Tekst źródłowy strony Szczególna teoria względności/Dyskretne i ciągłe równanie ruchu

<noinclude><!--
-->{{SkomplikowanaStronaStart<!--
      -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!--
-->}}</noinclude>

== Dynamika dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości ==
Udowodnimy tutaj lokalne prawa ruchu cząstki płynu w mechanice Newtona i szczególnej teorii względności dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości.

=== Szczególna teoria względności ===
Wykorzystując tożsamość {{LinkWzór|3s1|Lokalna zasada zachowania energii(masy)-pędu z lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu}} biorąc ją we wzorze ostatnim w {{LinkWzór|3.19aaa|Lokalna zasada zachowania tensora pędu}}, wtedy mając równoważność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich {{LinkWzór|2.35|Tensory w czasoprzestrzeni}} z {{LinkWzór|2.42a|Tensory w czasoprzestrzeni}}, gdzie tam zastosowano twierdzenie {{LinkTwierdzenie|GH|Tensory w czasoprzestrzeni}}, co:
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}(\rho v^i)={{\partial p}\over{\partial x_i}}+{{dF^i_z}\over{dV}}\Rightarrow {{\partial}\over{\partial t}}(\rho\vec v)=-\nabla p+{{d\vec F_z}\over{dV}}={{d\vec F}\over{dV}}\Rightarrow \rho_0c\gamma{{du^{i}}\over{dt}}=-\nabla p+{{d\vec F_z}\over{dV}}\;</MATH>|3s3}}
Wykorzystując tożsamość {{LinkWzór|3s2|Lokalna zasada zachowania energii(masy)-pędu z lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu}} i {{LinkWzór|r6|Pewne prawa w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości}} wykorzystując je we wzorze {{LinkWzór|3.19aaaa|Lokalna zasada zachowania tensora pędu}}, wtedy mając równoważność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich {{LinkWzór|2.35|Tensory w czasoprzestrzeni}} z {{LinkWzór|2.42a|Tensory w czasoprzestrzeni}}, gdzie tam zastosowano twierdzenie {{LinkTwierdzenie|GH|Tensory w czasoprzestrzeni}}, co:
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}(\rho c)={{\partial p}\over{\partial x_0}}+{{dF^0_z}\over{dV}}=-{{\partial p}\over{\partial x^i}}{{d x^i}\over{dx_0}}+{{dF^0_z}\over{dV}}=-{{\partial p}\over{\partial x^i}}{{v^i}\over{c}}+{{dF^i_z}\over{dV}}{{v_i}\over{c}}=\left(-{{\partial p}\over{\partial x^i}}+{{dF^i_z}\over{dV}}\right){{v^i}\over{c}}\Rightarrow{{\partial}\over{\partial t}}(\rho c)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\left(-\nabla p+{{d\vec F_z}\over{dV}},{{\vec v}\over{c}}\right)={{dF^0}\over{dV}}\Rightarrow \rho_0c\gamma{{du^{0}}\over{dt}}=\left(-\nabla p+{{d\vec F_z}\over{dV}},{{\vec v}\over{c}}\right)</math>|3s4}}
Wzór na tensor siły w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości przedstawia się formie:
{{CentrujWzór|<MATH>{{dF^{\mu}}\over{dV}}=\begin{bmatrix}\left({{d\vec F}\over{dV}},{{\vec v}\over{c}}\right)\\{{d\vec F}\over{dV}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\left(-\nabla p+{{d\vec F_z}\over{dV}},{{\vec v}\over{c}}\right)\\-\nabla p+{{d\vec F_z}\over{dV}}\end{bmatrix}\Rightarrow{{dK^{\mu}}\over{dV}}={{\gamma}\over{c}}{{dF^{\mu}}\over{dV}}={{\gamma}\over{c}}\begin{bmatrix}\left({{d\vec F}\over{dV}},{{\vec v}\over{c}}\right)\\{{d\vec F}\over{dV}}\end{bmatrix}={{\gamma}\over{c}}\begin{bmatrix}\left(-\nabla p+{{d\vec F_z}\over{dV}},{{\vec v}\over{c}}\right)\\-\nabla p+{{d\vec F_z}\over{dV}}\end{bmatrix}\;</MATH>|V3r}}
a lokalne równanie ruchu cząstki materii łącząc wzory {{LinkWzór|3s4}} ({{Formuła|<MATH>\mu=0\;</MATH>}}) i {{LinkWzór|3s3}} ({{Formuła|<MATH>\mu=i\;</MATH>}}) na podstawie definicji gęstości tensora siły {{LinkWzór|V3r}} przedstawia się w formie:
