Tekst źródłowy strony Szczególna teoria względności/Zestawienie transformacji w układach płaskich i słabozakrzywionych

<noinclude><!--
-->{{SkomplikowanaStronaStart<!--
      -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!--
-->}}</noinclude>

Poniżej przedstawiamy wzory ogólne na transformacie prędkości, czasu, zmiany położenia, przy wielkościach wektorowych prostopadłych i równoległych do prędkości nowego układu odniesienia {{Formuła|<MATH>\vec{V}\;</MATH>}}.

== Transformacje dla układów globalnie (lokalnie) płaskich ==
Podamy tutaj transformacje dla układów globalnie (lokalnie) płaskich transformujące wielkości pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi.

=== Wzór na transformację prędkości ===
Transformacja prędkości ciała ze starego układu współrzędnych do nowego względem prędkości jest napisana:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'={{C_p}\over{1-{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}}}
\left \{
  \vec{V}{{(\vec{V},\vec{v})}\over{V^2}}-\vec{V}+\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\left [{\vec{v}-\vec{V}{{(\vec{v},\vec{V})}\over{V^2}}}\right ]
\right \}={{C_p}\over{1-{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}}}\left[\vec v_{||}-\vec V+\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\vec v_{\perp}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=C_p\left\{{{\vec{v}_{||}-\vec{V}}\over{1-{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}}}
+{{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\vec{v}_{\perp}}\over{1-{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}}}
\right\}
\;</MATH>|1.64}}
Wzór {{LinkWzór|1.64}} jest spełniony tylko dla układu starego i nowego, które są układami ogólnie nieprostokątnymi.

=== Wzór na transformację różniczki położenia ===
Transformacje nieskończenie małej zmiany położenia ciała ze starego układu współrzędnych do nowego względem różniczki zmiany położenia i czasu w starym układzie odniesienia wyrażamy:
{{CentrujWzór|<MATH>d\vec{r'}=C_p\left \{{{\vec{V}{{(\vec{V},d\vec{r})}\over{V^2}}-\vec{V}dt}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}+d\vec{r}-\vec{V}{{(\vec{V},d\vec{r})}\over{V^2}}\right \}=
C_p\left\{
{{d\vec{r}_{||}-\vec{V}dt}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}+d\vec{r}_{\perp}
\right\}\;</MATH>|1.65a}}
Równanie {{LinkWzór|1.65a}} jest spełnione dla starego i nowego układu współrzędnych, które są układami ogólnie nieprostokątnymi.

=== Wzór na transformację położenia w przestrzeni zwykłej ===
Gdy założymy, że dla {{Formuła|<MATH>t^'=t=0\;</math>}} mamy {{Formuła|<MATH>\vec r^'=\vec r=0\;</MATH>}}, wtedy wzór {{LinkWzór|1.65a}} przedstawia się w formie:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{r'}=C_p\left \{{{\vec{V}{{(\vec{V},\vec{r})}\over{V^2}}-\vec{V}t}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}+\vec{r}-\vec{V}{{(\vec{V},\vec{r})}\over{V^2}}\right \}=
C_p\left\{
{{\vec{r}_{||}-\vec{V}t}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}+\vec{r}_{\perp}
\right\}\;</MATH>|1.65b}}

=== Wzór na transformację różniczki czasu ===
Transformacja nieskończenie małego upływu czasu ze starego układu współrzędnych do nowego względem zmiany infinitezymalnego czasu i infinitezymalnej zmiany położenia ciała wyrażamy w sposób:
{{CentrujWzór|<MATH>dt'={{dt-{{(\vec{V},d\vec{r})}\over{c^2}}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}}\;</MATH>|1.66a}}
Równanie {{LinkWzór|1.66a}} jest spełnione dla ogólnie nieprostokątnego układu współrzędnych starego i nowego.

=== Wzór na transformację czasu ===
Podobnie jak dla {{LinkWzór|1.65b}} tak samo zakładamy, więc:
{{CentrujWzór|<MATH>t'={{t-{{(\vec{V},\vec{r})}\over{c^2}}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}}\;</MATH>|1.66b}}

