Tekst źródłowy strony Szczególna teoria względności/Własności czasoprzestrzeni

<noinclude><!--
-->{{SkomplikowanaStronaStart<!--
      -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!--
-->}}</noinclude>

Tutaj zajmować się będziemy wnioskami wynikającymi z własności czasoprzestrzeni.

== Dylatacja czasu ==
Zakładamy, że prędkość nowego układu współrzędnych jest stała i wynosi {{Formuła|<Math>\vec{V}\;</MATh>}}, zatem zakładając, że czas początkowy, który liczymy w starym i nowym układzie współrzędnych tak by był  równy zero, zatem na podstawie {{LinkWzór|1.66b|Zestawienie transformacji w układach płaskich i słabozakrzywionych}} jest napisane:
{{CentrujWzór|<MATH>\Delta t'={{\Delta t-{{(\vec{V},\Delta \vec{x})}\over{c^2}}}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}\;</MATH>|4.1}}
Połóżmy sobie w nowym układzie odniesienia, że mamy spoczywający sobie zegar, czyli w tym przypadku jest na pewno {{Formuła|<MATH>\Delta \vec{x}=0\;</MATH>}}, zatem w takiej sytuacji różnica pomiędzy dwoma zdarzeniami zwana czasem własnym wynosi: &Delta;t=τ{{Sub|0}}, oraz czas w starym układzie współrzędnych jest dany przez wzór &Delta; t'=τ, a zatem na podstawie {{LinkWzór|4.1}} możemy powiedzieć:
{{CentrujWzór|<MATH>\tau=\Delta t^'={{\overbrace{\Delta t}^{\tau_0}-{{(\vec{V},\overbrace{\Delta \vec{x}}^0)}\over{c^2}}}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}={{\tau_0}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}\;</MATH>|4.2}}
A zatem dylatacja czasu wedle dyskusji {{LinkWzór|4.2}}, której to przepisujemy jego końcowy wynik poniżej, który wyraża się jako transformacja czasu &tau;, w układzie w którym obserwator porusza się z prędkością u względem układu spoczywającego &tau;{{Sub|0}}, w którym dany obserwator spoczywa.
{{CentrujWzór|<MATH>\tau={{\tau_0}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}\;</MATH>|4.3}}
A więc czas się wydłuża w układzie K' względem ciała spoczywającego w układzie K. Gdy prędkość ciała jest równa prędkości światła, to przy skończonym czasie &tau; w nowym układzie współrzędnych poruszających się V=c, wtedy jego czas własny wynosi zero, zatem w tym przypadku w nim wcale nie ma upływu czasu.

