nie. Propagator bozonu dla oddziaływania słabego określmy przez:
{{CentrujWzór|<MATH>f(q^2)={{g^2\hbar^2}\over{q^2+(M_{W,Z}c)^2}}\;</MATH>|2.12}}
Dla q<<M{{Sub|W,Z}}c propagator oddziaływania słabego piszemy przy takim założeniu poprzez:
{{CentrujWzór|<MATH>G={{g^2(\hbar c)^2}\over{(M_{W,Z}c^2)^2}}=10^{-5}\operatorname{fm}^2\;</MATH>|2.13}}

=== Oddziaływania grawitacyjne ===
Oddziaływania grawitacyjne nie grają żadnej roli w fizyce cząstek elementarnych. Jeżeli za jednostkę masy będziemy przyjmować mc{{Sup|2}}=1 GeV, to stała sprzężenia piszemy poprzez stałą grawitacji G{{Sub|N}}, stałą Planka kreśloną i prędkość światła, a także w zależności od masy źródła pola grawitacyjnego M, co w takowej sytuacji:
{{CentrujWzór|<MATH>{{G_NM^2}\over{4\pi\hbar c}}=5,34\cdot 10^{-40}\;</MATH>|2.14}}
co porównując z stałą sprzężenia oddziaływania elektromagnetycznego {{LinkWzór|2.7}}. Dla mas zbliżonych do masy Planka {{Formuła|<MATH>((\hbar c)/G_N)^{1/2}=1,2\cdot 10^{19}GeV\;</MATH>}}. Dwie punktowe masy o masach Plancka oddalone od siebie o długość Plancka będą miały energię {{Formuła|<MATH>G_NM_p^2/l_p=M_pc^2\;</MATH>}} równą energii spoczynkowej ciała o masie spoczynkowej M{{Sub|p}}.

==='''Parametry oddziaływań w przyrodzie (Mc{{Sup|2}}=1 GeV)'''===
W naszej tabeli przedstawimy wszystkie oddziaływania w przyrodzie grawitacyjne, elektromagnetyczne, słabe, silne. A także przedstawimy bozony pośredniczące w tych oddziaływaniach, spin i parzystość, zasięg, stałe sprzężenia, przekrój czynny, czas życia.
{{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable|<!--
        -->{{Wiersz|<!--
                 -->{{Komórka|nagłówek=tak|}}<!--
                 -->{{Komórka|nagłówek=tak|''' Grawitatyjne '''}}<!--
                 -->{{Komórka|nagłówek=tak|''' Elektromagnetyczne '''}}<!--
                 -->{{Komórka|opcje= colspan="2"|''' Słabe '''}}<!--
                 -->{{Komórka|nagłówek=tak|''' Silne '''}}<!--
       -->}}{{Wiersz|<!--
                 -->{{Komórka|nagłówek=tak|kwant pola}}<!--
                 -->{{Komórka|grawiton}}<!--
                 -->{{Komórka|foton}}<!--
                 -->{{Komórka|W{{Sup|±}}}}<!--
                 -->{{Komórka|Z}}<!--
                 -->{{Komórka|gluon}}<!--
       -->}}{{Wiersz|<!--
                 -->{{Komórka|nagłówek=tak|źródło}}<!--
                 -->{{Komórka|masa}}<!--
                 -->{{Komórka|ładunek elektryczny}}<!--
                 -->{{Komórka|opcje=colspan="2"|ładunek słaby}}<!--
                 -->{{Komórka|ładunek kolorowy}}<!--
      -->}}{{Wiersz|<!--
                -->{{Komórka|nagłówek=tak|spin, parzystość}}<!--
                -->{{Komórka|2{{Sup|+}}}}<!--
                -->{{Komórka|1{{Sup|-}}}}<!--
                -->{{Komórka|1{{Sup|-}}}}<!--
                -->{{Komórka|1{{Sup|+}}}}<!--
                -->{{Komórka|1{{Sup|-}}}}<!--
      -->}}{{Wiersz|<!--
                -->{{Komórka|nagłówek=tak|masa [GeV]}}<!--
                -->{{Komórka|0}}<!--
                -->{{komórka|0}}<!--
                -->{{Komórka|80,2}}<!--
                -->{{Komórka|91,2}}<!--
                -->{{Komórka|0}}<!--
     -->}}{{Wiersz|<!--
               -->{{Komórka|nagłówek=tak|Zasięg [m]}}<!--
               -->{{Komórka|∞}}<!--
               -->{{Komórka|∞}}<!--
               -->{{Komórka|opcje=colspan="2"|10{{Sup|-18}}}}<!--
               -->{{Komórka|≤10{{Sup|-15}}}}<!--
      -->}}{{Wiersz|<!--
               -->{{Komórka|nagłówek=tak|stała sprzężenia}}<!--
               -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{{G_NM^2}\over{4\pi\hbar c}}=5\cdot 10^{-40}\;</MATH>}}}}<!--
               -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\alpha={{e^2}\over{4\pi\hbar c}}={{1}\over{137}}</MATH>}}}}<!--
               -->{{Komórka|opcje=colspan="2"|{{Formuła|<MATH>{{G(Mc^2)^2}\over{(\hbar c)^3}}=1,17\cdot 10^{-5}\;</MATH>}}}}<!--
               -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\alpha_s\leq 1\;</MATH>}}}}<!--
     -->}}{{Wiersz|<!--
               -->{{Komórka|nagłówek=tak|Przekrój czynny}}<!--
               -->{{Komórka|}}<!--
               -->{{Komórka|10{{Sup|-33}}}}<!--
               -->{{Komórka|opcje=colspan="2"|10{{Sup|-39}}}}<!--
               -->{{Komórka|≤10{{Sup|-30}}}}<!--
     -->}}{{Wiersz|<!--
               -->{{Komórka|nagłówek=tak|czas życia}}<!--
               -->{{Komórka|}}<!--
               -->{{Komórka|10{{Sup|-20}}}}<!--
               -->{{Komórka|opcje=colspan="2"|10{{Sup|-10}}}}<!--
               -->{{Komórka|10{{Sup|-23}}}}<!--
    -->}}<!--
-->}}

