Tekst źródłowy strony Metody matematyczne fizyki/Funkcje Bessela

<noinclude><!--
-->{{SkomplikowanaStronaStart<!--
      -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!--
-->}}</noinclude>

Będziemy się tutaj zajmować funkcjami Bessela, który to on znany jest bardzo w matematyce i fizyce. Argument funkcji Bessela będziemy oznaczać przez x, a wskaźnikiem funkcji są współczynniki rzeczywiste. Funkcje Bessela oznaczamy przez J{{Sub|&nu;}}.

== Równanie różniczkowe Bessela i jego rozwiązania ==
Równanie różniczkowe, które definiuje funkcje Bessela jest to równanie określone:
{{CentrujWzór|<MATH>x^2J_{\nu}^{''}+xJ_{\mu}^{'}+(x^2-\nu^2)J_{\nu}=0\;</MATH>|11.1}}
Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|11.1}} w postaci funkcji, w której wolny wyraz a{{Sub|0}} jest różny od zera. Możemy to otrzymać, gdy szereg potęgowy pomnożymy przez funkcję x{{Sup|&lambda;}} tak jak poniżej, zatem ostatecznie funkcje Bessela piszemy w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>J_{\nu}=x^{\lambda}\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+\lambda}\;</MATH>|11.2}}
Wyznaczmy pierwszą i drugą pochodną funkcji Bessela {{LinkWzór|11.2}}, która jest proponowanym rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|11.1}}:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>J^{'}=\sum_{n=0}^{\infty}a_n (\lambda+n)x^{n+\lambda-1}\;</MATH>|11.3}}|2={{CentrujWzór|<MATH>J^{''}=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(\lambda+n)(\lambda+n-1)x^{n+\lambda-1}\;</MATH>|11.4}}}}
Możemy podstawić funkcję Bessela {{LinkWzór|11.2}}, a także pierwszą i drugą pochodną funkcji Bessela {{LinkWzór|11.3}} i {{LinkWzór|11.4}} do równania różniczkowego Bessela {{LinkWzór|11.1}}, otrzymujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>x^2\left[\sum_{n=0}^{\infty}a_n(\lambda+n)(\lambda+n-1)x^{n+\lambda-2}\right]+x\sum_{n=0}^{\infty}a_n (\lambda+n)x^{n+\lambda-1}+(x^2-v^2)\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+\lambda}=0\;</MATH>|11.5}}
Po krótkich przekształceniach, tzn. czynników stojących przed sumami jako czynniki włączamy pod tą sumę i po przegrupowaniu wyrazów:
{{CentrujWzór|<MATH>\sum_{n=0}^{\infty}\left[(n+\lambda)^2-\nu^2\right]a_nx^n+\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+2}=0\;</MATH>|11.6}}
Współczynnik a{{Sub|0}} jest tak zdefiniowane w szeregu {{LinkWzór|11.2}} by był różny od zera, w takim razie z równania {{LinkWzór|11.6}} możemy otrzymać wyraz stojący przy potędze o wykładniku zerowym z liczby x:
{{CentrujWzór|<MATH>(\lambda^2-\nu^2)a_0=0\;</MATH>|11.7}}
Z równości {{LinkWzór|11.7}} otrzymujemy dwa rozwiązania na parametr &lambda;, jedno z plusem a drugie z minusem, którego to piszemy za pomocą jednego ogólnego wzoru:
{{CentrujWzór|<MATH>\lambda=\pm\nu\;</MATH>|11.8}}
Jedno rozwiązaniu z plusem we wzorze zapisywanej ogólnie w punkcie {{LinkWzór|11.8}} odpowiada rozwiązaniu regularnemu, a drugie z minusem odpowiada rozwiązaniu osobliwemu, które to w punkcie x=0 funkcja Besella {{LinkWzór|11.2}} ma wartość osobliwą.

Współczynnik stojący w tożsamości {{LinkWzór|11.6}} stojący przy pierwszej potędze, tzn. przy x{{Sup|1}} dla naszego wspomnianego równanie ma postać:
{{CentrujWzór|<MATH>0=\left[(1+\lambda)^2-\nu^2\right]a_1=\left[(1\pm\nu)^2-\nu^2\right]a_1=\left[1+\nu^2\pm2\nu-\nu^2\right]a_1=\left[1\pm2\nu\right]a_1\Rightarrow 0=\left(1\pm 2\nu\right)a_1\;</MATH>|11.9}}
Patrząc na warunek na liczbę &lambda; według {{LinkWzór|11.8}}, to z {{LinkWzór|11.9}} wynika, że a{{Sub|1}} jest równa zero.