=== Wzór na transformację kwadratu prędkości ===
Policzmy kwadrat wyrażenia {{Formuła|<MATH>{v'}^2=\left(\vec v^',\vec v^'\right)={\vec {v}^'}^TA^'{\vec {v}^'}\;</MATH>}} mając wzór na transformacje macierzy iloczynu skalarnego przestrzennego {{LinkWzór|G0|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}} i wzór na transformację prędkości {{LinkWzór|1.64}}, wtedy:
{{CentrujWzór|<MATH>{v^'}^2=\vec {v^'}^TA^'\vec {v^'}=\left\{{{\vec{v}_{||}-\vec{V}}\over{1-{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}}}
+{{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\vec{v}_{\perp}}\over{1-{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}}}
\right\}^T\underbrace{C_p^TA^'C_p}_{A}\left\{{{\vec{v}_{||}-\vec{V}}\over{1-{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}}}
+{{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\vec{v}_{\perp}}\over{1-{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}}}
\right\}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{v_{||}^2+V^2+\left(1-{{V^2}\over{c^2}}\right)v_{\perp}^2-2(\vec V,\vec v)}\over{\left(1-{{\left(\vec V,\vec v\right)}\over{c^2}}\right)^2}}
={{v^2+V^2-2(\vec V,\vec v)-{{V^2}\over{c^2}}v_{\perp}^2}\over{\left(1-{{\left(\vec V,\vec v\right)}\over{c^2}}\right)^2}}={{v^2+V^2-2(\vec V,\vec v)-{{V^2}\over{c^2}}\left(v^2-v^2_{||}\right)}\over{\left(1-{{\left(\vec V,\vec v\right)}\over{c^2}}\right)^2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{v^2+V^2-2(\vec V,\vec v)-{{V^2}\over{c^2}}\left(v^2-{{{(\vec V,\vec \vec v)}^2}\over{V^2}}\right)}\over{\left(1-{{\left(\vec V,\vec v\right)}\over{c^2}}\right)^2}}=c^2\left[{{{{v^2}\over{c^2}}+{{V^2}\over{c^2}}-2{{(\vec V,\vec v)}\over{c^2}}-{{V^2}\over{c^4}}v^2+{{\left(\vec V,\vec v\right)^2}\over{c^4}}}\over{\left(1-{{\left(\vec V,\vec v\right)}\over{c^2}}\right)^2}}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=
c^2\left[{{{{v^2}\over{c^2}}+{{V^2}\over{c^2}}\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)-2{{(\vec V,\vec v)}\over{c^2}}+{{\left(\vec V,\vec v\right)^2}\over{c^4}}}\over{\left(1-{{\left(\vec V,\vec v\right)}\over{c^2}}\right)^2}}\right]=
c^2\left[{{{{v^2}\over{c^2}}+{{V^2}\over{c^2}}\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)-1+1-2{{(\vec V,\vec v)}\over{c^2}}+{{\left(\vec V,\vec v\right)^2}\over{c^4}}}\over{\left(1-{{\left(\vec V,\vec v\right)}\over{c^2}}\right)^2}}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=
c^2\left[{{{{v^2}\over{c^2}}+{{V^2}\over{c^2}}\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)-1+\left(1-{{\left(\vec V,\vec v\right)^2}\over{c^4}}\right)^2}\over{\left(1-{{\left(\vec V,\vec v\right)}\over{c^2}}\right)^2}}\right]=c^2\left[1-{{1-{{v^2}\over{c^2}}-{{V^2}\over{c^2}}\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)}\over{\left(1-{{\left(\vec V,\vec v\right)}\over{c^2}}\right)^2}}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=c^2\left[1-{{\left(1-{{V^2}\over{c^2}}\right)\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)}\over{\left(1-{{\left(\vec V,\vec v\right)}\over{c^2}}\right)^2}}\right]\Rightarrow {v^'}^2=c^2\left[1-{{\left(1-{{V^2}\over{c^2}}\right)\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)}\over{\left(1-{{\left(\vec V,\vec v\right)}\over{c^2}}\right)^2}}\right]</MATH>|1.67}}
Wzór {{LinkWzór|1.67}} przedstawia transformacje kwadratu prędkości {{Formuła|<MATH>\vec v\;</MATH>}} ze starego układu odniesienia do nowego, a transformacja odwrotna wygląda odwrotnie. Gdy {{Formuła|<MATH>v=c\;</MATH>}} otrzymujemy {{Formuła|<MATH>v^'=c\;</MATH>}} i odwrotnie.