== Przekroje czynne na zachodzące reakcje ==
Rozważmy reakcję, w której współuczestniczą dwa substraty a i b, wyniku której powstają dwa produkty c i d:
{{CentrujWzór|<MATH>a+b\rightarrow c+d\;</MATH>|2.15}}
Miarą intensywności z jaką zachodzi dana reakcja jest przekrój czynny zachodzącej reakcji {{LinkWzór|2.15}}. Wiązka cząstek pocisku uderza w cząstki, które stanowią tarcze, czyli b, którego grubość jest dx, i koncentracja tych cząstek jest n{{Sub|b}}. Strumień, która przechodzi przez tarczę definiujemy jako iloczyn koncentracji cząstek a i prędkości v{{Sub|i}}, na jednostkę czasu:
{{CentrujWzór|<MATH>\phi=n_av_i\;</MATH>|2.16}}
Jeżeli przekrój czynny na zachodzenie reakcji jest &sigma;, to prawdopodobieństwo zachodzenia reakcji jest &sigma;n{{Sub|b}}dx. A ilość reakcji zachodzącej w przekroju dx jest: &phi;&sigma;n{{Sub|b}}dx. Prawdopodobieństwo, że reakcja będzie zachodziła jest W=&phi;&sigma;. Jednostką przekroju czynnego jest 1b=10{{Sup|-28}}m{{Sup|2}}. Prawdopodobieństwo zajścia reakcji W wiedząc, że M{{Sub|if}} jest to element macierzowy zachodzenia reakcji pomiędzy stanem początkowym, a końcowym stanem reakcji, co można otrzymać z rachunku zaburzeń (jest to całka {{Formuła|<MATH>\int\psi_f^*U\psi_idV\;</MATH>}} mając funkcje falowe w stanie początkowym i końcowym zachodzenia reakcji z potencjałem zachodzenia reakcji), piszemy przez:
{{CentrujWzór|<MATH>W={{2\pi}\over{\hbar}}|M_{if}|^2\rho_f\;</MATH>|2.17}}
Jeżeli &rho;{{Sub|f}} przedstawia ilość stanów końcowych, co można zapisać ją jako pochodną dN/dE, tą wielkość zapiszmy w zależności od pędu i objętości danego układu badanego, w której zachodzi reakcja:
{{CentrujWzór|<MATH>\rho_f={{dN}\over{dE}}={{V}\over{(2\pi\hbar)^3}}p^2{{dp}\over{dE}}d\Omega\;</MATH>|2.18}}
Będziemy przyjmować, że przekrój czynny liczony jest dla objętości V=1 i jednostkowej koncentracji cząstek n{{Sub|a}}, wtedy pochodna przekroju czynnego czynnego względem kąta bryłowego w układzie środka masy jest:
{{CentrujWzór|<MATH>{{d\sigma}\over{d\Omega}}={{W}\over{\phi}}={{W}\over{v_i}}={{2\pi}\over{\hbar}}{{|M_{if}|^2}\over{v_i}}{{p_f^2}\over{(2\pi\hbar)^3}}{{dp_f}\over{dE_0}}\;</MATH>|2.19}}
Z definicji energii całkowitej dwóch produktów reakcji {{LinkWzór|2.15}} mamy <MATH>\sqrt{(p_fc)^2+(m_cc^2)^2}+\sqrt{(p_fc)^2+(m_dc^2)^2}=E_0\;</MATH>, wtedy piszemy pochodną wielkości E{{Sub|0}} względem wielkości p{{Sub|f}}:
{{CentrujWzór|<MATH>{{dE_0}\over{dp_f}}={{2p_fc^2}\over{2\sqrt{(p_fc)^2+(m_cc^2)^2}}}+{{2p_fc^2}\over{2\sqrt{(p_fc)^2+(m_dc^2)^2}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=2p_fc^2{{\sqrt{(p_fc)^2+(m_dc^2)^2}+\sqrt{(p_fc)^2+(m_cc^2)^2}}\over{\sqrt{(p_fc)^2+(m_cc^2)^2}\sqrt{(p_fc)^2+(m_dc^2)^2}}}={{p_fc^2E_0}\over{E_cE_d}}\Rightarrow{{dp_f}\over{dE_0}}={{E_cE_d}\over{p_fc^2E_0}}={{1}\over{v_f}}\;</MATH>|2.20}}
Przekrój czynny różniczkowy zachodzącej reakcji {{LinkWzór|2.15}} piszemy na podstawie wzoru {{LinkWzór|2.19}} i {{LinkWzór|2.20}} w sposób:
{{CentrujWzór|<MATH>{{d\sigma}\over{d\Omega}}={{1}\over{4\pi^2\hbar^4}}|M_{if}|^2{{p_f^2}\over{v_iv_f}}\;</MATH>|2.21}}
Jeżeli cząstki w stanie początkowym mają spiny s{{Sub|a}} i s{{Sub|b}}, a w stanie końcowym spiny s{{Sub|c}} i s{{Sub|d}}, wtedy liczba stanów dostępnych w stanie początkowym i końcowym jest:
{{ElastycznyWiersz
|{{CentrujWzór|<MATH>g_i=(2s_a+1)(2s_b+1)\;</MATH>|2.22}}
|{{CentrujWzór|<MATH>g_f=(2s_c+1)(2s_d+1)\;</MATH>|2.23}}
}}