Równanie {{LinkWzór|11.6}} możemy przekształcić do tożsamości:
{{CentrujWzór|<MATH>\sum_{n=0}^{\infty}\left[(n+\nu)^2-\lambda^2\right]a_nx^n+\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-2}x^{n}=0\;</MATH>|11.10}}
W takim razie w równaniu różniczkowym {{LinkWzór|11.10}} otrzymujemy wniosek na współczynniki a{{Sub|n}} we funkcji Bessela w zależności od współczynników a{{Sub|n-2}}, zatem poszczególne współczynniki:
{{CentrujWzór|<MATH>\sum_{n=0}^{\infty} n(n+2\lambda)x^{n}+\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-2}x^{n}=0\Rightarrow a_n=-a_{n-2}{{1}\over{n(n+2\lambda)}}\;</MATH>|11.11}}
Ale ponieważ a{{Sub|1}} jest równy zero co wcześniej wykazaliśmy w punkcie {{LinkWzór|11.9}}, to również na podstawie {{LinkWzór|11.11}} ma miejsce warunek:
{{CentrujWzór|<MATH>a_{2l+1}=0, \mbox{ dla } l=0,1,2,...\;</MATH>|11.12}}
Dla indeksów parzystych można udowodnić, że istnieje ogólny wzór na współczynniki a{{Sub|2l}}, który zapisujemy przy pomocy wzoru poniżej wynikający ze wzoru ogólnego na współczynniki {{LinkWzór|11.11}}:
{{CentrujWzór|<MATH>a_{2l}={{1}\over{2l(2l+2\lambda)}}a_{2l-2}=(-1)^l{{a_0}\over{2^{2l}l!(l+\lambda)(l-1+\lambda)...(1+\lambda)}}\;</MATH>|11.13}}
Mając na uwadze uproszczenie ogólnych formuł przyjmijmy, że współczynnik a{{Sub|0}} przyjmuje szczególna formę zapisywaną przy pomocy funkcji &Gamma;(x) definiowana w punkcie {{LinkWzór|5.12|Całki i funkcje Eulera}}:
{{CentrujWzór|<MATH>a_0={{1}\over{2^{\lambda}\Gamma(1+\lambda)}}\;</MATH>|11.14}}
Biorąc na uwagę wzór {{LinkWzór|11.14}} na współczynnik a{{Sub|0}}, wtedy wzór {{LinkWzór|11.13}} na współczynnik a{{Sub|2l}} przy wykorzystywaniu wzoru zapisany w punkcie {{LinkWzór|5.24|Całki_i_funkcje_Eulera}} piszemy w formie:
{{CentrujWzór|<MATH>a_{2l}=(-1)^l{{1}\over{2^{2l+\lambda}l!\Gamma(l+\lambda+1)}} \mbox{  dla  }(l=0,1,2,3,...)\;</MATH>|11.15}}
Ponieważ przyjmujemy rozwiązanie regularne, więc z tożsamości {{LinkWzór|11.8}} wybieramy rozwiązanie z plusem, w takim przypadku szereg Bessela przyjmuje ostateczną formę:
{{CentrujWzór|<MATH>J_{\nu}(x)=\sum_{l=0}^{\infty}(-1)^l{{1}\over{l!\Gamma(l+\nu+1)}}\left({{x}\over{2}}\right)^{2l+\nu}\;</MATH>|11.16}}

== Funkcje Bessela o indeksie całkowitym i jego funkcja tworząca ==
Jeśli w funkcji {{LinkWzór|11.16}} parametr &nu; jest liczbą naturalną &nu;=n=0,1,2,3,.., to funkcja Bessela możemy napisać dla tak określonego &nu; z definicji funkcji J{{Sub|&nu;}}, w której występuje funkcją &Gamma; zależna od całkowitego parametru, którego postać jest &Gamma;(l+n+1)=(l+n)!:
{{CentrujWzór|<MATH>J_{\nu}(x)=\sum_{l=0}^{\infty}(-1)^l{{1}\over{l!(n+l)!}}\left({{x}\over{2}}\right)^{2l+n}\;</MATH>|11.17}}
