Tekst źródłowy strony Metody matematyczne fizyki/Kula zanurzona w przestrzeni n-wymiarowej

<noinclude><!--
-->{{SkomplikowanaStronaStart<!--
      -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!--
-->}}</noinclude>

== Równanie kuli ==
W przestrzeni n-wymiarowej mamy zdefiniowaną pewną normę {{Formuła|<MATH>||\cdot||</MATH>}}, należącej do przestrzeni rzeczywistej, wzór na kulę  niedomkniętą, a także domkniętą, a na samym końcu sfery  przestawiamy wzorami poniżej o promieniach R, obie kule (niedomkniętą i domkniętą) dla przestrzeni z tą właśnie zdefiniowaną normą przestawiamy:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>||\vec{x}-\vec{x}_0||< R</MATH>|6.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>||\vec{x}-\vec{x}_0||\leq  R</MATH>|6.2}}|3={{CentrujWzór|<MATH>||\vec{x}-\vec{x}_0||=R</MATH>|6.3}}}}
Dla przestrzeni Euklidesowej z normalną normą kule niedomkniętą, domknięta, a także sferę przestawiamy po kolei:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\sum^N_{i=1}(\vec{x}_i-\vec{x}_{0i})^2< R^2</MATH>|6.4}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\sum^N_{i=1}(\vec{x}_i-\vec{x}_{0i})^2\leq  R^2</MATH>|6.5}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\sum^N_{i=1}(\vec{x}_i-\vec{x}_{0i})^2=R^2</MATH>|6.6}}}}
* gdzie N jest to wymiar kuli w przestrzeni n-wymiarowej.

== Objętość kuli w n-wymiarowej przestrzeni ==
Wzór na sferę {{LinkWzór|6.6}}, dla której promień naszej rozważanej sfery jest R mając współrzędne środka tej kuli x<sub>io</sub>, i współrzędne punktów sfery x<sub>i</sub>, piszemy:
{{CentrujWzór|<MATH>\sqrt{\sum^N_{i=1}(x_i-x_{i0})^2}=R</MATH>|6.7}}
Oznaczmy dla oczywistych powodów, że środek kuli jest w środku układu współrzędnych, tzn. zachodzi warunek x<sub>0i</sub>=0 we wzorze {{LinkWzór|6.7}}, co nie umniejsza dowodu, by później wyznaczyć objętość n wymiarowej kuli zanurzonej w przestrzeni n-wymiarowej, zatem z definicji n-wymiarowej objętości kuli o promieniu jeden &Omega;(1) pomnożonej przez R<sup>s</sup> mamy:
{{CentrujWzór|<MATH>R^s\Omega_s(1)=\int\int\cdot\ldots\cdot\int dx_1dx_2\cdot..\cdot dx_n</MATH>|6.8}}
Grupując we wzorze {{LinkWzór|6.8}} odpowiednio wyrazy w czynniku pod całką, gdy promień kuli wynosi jeden, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|6.8}}, wtedy objętość n-wymiarowej tej kuli jest:
{{CentrujWzór|<MATH>\Omega_s(1)=\int\limits^1_{-1}dx_1\int\cdot\ldots\cdot\int dx_2\cdot\ldots\cdot dx_n</MATH>|6.9}}
Obierzmy promień kuli s wymiarowej o promieniu jeden, który określany wzorem {{Formuła|<MATH>R_1=\sqrt{y_1^2+R_1^2}\;</MATH>}}, gdzie R<sub>1</sub> jest promień kuli w s-1 wymiarowej przestrzeni, pisząc ją przez {{Formuła|<MATH>R_1^2=\sum^n_{i=1}x^2_i\;</MATH>}}, wtedy jej objętość:
{{CentrujWzór|<MATH>\Omega_s(1)=\int\limits^1_{-1} dy_1 R^{s-1}_1\Omega_{s-1}(1)</MATH>|6.10}}
Ale ponieważ zachodzi na pewno {{Formuła|<MATH>R_1=\sqrt{1-y_1^2}\;</MATH>}}, to wzór {{LinkWzór|6.10}} na promień jednostkowy kuli, którego objętość &Omega;<sub>s</sub>(1) wyżej wspomniana w zależności od objętości kuli s-1 wymiarowej &Omega;<sub>s-1</sub>(1), piszemy:
{{CentrujWzór|<MATH>\Omega_s(1)=\int\limits^1_{-1}dy_1(1-y^2_1)^{{s-1}\over{2}}\Omega_{s-1}\Rightarrow\Omega_s(1)=\Omega_{s-1}\int\limits^1_{-1}dy_1(1-y^2_1)^{{s-1}\over{2}}</MATH>|6.11}}
Policzmy teraz  całkę początkowo przekształcając tą całkę z własności symetryczności funkcji podcałkowej, która występuje jako całka we wzorze końcowym wynikowym {{LinkWzór|6.11}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\int\limits^1_{-1}dy_1(1-y^2_1)^{{s-1}\over{2}}=2\int\limits^1_0dy_1(1-y^2_1)^{{s-1}\over{2}}</MATH>|6.12}}
Dokonując podstawienia wynikającego z podstawienia wynikającego ze wzoru x=y<sup>2</sup>, to różniczka funkcji y(x) piszemy przez {{Formuła|<MATH>dy=dx^{1\over 2}={{1}\over{2}}x^{-{{1}\over{2}}}dx\;</MATH>}}, wtedy końcowy wzór {{linkWzór|6.12}} piszemy jako:
{{CentrujWzór|<MATH>2\int\limits^1_0 {1\over 2}x^{-1\over 2}(1-x)^{{s-1}\over{2}}=\int\limits^1_0x^{-{1\over 2}}(1-x)^{{s-1}\over{2}}</MATH>|6.13}}
Całka występująca we wzorze {{LinkWzór|6.13}} jest szczególnym rodzajem całki Eulera pierwszego rodzaju, gdzie w naszym przypadku mamy {{Formuła|<MATH>\alpha={{1}\over{2}}</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\beta={{s+1}\over{2}}</MATH>}},  którą definiujemy  wzorem  zapisaną w punkcie {{LinkWzór|5.1|Całki_i_funkcje_Eulera}}.