{{CentrujWzór|<MATH>\rho_0 c\gamma{{du^{\mu}}\over{ds}}={{dK^{\mu}}\over{dV}}\;</MATH>|V3r1}}
Wzór tensorowy {{LinkWzór|V3r1}} to jest prawo dynamiki płynów, a on jest zgodny z definicją gęstości tensora siły {{LinkWzór|2.42|Tensory w czasoprzestrzeni}} i składowe gęstości tensora siły w równaniu {{LinkWzór|V3r1}}, tzn.: składowe {{LinkWzór|V3r}} są zgodne z {{LinkWzór|2.27|Tensory w czasoprzestrzeni}}, czyli równanie tensorowe {{LinkWzór|3.19aa|Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu}} jest poprawne.

=== Mechanika Newtona ===
Wykorzystując tożsamość {{LinkWzór|3s11|Lokalna zasada zachowania energii(masy)-pędu z lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu}} biorąc ją we wzorze ostatnim w {{LinkWzór|3.19aaa|Lokalna zasada zachowania tensora pędu}}, wtedy mając równoważność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich {{LinkWzór|2.42s|Tensory w czasoprzestrzeni}} z {{LinkWzór|2.38s|Tensory w czasoprzestrzeni}}, gdzie tam zastosowano twierdzenie {{LinkTwierdzenie|GH|Tensory w czasoprzestrzeni}}, co:
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}(\rho v^i)={{\partial p}\over{\partial x_i}}+{{dF^i_z}\over{dV}}\Rightarrow {{\partial}\over{\partial t}}(\rho\vec v)=-\nabla p+{{d\vec F_z}\over{dV}}={{d\vec F}\over{dV}}\Rightarrow \rho_0{{dv^{i}}\over{dt}}=-\nabla p+{{d\vec F_z}\over{dV}}\;</MATH>|3s3a}}
Wykorzystując tożsamość {{LinkWzór|3s21|Lokalna zasada zachowania energii(masy)-pędu z lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu}} i {{LinkWzór|L1|Pewne prawa w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości}} wykorzystując je we wzorze {{LinkWzór|3.19aaaa|Lokalna zasada zachowania tensora pędu}}, wtedy mając równoważność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich {{LinkWzór|2.42s|Tensory w czasoprzestrzeni}} z {{LinkWzór|2.38s|Tensory w czasoprzestrzeni}}, gdzie tam zastosowano twierdzenie {{LinkTwierdzenie|GH|Tensory w czasoprzestrzeni}}, co:
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}(\rho c)={{\partial p}\over{\partial x_0}}+{{dF^0_z}\over{dV}}=0\Rightarrow{{\partial}\over{\partial t}}(\rho c)=0={{dF^0}\over{dV}}\Rightarrow \rho_0{{dv^{0}}\over{dt}}=0</math>|3s4a}}
Wzór na wielkość wskaźnikową siły w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym wielkości wskaźnikowej prędkości przedstawia się formie:
{{CentrujWzór|<MATH>{{dF^{\mu}}\over{dV}}=\begin{bmatrix}0\\{{d\vec F}\over{dV}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\-\nabla p+{{d\vec F_z}\over{dV}}\end{bmatrix}\Rightarrow{{dK^{\mu}}\over{dV}}={{1}\over{c}}\begin{bmatrix}0\\{{d\vec F}\over{dV}}\end{bmatrix}={{1}\over{c}}\begin{bmatrix}0\\-\nabla p+{{d\vec F_z}\over{dV}}\end{bmatrix}\;</MATH>|V3rs}}
a lokalne równanie ruchu cząstki materii łącząc wzory {{LinkWzór|3s4a}} ({{Formuła|<MATH>\mu=0\;</MATH>}}) i {{LinkWzór|3s3a}} ({{Formuła|<MATH>\mu=i\;</MATH>}}) na podstawie definicji gęstości wielkości wskaźnikowej siły {{LinkWzór|V3rs}} przedstawia się w formie:
{{CentrujWzór|<MATH>\rho_0 {{dv^{\mu}}\over{ds}}={{dF^{\mu}}\over{dV}}\;</MATH>|V3r1a}}
Wzór wskaźnikowy {{LinkWzór|V3r1a}} to jest prawo dynamiki płynów, a on jest zgodny z definicją gęstości wielkości wskaźnikowej siły {{LinkWzór|2.42s|Tensory w czasoprzestrzeni}}, tzn.: składowe jego {{LinkWzór|V3rs}} są zgodne z definicją wielkości wskaźnikowej siły, czyli równanie wskaźnikowe {{LinkWzór|3.19aa1|Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu}} jest poprawne.