== Skrócenie długości ==
Zakładając, że prędkość układu jest stała. Ciało w układzie K spoczywa.
Będziemy wykorzystywać wzór {{LinkWzór|1.65a|Zestawienie transformacji w układach płaskich i słabozakrzywionych}}. Niech mamy pręt, który jest pod pewnym kątem względem prędkości nowego układu współrzędnych względem nowego {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}}, napiszmy wektor, który jest równoległy do tego pręta {{Formuła|<MATH>\Delta x\;</MATH>}} o wartości, którego jest to długość tego pręta, wtedy po rozłożeniu tego wektora na składową równoległą do prędkości nowego układu współrzędnych {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}} względem starego, wtedy otrzymujemy wektor {{Formuła|<MATH>\Delta \vec x_{||}\;</MATH>}}, który ma długość {{Formuła|<MATH>l_0\;</MATH>}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec x^'_{||}=C_p{{\Delta \vec x_{||}-\vec V\Delta t}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}=C_p{{\Delta\vec x_{||}}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}\Rightarrow|\Delta \vec x^'_{||}|^2=(\Delta\vec x^'_{||},\Delta \vec x^'_{||})={{\Delta\vec x^T_{||}C_p^TA^'C_p\Delta \vec x_{||}}\over{{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}={{\Delta\vec x^T_{||}A\Delta \vec x_{||}}\over{{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}={{|\Delta\vec x_{||}|^2}\over{{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow|\Delta\vec x^'_{||}|={{|\Delta \vec x_{||}|}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}={{l_0}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}</MATH>|4.4}}
Ponieważ długość {{Formuła|<MATH>\Delta x_{||}\;</MATH>}} liczymy w tym samym czasie a wiec ona jest równa długości własnej l{{Sub|0}} w układzie K, w którym ciało spoczywa, podobnie liczmy też ten wektor ale w nowym układzie współrzędnych. Liczona różnica {{Formuła|<MATH>|\Delta \vec x^'_{||}|\;</MATH>}} odpowiada różnicy czasów w K', tzn. {{Formuła|<MATH>\Delta t^'\;</MATH>}}, wiedząc że w starym układzie odniesienia mamy &Delta; t=0, zatem według wzoru {{LinkWzór|1.66a|Zestawienie transformacji w układach płaskich i słabozakrzywionych}} różnica czasów pomiędzy dwoma końcami pręta poruszającego się w nowym układzie odniesienia:
{{CentrujWzór|<MATH>\Delta t'={{-{{(\vec V,\Delta\vec x_{||})}\over{c^2}}}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}={{-{{Vl_0}\over{c^2}}}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}\;</MATH>|4.5}}
Długość l, który jest długością składowej wektora równoległego do {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}}. Jego prawy koniec znajduje się w przeszłości o różnicę czasu &Delta; t, zatem do długości {{LinkWzór|4.4}} musimy dodać do niego wielkość V'&Delta; t', tak aby prawy i lewy koniec naszego rozważanego pręta były liczone w tym samym czasach w obydwu jego końcach. Układ K jest dla niego układem własnym nieporuszających się, a K' jest układem poruszającym się z prędkością o wartości V'=V jak udowodniono w {{LinkWzór|1.33b|Transformacje prędkości - początek rozważań}}.
{{CentrujWzór|<MATH>l=\left|\Delta\vec x^'_{||}\right|-V^'\left|\Delta t^'\right|={{l_0}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}-V{{{{Vl_0}\over{c^2}}}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}=
l_0{{\left(\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\right)^2}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}=l_0\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\;</MATH>|4.6}}
Możemy przepisać wynik z punktu {{LinkWzór|4.6}}, wtedy długość danej składowej równoległej do {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}} w układzie, w którym pręt porusza się z prędkością V jest równa {{Formuła|<MATH>l\;</math>}}, a jest ona wyrażona w zależności od długości {{Formuła|<MATH>l_0\;</MATH>}} w układzie w którym pręt spoczywa:
{{CentrujWzór|<MATH>l=l_0\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\;</MATH>|4.6a|Obramuj}}
Stąd wychodzi, że ciało spoczywające w układzie spoczynkowym K ma największą długość, w innych układach różnych niż K długość układu jest mniejsza, czyli zawsze zachodzi l<l{{Sub|0}}.