Całka Eulera B(a,b) dla parametrów równych a=&alpha; i b=&beta; we wspomnianym wzorze na definicji całki Eulera pierwszego rzędu, dla naszych argumentów wchodzących w skład do tej całki, którą możemy napisać jako tożsamość:
{{CentrujWzór|<MATH>B\left({1\over 2},{{s+1}\over{2}}\right)={{\Gamma({1\over 2})\Gamma({{s+1}\over{2}}) }\over{\Gamma(1+{{s}\over{2}})}}</MATH>|6.14}}
Korzystając z całki {{linkWzór|6.13}} i z definicji całki Eulera dla specyficznych wartości a i b dla kuli zanurzonej w s-wymiarowej przestrzeni i po pewnych operacjach dokonywanych przez nas we wzorach pośrednich, to wzór na objętość n-wymiarowej kuli jednostkowej przestawianych wzorem {{LinkWzór|6.11}}, które tutaj dla kuli jednostkowej piszemy:
{{CentrujWzór|<MATH>\Omega_s(1)={{\Gamma({1\over 2})\Gamma({{s+1}\over{2}}) }\over{\Gamma(1+{{s}\over{2}})}}\cdot {{\Gamma({1\over 2})\Gamma({{s}\over{2}}) }\over{\Gamma({{s+1}\over{2}})}}\cdot...\cdot {{\Gamma({1\over 2})\Gamma({{3}\over{2}}) }\over{\Gamma(2)}}\Omega_1(0)\Rightarrow\Omega_s(1)={{\pi^{{s-1}\over 2}\Gamma({3 \over 2})}\over{{\Gamma({{s}\over{2}}+1)}}}\Omega_1(1)</MATH>|6.15}}
Ale pamiętając również, że funkcja {{Formuła|<MATH>\Gamma\left({{1}\over{2}}\right)\;</MATH>}}, którego wartość wprowadziliśmy w punkcie {{linkWzór|5.34|Całki_i_funkcje_Eulera}}, wtedy objętość kuli określamy ogólnym wzorem  w zależności od funkcji &Gamma; z liczby {{Formuła|<MATH>{{s}\over{2}}+1\;</MATH>}}, gdzie s jest wymiarem kuli s-wymiarowej.
{{CentrujWzór|<MATH>\Gamma({3\over 2})={1\over 2}\Gamma({1\over 2})={1\over 2}\sqrt{\pi}\Rightarrow\Omega_s(1)={{\pi^{{s-1}\over 2}{1\over 2}\sqrt{\pi}}\over{{\Gamma({{s}\over{2}}+1)}}}2\Rightarrow\Omega_s(1)={{\pi^{s\over 2}}\over{\Gamma({{s}\over{2}}+1)}}</MATH>|6.16}}
Gdy s  jest równa podwojonej liczbie k, czyli wedle podstawienia {{Formuła|<MATH>s=2k</MATH>}}, które dokonamy we wzorze {{LinkWzór|6.16}}, zatem objętość kuli jednostkowej w tym naszym przypadku zapisujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>\Omega_{2k}(1)={{\pi^k}\over{\Gamma(k+1)}}\Rightarrow \Omega_{2k}(1)={{\pi^k}\over{k!}}</MATH>|6.17}}
Gdy s jest liczbą nieparzystą, czyli jest równa podwojonej wartości k odejmując od niej później jeden, czyli według podstawienia {{Formuła|<MATH>s=2k-1</MATH>}}, to wyrażenie {{LinkWzór|6.16}} piszemy wedle schematu:
{{CentrujWzór|<MATH>\Omega_{2k-1}={{\pi^{k-{1\over 2}}}\over{\Gamma(k-{1\over 2}+1)}}\Rightarrow\Omega_s(1)={{\pi^{k-{{1}\over{2}}}2^{k}}\over{(2k-1)(2k-3)(2k-5)\cdot...\cdot 1\cdot\Gamma({{1}\over{2}})}}\Rightarrow\Omega_s(1)={{\pi^{k-{{1}\over{2}}}2^{k}}\over{s!!\sqrt{\pi}}}\Rightarrow\Omega_s(1)={{{\pi^{k-1}}2^{k}}\over{s!!}}</MATH>|6.18}}