== Równanie ruchu dla układów punktowych i rozciągłych dla układów słabozakrzywionych ==
Przedstawimy tutaj równania ruchu w układach słabozakrzywionych wynikłe z równań dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości.

=== Szczególna teoria względności ===
Zajmiemy się tutaj przypadkiem wyprowadzeniem dynamiki Einsteina, gdy macierz transformacji jest prawie stała względem interwału czasoprzestrzennego w przypadku układów słabozakrzywionych, i z rachunku tensorowego z definicji różniczki zupełnej dla tensora absolutnego dla układów słabozakrzywionych.

==== Macierz transformacji prawie stała względem interwału czasoprzestrzennego ====
Równanie {{LinkWzór|V3r1}} z definicją gęstości tensora siły {{LinkWzór|V3r}} zgadza się ze wzorem na równanie ruchu na gęstość tensora siły {{LinkWzór|2.42|Tensory w czasoprzestrzeni}} przy definicji tensora siły {{LinkWzór|2.27|Tensory w czasoprzestrzeni}} (który możemy przekształcić na gęstość tensora siły), ale także zachodzi też w przybliżeniu tożsamość {{Formuła|<MATH>{{d}\over{ds}}{\overline{\Lambda}^{\nu}}_{\mu}\simeq 0\;</MATH>}}, tzn.: {{LinkWzór|P3c|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}} z definicji układu słabozakrzywionego przy definicji różniczki interwału czasoprzestrzennego {{LinkWzór|1.74c|Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła}}, która jest taka sama przy przejściu od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układu słabozakrzywionego. Zachodzi transformacja różniczki tensora siły z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego {{Formuła|<MATH>\overline{\Lambda^{\nu}}_{\mu}dK^{\mu}\simeq d\overline K^{\nu}\;</MATH>}} na podstawie {{LinkWzór|P3d|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}} przy definicji macierzy transformacji {{LinkWzór|CD1|Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona}} i transformacji tensora prędkości {{LinkWzór|K3|Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona}}, bo to zachodzi pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi a układami w przybliżeniu płaskimi (słabozakrzywionymi), a nie dokładnie płaskimi, ale wzór {{LinkWzór|V3r}} na gęstość tensora siły i wzór {{LinkWzór|V3r1}} na równanie ruchu dla układów rozciągłych są również słuszne w przybliżeniu dla układów słabozakrzywionych, jak udowodnimy, i wiedząc, że to są układy prawie płaskie.