Następnym krokiem jest udowodnienie, że funkcją tworzącą wielomianu Bessela {{LinkWzór|11.17}} jest funkcją w postaci wzoru {{Formuła|<MATH>e^{{{x}\over{2}}(w-{{1}\over{w}})}\;</MATH>}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\Psi(w,x)=e^{{{x}\over{2}}(w-{{1}\over{w}})}=e^{{{xw}\over{2}}}e^{-{{x}\over{2w}}}=\sum_{m=0}^{\infty}{{1}\over{m!}}\left({{xw}\over{2}}\right)^m\sum_{l=0}^{\infty}(-1)^{l}{{1}\over{l!}}\left({{x}\over{2w}}\right)^l=\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{l=0}^{\infty}(-1)^l{{1}\over{l!m!}}\left({{x}\over{2}}\right)^{l+m}w^{m-l}\;</MATH>|11.18}}
We wzorze {{LinkWzór|11.18}} wprowadźmy parametr l+m zamiast parametru m, wtedy wspomniane równanie piszemy:
{{CentrujWzór|<MATH>\Psi(w,x)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\left[\sum_{l=0}^{\infty}(-1)^l{{1}\over{l!(l+n)!}}\left({{x}\over{2}}\right)^{2l+1}\right]w^m\;</MATH>|11.19}}
Wyrażenie stojące w nawiasie we wzorze {{LinkWzór|11.19}} są to funkcje Bessela, wtedy funkcja tworząca:
{{CentrujWzór|<MATH>\Psi(w,x)=e^{{{x}\over{2}}\left(w-{{1}\over{w}}\right)}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}J_m(x)w^m\;</MATH>|11.19a}}

== Funkcje Bessela z indeksem i jego przestawienie całkowe ==
We wzorze {{LinkWzór|11.19a}} dokonajmy podstawienia pod funkcję tworzącą Bessela w postaci w=e{{Sup|i&phi;}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\Psi(w,x)=e^{{{x}\over{2}}\left(w-{{1}\over{w}}\right)}=e^{{{x}\over{2}}\left(e^{i\phi}-e^{-i\phi}\right)}=e^{{{x}\over{2}}i 2\sin\phi}=e^{ix\sin\phi}\;</MATH>|11.20}}
Obie strony tak otrzymanej równości {{LinkWzór|11.20}} mnożymy obustronnie przez e{{Sup|im&phi;}}, a następnie całkujemy obustronnie przez zmienną &phi; w granicach 0 do 2&pi;, wtedy piszemy tożsamość:
{{CentrujWzór|<MATH>\int_{0}^{2\pi}e^{i(x\sin\phi-m\phi)}d\phi=\sum_{n=-\infty}^{\infty}J_n(x)\int_0^{2\pi}e^{i(n-m)}d\phi\;</MATH>|11.21}}
Prawa strona równości {{LinkWzór|11.21}} jest równa zero, gdy n jest nie równe m, a jest różna od zera i równa 2&pi;, gdy n=m, wtedy możemy napisać wzór na funkcję Bessela wynikającą ze wspomnianego wzoru:
{{CentrujWzór|<MATH>J_{m}(x)={{1}\over{2\pi}}\int_0^{2\pi}e^{i(x\sin\phi-m\phi)}d\phi\;</MATH>|11.22}}
W szczególnym przypadku, gdy w równaniu {{LinkWzór|11.22}} współczynnik m jest równy zero, więc to ostatnie równanie na funkcję Bessela J{{Sub|0}}, tak by po drugiej równości dokonać podstawienia &phi;:=&pi;/2+&phi;, i ze względu na okresowość funkcji cos&phi;, piszemy jako:
{{CentrujWzór|<MATH>J_0(x)={{1}\over{2\pi}}\int_0^{2\pi}e^{ix\sin\phi}d\phi={{1}\over{2\pi}}\int^{2\pi-{{\pi}\over{2}}}_{-{{\pi}\over{2}}
}e^{ix\cos\phi}d\phi=\left(\int_0^{2\pi}-\int_{2\pi-{{\pi}\over{2}}}^{2\pi}+\int_{-{{\pi}\over{2}}}^0\right)e^{ix\cos\phi}d\phi={{1}\over{2\pi}}\int_0^{2\pi}e^{ix\cos\phi}d\phi\;</MATH>|11.23}}

== Funkcje Bessela o wskaźniku równym 1/2 ==
Funkcje Bessela {{LinkWzór|11.16}} dla &nu;=1/2, dla którego zapis o indeksie równej połowie jedynki, są równe:
{{CentrujWzór|<MATH>J_{{{1}\over{2}}}=\sum_{l=0}^{\infty}(-1)^l{{1}\over{l!\Gamma\left(l+{{3}\over{2}}\right)}}\left({{x}\over{2}}\right)^{2l+{{1}\over{2}}}\;</MATH>|11.24}}