== Rezonanse podczas zderzenia cząstek i ich rozpady ==
Średni czas zycia danej cząstki niestabilnej określamy jako odwrotność wielkości W {{LinkWzór|2.17}}. Gdy mamy doczynienia z rozpadami silnymi to &tau; jest niemierzalnie krótkie, i pod tym względem posługujemy się wielkością &Gamma;, która jest szerokością (rozmyciem energii stanu podstawowego):
{{CentrujWzór|<MATH>\Gamma={{\hbar}\over{\tau}}=\hbar W=2\pi|M|^2\int\rho_fd\Omega\;</MATH>|2.24}}
Rozmycie stanu podstawowego definiujemy jako pochodna liczby cząstek A względem czasu przez liczbę cząstek N{{Sub|A}} pomnożonej ze znakiem ujemnej przez stałą kreśloną Plancka, z którego obliczymy liczbę cząstek A w zależności od czasu:
{{CentrujWzór|<MATH>\Gamma=-\hbar{{dN_{A}}\over{dt}}{{1}\over{N_A}}\Rightarrow N_A(t)=N_A(0)e^{-{{\Gamma t}\over{\hbar}}}\;</MATH>|2.25}}
Jeżeli mamy kilka kanałów rozpadów, to szerokość energii rozmycia energii stanu podstawowego jest sumą rozmycia poszczególnych energii stanu podstawowych poszczególnych kanałów reakcji. &Gamma;=Σ{{Sub|i}}&Gamma;{{Sub|i}}. Stanu o dużej szerokości są to stany zwane rezonansami. Równość {{LinkWzór|2.25}} określa kształt rezonansu. Funkcja falowa stanu niestabilnego, którego częstotliwość kołowa jest {{Formuła|<MATH>\omega_R=E_R/\hbar\;</MATH>}}, gdzie E{{Sub|R}} jest to energia rezonansu o czasie życia {{LinkWzór|2.24}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)=\psi(0)e^{-i\omega_Rt}e^{-{{t}\over{2\tau}}}=\psi(0)e^{-{{t}\over{\hbar}}\left(iE_R+{{\Gamma}\over{2}}\right)}\;</MATH>|2.26}}
Policzmy teraz transfcrmatę funkcji {{LinkWzór|2.26}} względem czasu:
{{CentrujWzór|<MATH>\chi(E)=\int \psi(t)e^{i{{E}\over{\hbar}}t}=\psi(0)\int e^{-{{t}\over{\hbar}}\left(i(E_R-E)+{{\Gamma}\over{2}}\right)}dt={{K}\over{(E-E_R)-i\Gamma/2}}\;</MATH>|2.27}}
Prawdopodobieństwo rezonansu utworzenia stanu z cząstek a i b jest wprost proporcjonalne do &chi;{{Sup|*}}(E)&chi;(E), zatem na tej podstawie {{LinkWzór|2.27}} określamy wzorami:
{{CentrujWzór|<MATH>\sigma(E)={{K}\over{(E-E_R)-i\Gamma/2}}{{K}\over{(E-E_R)+i\Gamma/2}}=\sigma_{max}{{\Gamma^2/4}\over{(E-E_R)^2+\Gamma^2/4}}\;</MATH>|2.28}}
Jak można zauważyć, przekrój czynny maleje do połowy swej wartości w przypadku wzoru {{LinkWzór|2.28}}, gdy zachodzi  E-E{{Sub|R}}=±&Gamma;/2. Fala płaska jest sumą poszczególnych fal o różnych orbitalnych liczbach kwantowych {{Formuła|<MATH>l\hbar=pb\;</MATH>}}, a b jest parametrem zderzenia, a "p" jest to pęd cząstki. Cząstki o liczbach kwantowych l do l+1 jest o kształcie pierścienia (przy założeniu, że {{Formuła|<MATH>\not{\lambda}\;</MATH>}} jest to kreślona długość fali równej {{Formuła|<MATH>\not{\lambda}=\hbar/p\;</MATH>}}, który piszemy:
{{CentrujWzór|<MATH>\sigma=\pi\left(b_{l+1}^2-b_l^2\right)=\pi\not{\lambda}^2\left[(l+1)^2-l^2\right]=\pi\not{\lambda}^2\left[l^1+2l+1-l^2\right]=\pi\not{\lambda}^2(2l+1)\;</MATH>|2.29}}
Amplituda na rozpraszanie elastyczne maksymalne jest dwukrotne większe niż {{LinkWzór|2.29}}, zatem na podstawie wcześniejszych rozważań i {{LinkWzór|2.28}} uwzględniając krotność wynikająca ze stanów spinowych ,mamy:
{{CentrujWzór|<MATH>\sigma={{4\pi\not{\lambda}(2J+1)}\over{(2s_a+1)(2s_b+1)}}{{\Gamma^2/4}\over{(E-E_R)^2+\Gamma^2/4}}\;</MATH>|2.30}}