Weźmy wzór {{LinkWzór|V3r1}} pisząc go w przedstawieniu najpierw dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości doprowadzając go do układów słabozakrzywionych i dowiemy się, że dla tych układów jest prawem tylko przybliżonym z definicji tych układów:
{{CentrujWzór|<MATH>\rho_0 c\gamma{{du^{\mu}}\over{ds}}={{dK^{\mu}}\over{dV}}\Rightarrow dm_0c{{du^{\mu}}\over{ds}}=dK^{\mu}\Rightarrow dm_0c\overline{\Lambda^{\nu}}_{\mu}{{du^{\mu}}\over{ds}}=\overline{\Lambda^{\nu}}_{\mu}dK^{\mu}\Rightarrow dm_0c{{d}\over{ds}}\left(\overline{\Lambda^{\nu}}_{\mu}u^{\mu}\right)-dm_0c u^{\mu}{{d}\over{ds}}\overline{\Lambda^{\nu}}_{\mu}=\overline{\Gamma^{\nu}}_{\mu}dK^{\mu}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d\overline m_0\overline c{{d\overline u^{\nu}}\over{ds}}\simeq d\overline K^{\nu}\Rightarrow\overline\rho_0 \overline c\overline\gamma{{d\overline u^{\mu}}\over{ds}}\simeq{{d\overline K^{\mu}}\over{d\overline V}}\;</MATH>|E1}}
Macierz transformacji {{Formuła|<MATH>{\overline\Lambda^{\mu}}_{\nu}\;</MATH>}} może być funkcją uogólnioną według {{LinkWzór|B5|Przechodniość macierzy transformacji}}.
Równanie ruchu dla układów słabozakrzywionych na podstawie obliczeń {{LinkWzór|E1}} pisząc bez nadkreśleń nad wielkościami wskaźnikowymi, będące nawet w przybliżeniu tensorami, jest w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>\rho_0 c\gamma{{du^{\mu}}\over{ds}}\simeq{{dK^{\mu}}\over{dV}}\;</MATH>|E2}}
Dla układów słabozakrzywionych równanie tensorowe lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii-pędu {{LinkWzór|3.19aa11|Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu}} wraz z końcowym tensorowym równaniem ruchu dla układów rozciągłych w przedstawieniu {{LinkWzór|E2}}, lokalnym tensorowym prawem zachowania energii-pędu {{LinkWzór|Vb|Lokalna zasada zachowania energii(masy)-pędu z zasady zachowania energii(masy)-pędu}} i lokalnym prawem zachowania tensora pędu {{LinkWzór|K62|Lokalna zasada zachowania tensora pędu}} stanowią komplet równań różniczowych, które stosujemy dla układów rozciągłych.
Z {{LinkWzór|E2}} wynika równanie ruchu dla układów punktowych na podstawie {{LinkWzór|2.44|Tensory w czasoprzestrzeni}}  mając {{LinkWzór|2.43|Tensory w czasoprzestrzeni}}, co udowodniając ten wzór według {{LinkWzór|2.45|Tensory w czasoprzestrzeni}} przedstawia się w formie {{LinkWzór|1.110|Trzy zasady dynamiki Einsteina}}, a więc z niego wynika wzór na tensor siły {{LinkWzór|2.18|Tensory w czasoprzestrzeni}}.

==== Wyprowadzenie dynamiki Einsteina z rachunku tensorowego z definicji tensora absolutnego ====
Weźmy równanie po pierwszym symbolu implikacji i przed drugim symbolem implikacji w {{LinkWzór|E1}} oraz napiszmy je ogólnie dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości wiedząc, że prawa i lewa strona w tym układzie to są tensorami z definicji tensora siły {{LinkWzór|V3r}} i tensora prędkości {{LinkWzór|2.2|Tensory w czasoprzestrzeni}}, wtedy mamy:
{{CentrujWzór|<MATH>dm_0c{{du^{\mu}}\over{ds}}=dK^{\mu}\Rightarrow dm_0c{{d\left(e_{\mu}u^{\mu}\right)}\over{ds}}=e_{\mu} dK^{\mu}\Rightarrow dm_0c{u^{\mu}}_{;\nu}{{dx^{\nu}}\over{ds}}e_{\mu}=e_{\mu}dK^{\mu}\Rightarrow dm_0c{u^{\mu}}_{;\nu}{{dx^{\nu}}\over{ds}}=dK^{\mu}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow dm_0c{u^{\mu}}_{;\nu}u^{\nu}=dK^{\mu}\;</MATH>|B1}}
Równanie końcowe {{LinkWzór|B1}} jest spełnione w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, ale można je uogólnić na układy słabozakrzywione (wtedy macierz transformacji jest {{LinkWzór|CD1|Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona}}) z definicji tensorowości tensora prędkości {{LinkWzór|2.2|Tensory_w_czasoprzestrzeni}} według {{LinkWzór|P3aa|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}} i tensorowości pochodnej tensorowej, wtedy z definicji macierzy transformacji:
{{CentrujWzór|<MATH>dm_0c{{\overline\Lambda}^{\alpha}}_{\mu}{u^{\mu}}_{;\gamma}{{\Lambda}^{\gamma}}_{\beta}{{\overline\Lambda}^{\beta}}_{\omega}u^{\omega}=dK^{\mu}{{\overline \Lambda}^{\alpha}}_{\mu}\Rightarrow d\overline m_0\overline c{\overline u^{\mu}}_{;\nu}\overline u^{\nu}=d\overline K^{\mu}\;</MATH>|B2}}
Z definicji pochodnej tensorowej równość {{LinkWzór|B2}} możemy rozpisać pisząc bez nadkreśleń w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>dm_0c{u^{\mu}}_{;\nu}u^{\nu}=dK^{\mu}\Rightarrow dm_0c\left({u^{\mu}}_{,\nu}+u^{\gamma}{\Gamma^{\mu}}_{\gamma\nu}\right)u^{\nu}=dK^{\mu}\;</MATH>|B3}}
Ale w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne napisanych nie we współrzędnych uogólnionych symbole Christoffela {{Formuła|<MATH>{\Gamma^{\mu}}_{\gamma\nu}\;</MATH>}} uważamy za równe zero z procedury {{LinkProcedura|FG|Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona}}, zatem równość {{LinkWzór|B3}} możemy napisać w sposób dokładny w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>dm_0c{u^{\mu}}_{,\nu}u^{\nu}=dK^{\nu}\Rightarrow dm_0c{{du^{\mu}}\over{ds}}=dK^{\mu}\;</MATH>|B4}}
Na podstawie {{LinkWzór|B4}} jest spełniona równość w układach słabozakrzywionych uważanych za układy płaskie ogólnie nieprostokątne w postaci {{LinkWzór|E2}}.
Równanie {{LinkWzór|B4}} jest wzorem na ruch w układach słabozakrzywionych, ale w układach uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, ale można go napisać dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych), ale zanurzonym w układzie słabozakrzywionym uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, wtedy w tym układzie równanie na różniczkę tensora siły piszemy w postaci równania {{LinkWzór|B1}} (wywód do tego równania od układu słabozakrzywionego uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne do układu uważanego za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) zanurzonym w nim jest podobny jak z układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układu słabozakrzywionego.

=== Mechanika Newtona ===
Zajmiemy się tutaj przypadkiem wyprowadzeniem dynamiki Newtona, gdy macierz transformacji jest prawie stała względem interwału czasoprzestrzennego w przypadku układów słabozakrzywionych, i z rachunku tensorowego z definicji różniczki zupełnej dla tensora absolutnego dla układów słabozakrzywionych.

===== Macierz transformacji prawie stała względem czasu absolutnego =====
Równanie {{LinkWzór|V3r1a}} z definicją gęstości wskaźnikowej siły {{LinkWzór|V3rs}} zgadza się ze wzorem na równanie ruchu na gęstość wskaźnikową siły {{LinkWzór|2.42s|Tensory w czasoprzestrzeni}} przy definicji wskaźnikowej siły {{LinkWzór|F1|Tensory w czasoprzestrzeni}} (który możemy przekształcić na gęstość tensora siły), ale także zachodzi też w przybliżeniu tożsamość {{Formuła|<MATH>{{d}\over{dt}}{\overline{\Lambda}^{\nu}}_{\mu}\simeq 0\;</MATH>}}, tzn.: {{LinkWzór|P3c|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}} z definicji układu słabozakrzywionego przy definicji różniczki interwału czasu absolutnego. Zachodzi przy przejściu z układów globalnie (lokalnie) płaskich do układów słabozakrzywionych z definicji wielkości wskaźnikowej siły {{LinkWzór|2.42s|Tensory w czasoprzestrzeni}} wzór {{Formuła|<MATH>\overline{\Lambda^{\nu}}_{\mu}dF^{\mu}\simeq d\overline F^{\nu}\;</MATH>}} na podstawie {{LinkWzór|P3d|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}} przy definicji macierzy transformacji {{LinkWzór|CD1|Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona}} i transformacji tensora prędkości {{LinkWzór|K3|Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona}}, bo układy słabozakrzywione są w przybliżeniu płaskie (słabozakrzywione), a nie dokładnie płaskie, ale wzór {{LinkWzór|V3rs}} na gęstość tensora siły i wzór {{LinkWzór|V3r1a}} na równanie ruchu dla układów rozciągłych są również słuszne w przybliżeniu dla układów słabozakrzywionych, jak udowodnimy, i wiedząc, że to są układy prawie płaskie.