Z teorii funkcji &Gamma; możemy napisać tożsamość, którego można rozpisać funkcję &Gamma; przy wykorzystaniu definicji funkcji &Gamma; dla &nu; równego 1/2:
{{CentrujWzór|<MATH>\Gamma\left(l+{{3}\over{2}}\right)=(l+{{1}\over{2}})(l-{{1}\over{2}})\cdot...\cdot \Gamma\left({{1}\over{2}}\right)=\sqrt{\pi}{{(2l+1)!!(2l+2)!!}\over{2^{l}(2l+2)!!}}=
\sqrt{\pi}{{(2l+2)!}\over{2^{l}2^{l+1}(l+1)!}}=\sqrt{\pi}{{(2l+2)!}\over{l^{2l+1}(l+1)!}}=\sqrt{{\pi}\over{2}}{{(2l+1)!}\over{l!2^{2l+{{1}\over{2}}}}}\;</MATH>|11.25}}
Na podstawie tożsamości wyprowadzonej w obliczeniach w punkcie {{LinkWzór|11.25}} wzór na funkcję Bessela zapisane w punkcie {{LinkWzór|11.24}} piszemy wedle:
{{CentrujWzór|<MATH>J_{{{1}\over{2}}}=\sqrt{{{2}\over{\pi x}}}\sum^{\infty}_{0}(-1)^l{{x^{2l+1}}\over{(2l+1)!}}\;</MATH>|11.26}}
Szereg zapisanej w punkcie {{LinkWzór|11.26}} jest to szereg funkcji sinus z liczby x, zatem ta nasza tutaj rozważana funkcja Bessela jest to po prostu:
{{CentrujWzór|<MATH>J_{{{1}\over{2}}}(x)=\sqrt{{2}\over{\pi x}}\sin x\;</MATH>|11.27|Obramuj}}
Funkcje Bessela {{LinkWzór|11.16}} dla &nu;=-1/2 zapisujemy wedle sposobu, którego zapis jest o indeksie równym minus połowie jedynki:
{{CentrujWzór|<MATH>J_{-{{1}\over{2}}}(x)=\sum^{\infty}_{l=0}{{1}\over{l!\Gamma\left(l+{{1}\over{2}}\right)}}\left({{x}\over{2}}\right)^{2l-{{1}\over{2}}}\;</MATH>|11.28}}
Z teorii funkcji Gamma możemy napisać tożsamość, którego jest rozwinięciem funkcji &Gamma; dla &nu; połówkowego i równego 1/2, którą piszemy:
{{CentrujWzór|<MATH>\Gamma\left(l+{{1}\over{2}}\right)=\left(l-{{1}\over{2}}\right)\left(l-{{3}\over{2}}\right)...\Gamma\left({{\pi}\over{}2}\right)=
\sqrt{\pi}{{(2l-1)!!(2l)!!}\over{2^{l-1}(2l)!!}}=\sqrt{\pi}{{(2l)!}\over{2^{2l-1}l!}}=\sqrt{{{\pi}\over{2}}}{{(2l)!}\over{l!2^{2l-{{3}\over{2}}}}}\;</MATH>|11.29}}
Na podstawie tożsamości wyprowadzonej w obliczeniach w punkcie {{LinkWzór|11.28}} wzór na funkcję Bessela zapisaną w punkcie {{LinkWzór|11.26}} piszemy poniżej:
{{CentrujWzór|<MATH>J_{-{{1}\over{2}}}\left(x\right)=\sqrt{{{2}\over{\pi x}}}\sum_{l=1}^{\infty}{{2^{2l-{{3}\over{2}}}}\over{(2l)!}}{{x^{2l}}\over{2^{2l}}}=
\sqrt{{{2}\over{\pi x}}}\sum_{l=0}^{\infty}(-1)^l{{l!2^{2l-{{3}\over{2}}}}\over{l!(2l)!}}{{x^{2l}}\over{2^{2l-{{3}\over{2}}}}}
=\sqrt{{{2}\over{\pi x}}}\sum^{\infty}_{l=0}(-1)^l{{x^{2l}}\over{(2l)!}}</MATH>|11.30}}
Szereg zapisany w punkcie {{LinkWzór|11.30}} jest to szereg funkcji kosinus z liczby x, zatem tą naszą tutaj rozważaną funkcję Bessela piszemy:
{{CentrujWzór|<MATH>J_{-{{1}\over{2}}}(x)=\sqrt{{2}\over{\pi x}}\cos x\;</MATH>|11.31|Obramuj}}

== Funkcje Bessela jako rozwiązania wzorów rekurencyjnych ==
Pokażemy, że wzór rekurencyjny dla funkcji Bessela o wskaźniku o wartości &nu;+1 wyraża się w zależności od współczynnika &nu; wzorem za pomocą operacji różniczkowania  funkcji Bessela względem wskaźnika &nu;, dla której pod różniczkowaniem względem "x" jest iloczyn funkcji potęgowej x{{Sub|-&nu;}} i funkcji Bessela {{LinkWzór|11.16}}:
{{CentrujWzór|<MATH>J_{\nu+ 1}=- x^{\nu}{{d}\over{dx}}\left(x^{-\nu}J_{\nu}\right)\;</MATH>|11.32}}
Wzór {{LinkWzór|11.32}} udowodniamy przez bezpośrednio przez wstawianie do niego funkcji Bessela J{{Sub|&nu;}} zdefiniowaną w punkcie {{LinkWzór|11.16}}:
{{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dx}}J_{\nu}={{d}\over{dx}}x^{-\nu}\left(\sum_{l=0}^{\infty}(-1)^l{{1}\over{l!\Gamma(l+\nu+1)}}{{x^{2l}}\over{2^{2l+\nu}}}\right)=
-\sum_{l=1}^{\infty}{{1}\over{(l-1)!\Gamma(l-1+\nu+1+1)}}{{x^{2l-1}}\over{2^{2(l-1)+\nu+1}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\sum_{l=0}^{\infty}(-1)^l{{1}\over{l!\Gamma(l+\nu+1+1)}}{{x^{2l+1}}\over{2^{2l+\nu+1}}}</MATH>|11.33}}
Zatem na podstawie obliczeń przeprowadzonej w punkcie {{LinkWzór|11.33}} możemy zapisać wyrażenie, które jak udowodnimy w końcowych dysputach, że jest to po prostu rozważane wyrażenie, które jest funkcją Bessela o wskaźniku &nu;+1.
{{CentrujWzór|<MATH>-x^{\nu}{{d}\over{dx}}J_{\nu}=-x^{\nu}\left(-\sum_{l=0}^{\infty}(-1)^l{{1}\over{l!\Gamma(l+\nu+1+1)}}{{x^{2l+1}}\over{2^{2l+\nu+1}}}\right)=\sum_{l=0}^{\infty}(-1)^l{{1}\over{l!\Gamma(l+\nu+1+1)}}\left({{x}\over{2}}\right)^{2l+\nu+1}=J_{\nu+1}\;</MATH>|11.34}}
Udowodnijmy następną rekurencję, której to element J{{Sub|&nu;-1}} jest pisany przy pomocy wzoru na J{{Sub|&nu;}} za pomocą operacji różniczkowania, którego to rekurencja jest:
{{CentrujWzór|<MATH>J_{\nu-1}=x^{-\nu}{{d}\over{dx}}\left(x^{\nu}J_{\nu}\right)\;</MATH>|11.35}}
Aby udowodnić wzór {{LinkWzór|11.35}} musimy napisać wyrażenie różniczkowe, która jest iloczynem funkcji x{{Sup|-&nu;}} i pochodnej z iloczynu funkcji x{{Sup|&nu;}} i funkcji Bessela J{{Sub|&nu;}}, wtedy mamy problem:
{{CentrujWzór|<MATH>x^{-\nu}{{d}\over{dx}}\left(x^{\nu}J_{\nu}\right)=x^{-\nu}{{d}\over{dx}}\left(\sum_{l=0}^{\infty}(-1)^l{{1}\over{l!\Gamma(l+\nu+1)}}\left({{x}\over{2}}\right)^{2l+2\nu}\right)=
\sum_{l=0}^{\infty}(-1)^l{{1}\over{l!\Gamma(l+\nu+1)}}(2l+2\nu){{x^{2l+\nu-1}}\over{2^{2l+\nu}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_{l=0}^{\infty}(-1)^l{{1}\over{l!\Gamma(l+\nu-1+1)}}{{x^{2l+\nu-1}}\over{2^{2l+\nu-1}}}=J_{\nu-1}</MATH>|11.36}}
Co kończy dowód tożsamości {{LinkWzór|11.35}}.

== Jak się zachowuje funkcja Bessela w pobliżu punktu x=0 ==
Mając wzór na funkcje Bessela zdefiniowaną w punkcie {{LinkWzór|11.16}}, który można zapisać dla punktu blisko zera pomijając wyrazy wyższego rzędu wedle potęg z liczby x, bo następne potęgi dla małego otoczenia w tymże punkcie są rzędu niższego niż &nu;, są bardzo malutkie w porównaniu ze wspomnianym wyrazem, w takim przypadku funkcja Bessela piszemy:
{{CentrujWzór|<MATH>J_{\nu}(x)\simeq{{1}\over{2^{\nu}\Gamma(\nu+1)}}x^{\nu}\;</MATH>|11.37}}
Niech wskaźnik &nu; jest liczbą całkowitą, w takim przypadku możemy przestawić funkcję J{{Sub|-n}} w zależności od J{{Sub|n}} wedle sposobu poniżej, wiedząc, że funkcja &Gamma; o współczynniku ujemnym przyjmuje wartość nieskończoną, a jego odwrotność jest zero.