== Transformacja częstotliwości fali elektromagnetycznej dla względnej prędkości źródła i odbiornika ==
Będziemy tutaj rozpatrywać, gdy odbiornik spoczywa i źródło się porusza, a także gdy odbiornik jest w ruchu, a źródło spoczywa.
===Odbiornik spoczywa, a źródło się porusza===
Załóżmy, że mamy oś OX, w którym źródło fali elektromagnetycznej (układ K'), porusza się zgodnie z kierunkiem wzrostu osi OX.
Odbiornik fali elektromagnetycznej znajduje się w punkcje x{{Sub|1}}, czyli dla naszego przypadku, gdy fala zostanie wysłana odwrotnie do kierunku ruchu nadajnika z pewnym maksimum (zakładamy, że źródło oddala się od odbiornika i odbiornik znajduje się przed źródłem), to ona dojdzie w czasie t{{Sub|1}}.
{{CentrujWzór|<MATH>x_1=x_0-ct_1\;</MATH>|4.7}}
Po czasie T'{{Sub|0}} względem naszego układu , źródło fali elektromagnetycznej ponownie wysyła np. maksimum drań, zatem on dopłynie do odbiornika w czasie t{{Sub|2}}.
{{CentrujWzór|<MATH>x_1=x_0+V T'_0-c(t_2-T_0^')\;</MATH>|4.8}}
Przyrównując oba wzory na x{{Sub|1}}, czyli w tym przypadku {{LinkWzór|4.7}} i {{LinkWzór|4.8}}, i wiedząc, że mamy T=t{{Sub|2}}-t{{Sub|1}}, w takim przypadku można powiedzieć:
{{CentrujWzór|<MATH>x_0-ct_1=x_0+V T'_0-c(t_2-T'_0)\Rightarrow-c T+cT'_0+VT'_0=0\Rightarrow T=T'_0\left(1+{{V}\over{c}}\right)\;</MATH>|4.9}}
Teraz uwzględnimy wzór na dylatację czasu {{LinkWzór|4.3}} i określmy, że czas własny wysyłania poszczególnych np. maksimów w fali elektromagnetycznej w układzie własnym nadajnika T{{Sub|0}} (w układzie, w którym nadajnik spoczywa), i w starym układzie odniesienia  (w układzie, w której nadajnik porusza się z prędkością V), któremu odpowiada czas T'{{Sub|0}}, to wtedy transformacja między tymi czasami wyraża się:
{{CentrujWzór|<MATH>T'_0={{T_0}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}\;</MATH>|4.10}}
Idąc dalej podstawiając {{LinkWzór|4.10}} do końcowego wynikowego wzoru {{LinkWzór|4.9}}, bo w tym wzorze czasy są liczone względem starego układu odniesienia T{{Sup|'}}{{Sub|0}} i względem nowego T{{Sub|0}}, wtedy po dokonaniu tego naszego podstawienia otrzymamy wzór na okres fali wysyłanych przez nadajnik T{{Sub|0}} i odbieranych przez odbiornik T:
{{CentrujWzór|<MATH>T=T_0{{1+{{V}\over{c}}}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}=T_0{{\left(\sqrt{1+{{V}\over{c}}}\right)^2}\over{\sqrt{1-{{V}\over{c}}}\sqrt{1+{{V}\over{c}}}}}=T_0\sqrt{{1+{{V}\over{c}}}\over{1-{{V}\over{c}}}}\;</MATH>|4.11}}
Wiedząc, że częstość fali jest wyrażona wzorem {{Formuła|<MATH>\nu={{1}\over{T}}\;</MATH>}}, czyli jest odwrotnością okresu drań fali elektromagnetycznego w próżni, to wtedy transformacja częstości fali odbieranej w zależności częstości wysyłanej jest napisana:
{{CentrujWzór|<MATH>\nu=\nu_0\sqrt{{1-{{V}\over{c}}}\over{1+{{V}\over{c}}}}\;</MATH>|4.12}}
Możemy wyrazić długość fali &lambda; przez częstość w sposób {{Formuła|<MATH>\lambda={{c}\over{\nu}}\;</MATH>}}, czyli jest to odwrotność częstości fali elektromagnetycznego pomnożonej przez prędkość światła c, a długość fali transformuje się:
{{CentrujWzór|<MATH>\lambda=\lambda_0\sqrt{{1+{{V}\over{c}}}\over{1-{{V}\over{c}}}}\;</MATH>|4.13}}
Przy założeniach, że jeśli V>0, to wtedy źródło oddala się od odbiornika, oraz gdy V<0, to źródło przybliża się do odbiornika. Gdy prędkość źródła znajduje się  pod kątem &alpha; względem linii odbiornik i źródło, co on znajduje się daleko od odbiornika, to wtedy on oddala się od niego z prędkością (tzn. składowa równoległa prędkości źródła do linii łączący odbiornik ze źródłem):
{{CentrujWzór|<MATH>V^'=V\cos\alpha;\;</MATH>|4.14}}
a dalej do wzoru na okres drgań {{LinkWzór|4.9}} stosujemy wzór {{LinkWzór|4.14}} i później tożsamość na dylatacje czasu {{LinkWzór|4.10}}, tzn. na wydłużenie czasu {{Formuła|<MATH>T_0\;</MATH>}} na czas {{Formuła|<MATH>T^'_0\;</MATH>}}, wtedy mamy:
{{CentrujWzór|<MATH>T=T_0{{1+{{V}\over{c}}\cos\alpha}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}\;</MATH>|4.15}}
Napiszmy dalsze zależności na częstość i długość fali, wtedy:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\nu=\nu_0{{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}\over{1+{{V}\over{c}}\cos\alpha}}\;</MATH>|4.16}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\lambda=\lambda_0{{1+{{V}\over{c}}\cos\alpha}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}\;</MATH>|4.17}}}}