Weźmy wzór {{LinkWzór|V3r1a}} pisząc go w przedstawieniu najpierw dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o  globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości doprowadzając go do układów słabozakrzywionych i dowiemy się, że dla tych układów jest prawem tylko przybliżonym z definicji tych układów:
{{CentrujWzór|<MATH>\rho_0 {{dv^{\mu}}\over{dt}}={{dF^{\mu}}\over{dV}}\Rightarrow dm_0{{dv^{\mu}}\over{dt}}=dF^{\mu}\Rightarrow dm_0\overline{\Lambda^{\nu}}_{\mu}{{dv^{\mu}}\over{dt}}=\overline{\Lambda^{\nu}}_{\mu}dF^{\mu}\Rightarrow dm_0{{d}\over{dt}}\left(\overline{\Lambda^{\nu}}_{\mu}v^{\mu}\right)-dm_0v^{\mu}{{d}\over{dt}}\overline{\Lambda^{\nu}}_{\mu}=\overline{\Gamma^{\nu}}_{\mu}dF^{\mu}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d\overline m_0{{d\overline v^{\nu}}\over{dt}}\simeq d\overline F^{\nu}\Rightarrow\overline\rho_0 {{d\overline v^{\mu}}\over{dt}}\simeq{{d\overline F^{\mu}}\over{d\overline V}}\;</MATH>|E1a}}
Macierz transformacji {{Formuła|<MATH>{\overline\Lambda^{\mu}}_{\nu}\;</MATH>}} może być funkcją uogólnioną według {{LinkWzór|B5|Przechodniość macierzy transformacji}}.
Równanie ruchu dla układów słabozakrzywionych na podstawie obliczeń {{LinkWzór|E1a}} pisząc bez nadkreśleń nad wielkościami wskaźnikowymi, będące nawet w przybliżeniu tensorami, jest w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>\rho_0 {{dv^{\mu}}\over{dt}}\simeq{{dF^{\mu}}\over{dV}}\;</MATH>|E2a}}
Dla układów słabozakrzywionych równanie tensorowe lokalnej zachowawczości tensora gęstości masy-pędu {{LinkWzór|3.19aa11a|Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu}} wraz z końcowym tensorowym równaniem ruchu dla układów rozciągłych w przedstawieniu {{LinkWzór|E2a}}, lokalnym tensorowym prawem zachowania masy-pędu {{LinkWzór|Vba|Lokalna zasada zachowania energii(masy)-pędu z zasady zachowania energii(masy)-pędu}} i lokalnym prawem zachowania tensora pędu {{LinkWzór|K62|Lokalna zasada zachowania tensora pędu}} stanowią komplet równań różniczowych, które stosujemy dla układów rozciągłych.
Z {{LinkWzór|E2a}} wynika równanie ruchu dla układów punktowych na podstawie {{LinkWzór|2.44s|Tensory w czasoprzestrzeni}}  mając {{LinkWzór|2.43s|Tensory w czasoprzestrzeni}}, co udowodniamy ten wzór w punkcie {{LinkWzór|2.45s|Tensory w czasoprzestrzeni}} przedstawia się jako prawo  w {{LinkWzór|1.31|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego|Mechanika teoretyczna|MT}}.