{{CentrujWzór|<MATH>J_{-n}(x)=\sum_{l=0}^{\infty}(-1)^l{{1}\over{l!\Gamma(l-n+1)}}\left({{x}\over{2}}\right)^{2l-n}\simeq (-1)^n{{x^{n}}\over{n!2^n}}=(-1)^nJ_n(x)\;</MATH>|11.38}}

== Asymptotyczne zachowania się funkcji Bessela ze wskaźnikiem ułamkowym ==
Wykażemy, że dla bardzo dużego x funkcja J{{Sub|l+1/2}}(x) ma postać asymptotyczną, którego wygląd  w zależności od parametru "l" jest on zdefiniowany jako:
{{CentrujWzór|<MATH>J_{l+{{1}\over{2}}}(x)=\sqrt{{{2}\over{\pi x}}}\sin\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)\;</MATH>|11.39}}
Teraz zastosujemy wzór {{LinkWzór|11.32}}, by udowodnić rozwiązanie asymptotyczne {{LinkWzór|11.39}}, w tym celu przy dowodzie dla l=0 dostajemy dokładny wzór {{LinkWzór|11.27}}. Następnym krokiem naszego dowodu, że musimy udowodnić przejście z twierdzenia l do twierdzenia l+1 dla asymptotycznego przypadku dla x bardzo dużego:
{{CentrujWzór|<MATH>J_{l+{{3}\over{2}}}=-x^{l+{{1}\over{2}}}{{d}\over{dx}}\left(x^{-l-{{1}\over{2}}}J_{l+{{1}\over{2}}}\right)=
-x^{l+{{1}\over{2}}}{{d}\over{dx}}\left((x^{-l-{{1}\over{2}}}\sqrt{{{2}\over{\pi x}}}\sin\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)\right)=
-x^{l+{{1}\over{2}}}\sqrt{{{2}\over{\pi}}}{{d}\over{dx}}\left[{{\sin\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)}\over{x^{l+1}}}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=
-x^{l+{{1}\over{2}}}\sqrt{{{2}\over{\pi}}}\left[{{\cos\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)}\over{x^{l+1}}}-(l+1){{\sin\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)}\over{x^{l+2}}}\right]</MATH>|11.40}}
Wykażemy że drugi wyraz występujący w drugim członie jak odjemnik w nawiasie jest wielkością pomijalną ze względu, że mianownik odjemnej jest rząd niższy niż mianownik odjemnika, zatem odjemnik możemy pominąć, w takim bądź razem możemy napisać wyprowadzenie {{LinkWzór|11.40}}:
{{CentrujWzór|<MATH>J_{l+{{3}\over{2}}}=-\sqrt{{{2}\over{\pi x}}}\cos\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)=\sqrt{{{2}\over{\pi x}}}\sin\left(x-(l+1){{\pi}\over{2}}\right)\;</MATH>|11.41}}
Co kończy dowód twierdzenia {{LinkWzór|11.39}} na podstawie twierdzenia o indukcji zupełnej.
Wykażemy, że dla bardzo dużego x funkcja J{{Sub|l-1/2}} ma postać asymptotyczną, którego wygląd  w zależności od parametru "l" jest jako:
{{CentrujWzór|<MATH>J_{-l-{{1}\over{2}}}(x)=(-1)^l\sqrt{{{2}\over{\pi x}}}\cos\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)\;</MATH>|11.42}}
Teraz zastosujemy wzór {{LinkWzór|11.35}}, by udowodnić wzór {{LinkWzór|11.41}}, w tym celu udowodnimy nasz wzór dla l=0 dla którego dostajemy dokładny wzór {{LinkWzór|11.31}}. Następnym krokiem naszego dowodu, że musimy udowodnić przejście z twierdzenia l do twierdzenia l+1 dla asymptotycznego przypadku x bardzo dużego:
{{CentrujWzór|<MATH>J_{-l-{{3}\over{2}}}(x)=x^{l+{{1}\over{2}}}{{d}\over{dx}}\left(x^{-l-{{1}\over{2}}}J_{\nu}\right)=x^{l+{{1}\over{2}}}{{d}\over{dx}}\left(x^{-l-{{1}\over{2}}}(-1)^l\sqrt{{{2}\over{\pi x}}}\cos\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)\right)
=\sqrt{{2}\over{\pi}}(-1)^lx^{l+{{1}\over{2}} } {{d}\over{dx}} {{\cos\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)}\over{x^{l+1} }}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=(-1)^l\sqrt{{2}\over{\pi}}x^{l+{{1}\over{2}} } \left(-{{\sin\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)}\over{x^{l+1}}}-(l+1){{\cos\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)}\over{x^{l+2}}}\right)\;</MATH>|11.43}}
Wyraz drugi występujący w drugim członie jak odjemnik w nawiasie jest wielkością pomijalną ze względu, że mianownik odjemnej jest rząd niższy niż mianownik odjemnika, zatem odjemnik możemy pominąć, w takim bądź razem możemy napisać wyprowadzenie {{LinkWzór|11.43}}:
{{CentrujWzór|<MATH>J_{-l-{{3}\over{2}}}(x)=(-1)^{l+1}\sqrt{{2}\over{\pi x}}\sin\left(x-l{{\pi}\over{2}}-{{1}\over{2}}\pi+{{1}\over{2}}\pi\right)=(-1)^{l+1}\sqrt{{2}\over{\pi x}}\cos\left(x-(l+1){{\pi}\over{2}}\right)\;</MATH>|11.44}}
Co kończy dowód wzoru {{LinkWzór|11.41}} na podstawie twierdzenia o indukcji zupełnej.