== Rezonanse &Delta;{{Sup|++}} w układzie zderzeniowym &pi;{{Sup|+}} (pion) i p (proton) ==
Utworzenie cząstki &Delta;{{Sup|++}} w wyniku zderzenia pionu i protonu, która po pewnej chwili rozpada się na takie same cząstki z jakich został utworzony, ono zachodzi według:
{{CentrujWzór|<MATH>\pi^++p\rightarrow\Delta^{++}\rightarrow \pi^++p\;</MATH>|2.31}}
Cząstka &Delta;{{Sup|++}} ma spin J=3/2, szerokość &Gamma;=120 MeV, a także spiny s{{Sub|a}}=s{{Sub|b}}=1/2 i s{{Sub|b}}=s{{Sub|&pi;}}=0. Przekrój czynny na utworzenie tego stanu dla przypadku rozpraszania elastycznego jest {{Formuła|<MATH>8\pi\not{\lambda}^2\;</MATH>}} dla tego J, wiedząc {{LinkWzór|2.29}}, mając pod uwagę przekrój czynny dla stanu rozproszeniowego.

== Rezonans na utworzenie stanu Z{{Sup|0}} ==
Jest to bozon pośredniczący w oddziaływaniu słabym, jego wartość centralna masy jest 91 GeV, a jego szerokość rezonansu jest &Gamma;=2,5 GeV. Bozon Z{{Sup|0}} może się rozpaść na hadrony tworząc parę {{Formuła|<MATH>Q\overline{Q}\;</MATH>}}, a także mogą być to naładowane leptony:
{{ElastycznyWiersz
|{{CentrujWzór|<MATH>Z^0\rightarrow e^++e^-\;</MATH>|2.33}}
|{{CentrujWzór|<MATH>Z^0\rightarrow\mu^++\mu^-</MATH>|2.34}}
|{{CentrujWzór|<MATH>Z^0\rightarrow\tau^++\tau^{-}\;</MATH>|2.35}}
}}
a także również na parę  leptonów obojętnych:
{{ElastycznyWiersz
|{{CentrujWzór|<MATH>Z^0\rightarrow \nu_e+\tilde{\nu}_e\;</MATH>|2.36}}
|{{CentrujWzór|<MATH>Z^0\rightarrow\nu_{\mu}+\tilde{\nu}_{\mu}\;</MATH>|2.37}}
|{{CentrujWzór|<MATH>Z^0\rightarrow \nu_{\tau}+\tilde{\nu}_{\tau}\;</MATH>|2.38}}
}}

<noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>