Szczególna teoria względności/Zestawienie transformacji w układach płaskich i słabozakrzywionych

Poniżej przedstawiamy wzory ogólne na transformacie prędkości, czasu, zmiany położenia, przy wielkościach wektorowych prostopadłych i równoległych do prędkości nowego układu odniesienia Szablon:Formuła.

Transformacje dla układów globalnie (lokalnie) płaskich

Podamy tutaj transformacje dla układów globalnie (lokalnie) płaskich transformujące wielkości pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi.

Wzór na transformację prędkości

Transformacja prędkości ciała ze starego układu współrzędnych do nowego względem prędkości jest napisana: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór jest spełniony tylko dla układu starego i nowego, które są układami ogólnie nieprostokątnymi.

Wzór na transformację różniczki położenia

Transformacje nieskończenie małej zmiany położenia ciała ze starego układu współrzędnych do nowego względem różniczki zmiany położenia i czasu w starym układzie odniesienia wyrażamy: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór jest spełnione dla starego i nowego układu współrzędnych, które są układami ogólnie nieprostokątnymi.

Wzór na transformację położenia w przestrzeni zwykłej

Gdy założymy, że dla Szablon:Formuła mamy Szablon:Formuła, wtedy wzór Szablon:LinkWzór przedstawia się w formie: Szablon:CentrujWzór

Wzór na transformację różniczki czasu

Transformacja nieskończenie małego upływu czasu ze starego układu współrzędnych do nowego względem zmiany infinitezymalnego czasu i infinitezymalnej zmiany położenia ciała wyrażamy w sposób: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór jest spełnione dla ogólnie nieprostokątnego układu współrzędnych starego i nowego.

Wzór na transformację czasu

Podobnie jak dla Szablon:LinkWzór tak samo zakładamy, więc: Szablon:CentrujWzór

Wzór na transformację kwadratu prędkości

Policzmy kwadrat wyrażenia Szablon:Formuła mając wzór na transformacje macierzy iloczynu skalarnego przestrzennego Szablon:LinkWzór i wzór na transformację prędkości Szablon:LinkWzór, wtedy: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór przedstawia transformacje kwadratu prędkości Szablon:Formuła ze starego układu odniesienia do nowego, a transformacja odwrotna wygląda odwrotnie. Gdy Szablon:Formuła otrzymujemy Szablon:Formuła i odwrotnie.

Wzór na transformację przyśpieszenia

Obliczamy różniczkę obustronną równości Szablon:LinkWzór, co na podstawie tego otrzymujemy równość: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór podzielmy obustronnie przez Szablon:LinkWzór przedstawiający transformację różniczki czasu, wtedy otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Stąd policzmy przyśpieszenie równoległe i prostopadłe do prędkości nowego układu odniesienia: Szablon:ElastycznyWiersz

Transformacje dla układów słabozakrzywionych

Transformacja Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór (czyli też Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór) są dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, do nich są podobne transformacje, tylko że z nadkreśleniami, dla układów słabozakrzywionych transformujące wielkości pomiędzy układami słabozakrzywionymi na podstawie Szablon:LinkWzór (transformacji macierzy Szablon:Formuła, tzn. z układu globalnie (lokalnie) płaskiego, na Szablon:Formuła, tzn. do układu słabozakrzywionego), Szablon:LinkWzór (transformacji czasu z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układu słabozakrzywionego), Szablon:LinkWzór (transformacji wektora wodzącego z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego), Szablon:LinkWzór (niezmienniczości iloczynu skalarnego przestrzenni zwykłej z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układu słabozaskrzywionego) i Szablon:LinkWzór (niezmienniczości długości przestrzeni zwykłej z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego).

Równoważność macierzy S i M

Macierzowo transformacje n+1 wymiarowego tensora położenia w czasoprzestrzeni Szablon:Formuła w n+1-wymiarowy wektor Szablon:Formuła można napisać na podstawie wzorów: Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, w sposób: Szablon:CentrujWzór Stąd macierz transformacji Szablon:Formuła jest równa macierzy transformacji Szablon:Formuła, czyli Szablon:Formuła.