=== Wzór na transformację przyśpieszenia ===
Obliczamy różniczkę obustronną równości {{LinkWzór|1.64}}, co na podstawie tego otrzymujemy równość:
{{CentrujWzór|<MATH>d\vec v^'=C_p{{\left(\vec a_{||}+\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}a_{\perp}\right)\left(1-{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}\right)-\left(v_{||}-\vec V+\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\vec v_{\perp}\right)\left(-{{(\vec a,\vec V)}\over{c^2}}\right)}\over{\left(1-{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}\right)^2}}dt=\;</MATH>{{Br}}<MATH>
=C_p{{\left(\vec a_{||}+\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}a_{\perp}\right)\left(1-{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}\right)+\left(v_{||}-\vec V+\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\vec v_{\perp}\right){{(\vec a,\vec V)}\over{c^2}}}\over{\left(1-{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}\right)^2}}dt=\;</MATH>{{Br}}<MATH>
=
C_p{{\vec a_{||}+\vec a_{\perp}\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}-\vec a_{||}{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}-\vec a_{\perp}\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}+\vec a_{||}{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}-\vec a_{||}{{V^2}\over{c^2}}+\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\vec v_{\perp}{{(\vec a,\vec V)}\over{c^2}}}\over{\left(1-{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}\right)^2}}dt=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=
C_p{{\vec a_{||}{\left(\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\right)}^2+\left[\left(1-{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}\right)\vec a_{\perp}+\vec v_{\perp}{{(\vec a,\vec V)}\over{c^2}}\right]\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}\over{\left(1-{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}\right)^2}}dt
</MATH>|1.68}}
Równość {{LinkWzór|1.68}} podzielmy obustronnie przez {{LinkWzór|1.66a}} przedstawiający transformację różniczki czasu, wtedy otrzymujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec a^'=C_p{{\left\{\vec a_{||}{\left(\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\right)}^2+\left[\left(1-{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}\right)\vec a_{\perp}+\vec v_{\perp}{{(\vec a,\vec V)}\over{c^2}}\right]\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\right\}\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}\over{\left(1-{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}\right)^3}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=
C_p{{\vec a_{||}{\left(\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\right)}^3+\left[\left(1-{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}\right)\vec a_{\perp}+\vec v_{\perp}{{(\vec a,\vec V)}\over{c^2}}\right]\left(1-{{V^2}\over{c^2}}\right)}\over{\left(1-{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}\right)^3}}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\vec a=
C_p\left\{\vec a_{||}\left({{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}\over{1-{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}}}\right)^3+\left[\left(1-{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}\right)\vec a_{\perp}+\vec v_{\perp}{{(\vec a,\vec V)}\over{c^2}}\right]{{1-{{V^2}\over{c^2}}}\over{\left(1-{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}\right)^3}}\right\}</MATH>|1.69}}
Stąd policzmy przyśpieszenie równoległe i prostopadłe do prędkości nowego układu odniesienia:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec a^'_{||}=C_p\vec a_{||}\left({{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}\over{1-{{\left(\vec V,\vec v\right)}\over{c^2}}}}\right)^3\;</MATH>|1.70}}
|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec a^'_{\perp}=C_p\left[\left(1-{{\left(\vec v,\vec V\right)}\over{c^2}}\right)\vec a_{\perp}+\vec v_{\perp}{{\left(\vec V,\vec a\right)}\over{c^2}}\right]{{1-{{V^2}\over{c^2}}}\over{\left(1-{{\left(\vec v,\vec V\right)}\over{c^2}}\right)^3}}</MATH>|1.71}}}}

== Transformacje dla układów słabozakrzywionych ==
Transformacja {{LinkWzór|1.64}}, {{LinkWzór|1.65a}}, {{LinkWzór|1.65b}}, {{LinkWzór|1.67}} i {{LinkWzór|1.69}} (czyli też {{LinkWzór|1.70}} i {{LinkWzór|1.71}}) są dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, do nich są podobne transformacje, tylko że z nadkreśleniami, dla układów słabozakrzywionych transformujące wielkości pomiędzy układami słabozakrzywionymi na podstawie {{LinkWzór|T2a|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} (transformacji macierzy {{Formuła|<MATH>C_p\;</math>}}, tzn. z układu globalnie (lokalnie) płaskiego, na {{Formuła|<math>\overline C_p\;</MATH>}}, tzn. do układu słabozakrzywionego), {{LinkWzór|T1a|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} (transformacji czasu z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układu słabozakrzywionego), {{LinkWzór|T1a|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} (transformacji wektora wodzącego z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego), {{LinkWzór|T1b|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} (niezmienniczości iloczynu skalarnego przestrzenni zwykłej z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układu słabozaskrzywionego) i {{LinkWzór|T1c|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} (niezmienniczości długości przestrzeni zwykłej z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego).

== Równoważność macierzy ''' S ''' i ''' M ''' ==
Macierzowo transformacje n+1 wymiarowego tensora położenia w czasoprzestrzeni {{Formuła|<MATH>dx^{\mu}=[cdt,d\vec r]^T\;</MATH>}} w n+1-wymiarowy wektor {{Formuła|<MATH>d{x^'}^{\mu}=[cdt',d\vec r']^T\;</MATH>}} można napisać na podstawie wzorów: {{LinkWzór|1.65a}} i {{LinkWzór|1.66a}}, w sposób:
{{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix}cdt'\\d\vec r'\end{bmatrix}=S\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}=\underbrace{\begin{bmatrix}\gamma&-\gamma{{\vec V^T}\over{c}}A\\-\gamma C_p{{\vec V}\over{c}}& C_p \left(\gamma{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A+I-{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A\right) \end{bmatrix}}_{S}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&-\gamma{{\vec V^T}\over{c}}A\\
-M_p{{\vec V}\over{c}}&C_p\left(\gamma P_{||}+\underbrace{I-P_{||}}_{P_{\perp}}\right)\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=
\begin{bmatrix}\gamma&-\gamma{{\vec V^T}\over{c}}A\\
-M_p{{\vec V}\over{c}}&C_p\left(\gamma P_{||}+P_{\perp}\right)
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}\gamma&-\gamma{{\vec V^T}\over{c}}A\\
-M_p{{\vec V}\over{c}}&\gamma C_{p||}+C_{p\perp}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}=\underbrace{\begin{bmatrix}\gamma&-\gamma{{\vec V^T}\over{c}}A\\
-M_p{{\vec V}\over{c}}&M_p
\end{bmatrix}}_{M}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}=M\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}
</MATH>|1.72}}
Stąd macierz transformacji {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}} jest równa macierzy transformacji {{Formuła|<MATH>M\;</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>S=M\;</MATH>}}.

<noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>