=== Zestawienie wzorów na objętość dla kuli s-wymiarowej ===
Wiedząc, że objętość s-wymiarowej kuli jest wyrażona za pomocą objętości kuli jednostkowej pomnożonej przez s-tą potęgę promienia tejże kuli, którego ta objętość jest {{Formuła|<MATH>V_s=\Omega_s(1)R^s\;</MATH>}}, to ta nasza objętość jest wyrażona  wedle wzorów dla s parzystego {{LinkWzór|6.17}} i s nieparzystego {{LinkWzór|6.18}}, wtedy zbierając to wszystko do kupy, piszemy:
{{CentrujWzór|<math>V_{s}=\frac { \pi^{\frac{s}{2}}}{\Gamma (\frac{s}{2}+1)}\cdot R^{s} =
\begin{cases} \displaystyle {\pi^k\over k!}\cdot R^s & \mbox{dla }s=2k \\[2ex]
 \displaystyle {2^k \pi^{k-1}\over s!!}\cdot R^s & \mbox{dla } s=2k-1
\end{cases}</math>|6.19}}
''co kończy dowód.''

=== Pole powierzchni sfery w n-wymiarowej przestrzeni ===
Zakładamy, że mamy dwie sfery o wspólnym środku i promieniach, takimi że zachodzi {{Formuła|<MATH>R_1-R_2 \rightarrow dR</MATH>}}, czyli wystarczy policzyć pochodną funkcji V określone wzorem ogólnym {{LinkWzór|6.19}} względem promienia kuli określonego przez wielkość R,
{{CentrujWzór|<MATH>P_sdR={{dV}\over{dR}}dR={{\pi^{s\over 2}}\over{\Gamma({s\over 2}+1)}}sR^{s-1}dR</MATH>|6.21}}
Stąd jego powierzchnia s-wymiarowej kuli, korzystając ze wzoru na objętość kuli określone wzorem {{LinkWzór|6.19}}, jest:
{{CentrujWzór|<MATH>P_s=\frac { \pi^{\frac{s}{2}}}{\Gamma (\frac{s}{2}+1)}\cdot sR^{s-1} =
\begin{cases} \displaystyle {\pi^k\over k!}\cdot sR^{s-1} & \mbox{dla }s=2k \\[2ex]
 \displaystyle {2^k \pi^{k-1}\over s!!}\cdot sR^{s-1} & \mbox{dla } s=2k-1
\end{cases}</math>|6.22}}

<noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>