==== Wyprowadzenie dynamiki Newtona z rachunku tensorowego z definicji tensora absolutnego ====
Weźmy równanie po pierwszym symbolem implikacji i przed drugim symbolem implikacji w {{LinkWzór|E1a}} oraz napiszmy je ogólnie dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości wiedząc, że prawa i lewa strona w tym układzie to są tensorami z definicji tensorowości wielkości wskaźnikowej siły {{LinkWzór|V3r}} i tensora prędkości {{LinkWzór|2.2|Tensory w czasoprzestrzeni}}, wtedy mamy:
{{CentrujWzór|<MATH>dm_0{{dv^{\mu}}\over{dt}}=dF^{\mu}\Rightarrow dm_0{{d\left(e_{\mu}v^{\mu}\right)}\over{dt}}=e_{\mu} dF^{\mu}\Rightarrow dm_0{v^{\mu}}_{;\nu}{{dx^{\nu}}\over{dt}}e_{\mu}=e_{\mu}dF^{\mu}\Rightarrow dm_0{v^{\mu}}_{;\nu}{{dx^{\nu}}\over{dt}}=dF^{\mu}\Rightarrow dm_0{v^{\mu}}_{;\nu}v^{\nu}=dF^{\mu}\;</MATH>|B1a}}
Równanie końcowe {{LinkWzór|B1a}} jest spełnione w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, ale można je uogólnić na układy słabozakrzywione (wtedy macierz transformacji jest {{LinkWzór|CD1|Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona}}) z definicji tensorowości tensora prędkości {{LinkWzór|2.2|Tensory_w_czasoprzestrzeni}} według {{LinkWzór|P3aa|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}} i tensorowości pochodnej tensorowej, wtedy z definicji macierzy transformacji:
{{CentrujWzór|<MATH>dm_0{{\overline\Lambda}^{\alpha}}_{\mu}{v^{\mu}}_{;\gamma}{{\Lambda}^{\gamma}}_{\beta}{{\overline\Lambda}^{\beta}}_{\omega}v^{\omega}=dF^{\mu}{{\overline \Lambda}^{\alpha}}_{\mu}\Rightarrow d\overline m_0{\overline v^{\mu}}_{;\nu}\overline v^{\nu}=d\overline F^{\mu}\;</MATH>|B2a}}
Z definicji pochodnej tensorowej równość {{LinkWzór|B2a}} możemy rozpisać pisząc bez nadkreśleń w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>dm_0{v^{\mu}}_{;\nu}v^{\nu}=dF^{\mu}\Rightarrow dm_0\left({v^{\mu}}_{,\nu}+v^{\gamma}{\Gamma^{\mu}}_{\gamma\nu}\right)v^{\nu}=dF^{\mu}\;</MATH>|B3a}}
Ale w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne napisanych nie we współrzędnych uogólnionych symbole Christoffela {{Formuła|<MATH>{\Gamma^{\mu}}_{\gamma\nu}\;</MATH>}} uważamy za równe zero według procedury {{LinkProcedura|FG|Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona}}, zatem równość {{LinkWzór|B3a}} możemy napisać w sposób dokładny w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>dm_0{v^{\mu}}_{,\nu}v^{\nu}=dF^{\nu}\Rightarrow dm_0{{dv^{\mu}}\over{dt}}=dF^{\mu}\;</MATH>|B4a}}
Na podstawie {{LinkWzór|B4a}} jest spełniona równość w układach słabozakrzywionych uważanych za układy płaskie ogólnie nieprostokątne w postaci {{LinkWzór|E2a}}.
Równanie {{LinkWzór|B4a}} jest wzorem na ruch w układach słabozakrzywionych, ale w układach uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, ale można go napisać dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowe (uogólnionych), ale zanurzonym w układzie słabozakrzywionym uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, wtedy w tym układzie równanie na różniczkę tensora siły piszemy w postaci równania {{LinkWzór|B1a}} (wywód do tego równania od układu słabozakrzywionego uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne do układu uważanego za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) zanurzonym w nim jest podobny jak z układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układu słabozakrzywionego.

<noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>