=== Odbiornik się porusza, a źródło spoczywa ===
Załóżmy, że odbiornik oddala się od źródła i zakładamy, że odbiornik znajduje się za źródłem, wtedy równanie na położenie odbiornika w chwili {{Formuła|<MATH>t_1\;</MATH>}} przedstawia się wzorem na {{Formuła|<MATH>x_1\;</MATH>}}, tzn. początkowe położenie źródła jest {{Formuła|<MATH>x_0\;</MATH>}}, a po czasie {{Formuła|<MATH>t_1\;</MATH>}} po jakim doszła do odbiornika fala elektromagnetyczna jest położeniem {{Formuła|<MATH>x_1\;</MATH>}}, tzn. zachodzi:
{{CentrujWzór|<MATH>x_1=x_0+ct_1\;</MATH>|4.18}}
a równanie na położenie odbiornika w chwili {{Formuła|<MATH>t_2\;</MATH>}} piszemy wzorem poniżej, przy czym zachodzi {{Formuła|<MATH>T^'=t_2-t_1\;</MATH>}} dla spoczywającego źródła, który jest źródłem wysyłających fal elektromagnetycznych, co wtedy:
{{CentrujWzór|<MATH>x_1+VT^'=x_0+c(t_2-T_0)\;</MATH>|4.19}}
Podstawiając wzór {{LinkWzór|4.18}} do {{LinkWzór|4.19}}, co na tej podstawie otrzymujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>x_0+ct_1+VT^'=x_0+c(t_2-T_0)\Rightarrow c(t_2-t_1)-VT^'-cT_0=0\Rightarrow cT^'-VT^'-cT_0=0\Rightarrow T_0=T^'\left(1-{{V}\over{c}}\right)\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow T^'=T_0{{1}\over{1-{{V}\over{c}}}}\;</MATH>|4.20}}
Teraz uwzględnimy wzór na dylatację czasu {{LinkWzór|4.3}} i określmy, że czas własny wysyłania poszczególnych np. maksimów w fali elektromagnetycznej w układzie własnym odbiornika T (w układzie, w którym odbiornik spoczywa) i w starym układzie odniesienia  (w układzie, w którym odbiornik porusza się z prędkością V), któremu odpowiada czas T', to wtedy transformacja między tymi czasami wyraża się:
{{CentrujWzór|<MATH>T^'={{T}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}\;</MATH>|4.21}}
Idąc dalej podstawiając {{LinkWzór|4.21}} do końcowego wynikowego wzoru {{LinkWzór|4.20}}, bo w tym wzorze czasy są liczone względem starego układu odniesienia T{{Sup|'}} i względem nowego T, wtedy po dokonaniu tego naszego podstawienia otrzymamy wzór na okres fali wysyłanych przez nadajnik T{{Sub|0}} i odbieranych przez odbiornik T:
{{CentrujWzór|<MATH>{{T}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}=T_0{{1}\over{1-{{V}\over{c}}}}\Rightarrow {{T}\over{\sqrt{1-{{V}\over{c}} } \sqrt{1+{{V}\over{c}} }} }=T_0{{1}\over{\left(\sqrt{1-{{V}\over{c}} }\right)^2}}\Rightarrow T=T_0\sqrt{ { {1+{{V}\over{c}} }\over{1-{{V}\over{c}} } }} \;</MATH>|4.22}}
A dalsze wzory wynikające z {{LinkWzór|4.22}} na długość i częstość fali dla naszego rozważanego przypadku są takie same jak w punktach {{LinkWzór|4.12}} i {{LinkWzór|4.13}}. A te wzory są spełnione dla przypadku {{Formuła|<MATH>V>0\;</MATH>}}, gdy odbiornik oddala się od źródła, a {{Formuła|<MATH>V<0\;</MATH>}}, gdy jest odwrotnie.
Gdy odbiornik znajduje się daleko od źródła i on oddala się z prędkością od niej o wartości (tzn. składowa równoległa prędkości odbiornika do linii łączący odbiornik ze źródłem):
{{CentrujWzór|<MATH>V^'=V\cos\alpha\;</MATH>|4.23}}
Wzór {{LinkWzór|4.23}} stosujemy do wzoru {{LinkWzór|4.20}} na okres drgań i dalej tożsamość na dylatację czasu {{LinkWzór|4.21}} wydłużenia czasu spoczynkowego {{Formuła|<MATH>T\;</MATH>}} na czas {{Formuła|<MATH>T^'\;</MATH>}}, wtedy otrzymujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>T=T_0{{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}\over{1-{{V}\over{c}}\cos\alpha}}\;</MATH>|4.24}}
Napiszmy dalsze zależności na częstość i długość fali elektromagnetycznej:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\nu=\nu_0{{1-{{V}\over{c}}\cos\alpha}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}\;</MATH>|4.25}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\lambda=\lambda_0{{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}\over{1-{{V}\over{c}}\cos\alpha}}\;</MATH>|4.26}}}}

<noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>