== Funkcje Neumanna i Hankela a ich powiązanie z funkcjami Bessela ==
Funkcję Neumanna N{{Sub|&nu;}}, które sa bardzo związane z funkcjami Bessela, jak później powiemy. Te funkcje są osobliwe w punkcie x=0, jego definicja jest napisana wzorem wedle schematu:
{{CentrujWzór|<MATH>N_{\nu}={{J_{v}\cos(\pi\nu)-J_{-\nu}}\over{\sin\pi \nu}}\mbox{  dla  }(v\neq 0,\pm 1,\pm 2,...)\;</MATH>|11.45}}
Dla indeksów całkowitych funkcje Neumanna uzyskujemy w granicy dla &nu;, która jest liczbą określoną przy wzorze {{LinkWzór|11.45}}, której granica jest:
{{CentrujWzór|<MATH>N_n=\lim_{\nu\rightarrow n} N_{\nu}\;</math>|11.46}}
Jeśli przyjmować będziemy, że wielkość &nu; jest podana wzorem {{Formuła|<MATH>\nu=l+{{1}\over{2}}\;</MATH>}}, w takim przypadku wzór {{LinkWzór|11.45}} przyjmować będziemy wzorem:
{{CentrujWzór|<MATH>N_{l+{{1}\over{2}}}={{\cos\left(\left(l+{{1}\over{2}}\right)\pi\right)J_{\nu+{{1}\over{2}}}-J_{-l-{{1}\over{2}}}}\over{\sin\left(\left(l+{{1}\over{2}}\right)\pi\right)}}={{-\sin (l\pi)J_{\nu+{{1}\over{2}}} -J_{-l-{{1}\over{2}}}}\over{\cos l\pi}}={{-J_{-l-{{1}\over{2}}}}\over{(-1)^l}}=(-1)^{l+1}J_{-l-{{1}\over{2}}}\;</MATH>|11.47}}
Funkcję Hankela przestawiamy jako kombinację funkcji Bessela {{LinkWzór|11.16}} i Neumanna N{{Sub|&nu;}} {{LinkWzór|11.45}} w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>H^*_{\pm}=J_{\nu}\pm i N_{\nu}\;</MATH>|11.48}}

== Wprowadzenie do sferycznych funkcji Bessela ==
Sferyczne funkcje Bessela oznazczamy przez j{{Sub|l}}(x), a także funkcje Neumanna i Hankela piszemy jako:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>j_l(x)=\sqrt{{\pi}\over{2x}}J_{l+{{1}\over{2}}}\;</MATH>|11.49}}|2={{CentrujWzór|<MATH>n_j=(-1)^{l+1}\sqrt{{{\pi}\over{2x}}}J_{-l-{{1}\over{2}}}(x)\;</MATH>|11.50}}|3={{CentrujWzór|<MATH>h^*_l=j_l\pm i n_l\;</MATH>|11.51}}}}
Wyżej wymienione funkcje możemy zapisać w postaci asymptotycznej korzystając ze wzoru {{LinkWzór|11.39}}, dochodzimy do związków, że funkcja Bessela {{LinkWzór|11.49}} jest napisana wzorem poniżej:
{{CentrujWzór|<MATH>j_l(x)=\sqrt{{\pi}\over{2x}}\sqrt{{{2}\over{\pi x}}}\sin\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)={{1}\over{x}}\sin\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)\;</MATH>|11.52}}
Wyżej wymienione funkcje możemy zapisać w postaci asymptotycznej korzystając ze wzoru {{LinkWzór|11.42}} dochodzimy do związku, że funkcja Neumanna {{LinkWzór|11.50}} ma wygląd:
{{CentrujWzór|<MATH>n_l=(-1)^{l+1}\sqrt{{{\pi}\over{2x}}}(-1)^l\sqrt{{{2}\over{\pi x}}}\cos\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)=-{{1}\over{x}}\cos\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)\;</MATH>|11.53}}
A na sam koniec podamy jak wygląda funkcja Hankela dla jej przypadku asymptotycznego, dochodzimy do związków, że wedle definicji tejże funkcji {{LinkWzór|11.51}} jest narysowana ona:
{{CentrujWzór|<MATH>h_l^*={{1}\over{x}}\sin\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)\pm i(-1){{1}\over{x}}\cos\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)={{1}\over{x}}\sin\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)\mp i{{1}\over{x}}\cos\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)=\mp{{i}\over{x}}\left(\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)\mp\sin\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\mp{{i}\over{x}}e^{\mp i(x-l{{\pi}\over{2}})}=\mp{{i}\over{x}}e^{\mp ix}e^{\pm i l{{\pi}\over{2}}}=
\mp{{i}\over{x}}e^{\mp ix}i^{\pm l}=\mp{{i^{1\pm l}}\over{x}}e^{\mp ix}\;</MATH>|11.54}}

== Wzór Rayleigha, czyli rozwinięcie funkcji fali płaskiej w funkcjach kulistych ==
Rozłóżmy funkcje opisująca falę płaską we funkcjach Legendre'a {{LinkWzór|9.33|Wprowadzenie_do_wielomianów_ortogonalnych}}, wtedy możemy rozpisać naszą funkcję e{{Sup|ikx}} w pewien szereg, którego jest kombinacją liniową  w funkcjach Legendre'a P{{Sub|l}}, którego to współczynniki są funkcjami zależnymi od wskaźnika l  i argumentu r:
{{CentrujWzór|<MATH>e^{ikx}=\sum_{l=0}^{\infty}c_lR_{l}(r)P_l(\cos\phi)\;</MATH>|11.55}}
Biorąc wzór na definicję Laplasjanu we współrzędnych kulistych {{LinkWzór|7.41|Operatory_różniczkowe}} i wiedząc, że Y{{Sub|l}}=P{{Sub|l0}}, która nie zależy od zmiennej radialnej, wtedy na podstawie wzoru {{LinkWzór|10.5|Funkcje_sferyczne_w_matematyce}}, która jest definicją Laplasjanu, mamy:
{{CentrujWzór|<MATH>\Delta Y_{l0}=-{{l(l+1)}\over{r^2}}Y_{l0}\;</MATH>|11.56}}
Rozpiszmy wzór na Laplasjan wedle sposobu {{LinkWzór|7.41|Operatory_różniczkowe}} i biorąc tylko jako działanie na ten operator funkcję R(r):
{{CentrujWzór|<MATH>\Delta R(r)={{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}\left(rR\right)={{1}\over{r}}{{\partial}\over{\partial r}}\left(R+r{{\partial R}\over{\partial r}}\right)={{1}\over{r}}{{\partial R(r)}\over{\partial r}}+{{\partial^2R}\over{\partial r^2}}+{{1}\over{r}}{{\partial R}\over{\partial r}}=
{{\partial^2R}\over{\partial r^2}}+{{2}\over{r}}{{\partial R}\over{\partial r}}\;</MATH>|11.57}}
Zatem możemy podziałać Laplasjanem obie strony równania {{LinkWzór|11.55}}, a do lewej jego strony także dokonujemy różniczkować względem współrzędnych kartezjańskim, a z jego z prawej strony we współrzędnych kulistych, w takim przypadku mamy równanie poniżej:
{{CentrujWzór|<MATH>-k^2e^{ikz}=-k^2\sum_{l=0}^{\infty}c_lR_{l}(r)P_l(\cos\phi)=\sum_{l=0}^{\infty}c_l\left[\left({{\partial^2R}\over{\partial r^2}}+{{2}\over{r}}{{\partial R}\over{\partial r}}\right)-{{1}\over{r^2}}l(l+1)R_l\right]P_l(\xi)\;</MATH>|11.58}}
Ze wzoru {{LinkWzór|11.58}} możemy napisać równanie różniczkowe, które jest tożsamościowo równe zero, w takim przypadku możemy napisać równanie, które w dalszych kroku mamy zamiar rozwiązać wykorzystując przy tym {{LinkWzór|11.55}} do lewej strony ostatniego wzoru:
{{CentrujWzór|<MATH>R^{''}_l+{{2}\over{r}}R^'_l+\left[k^2-{{l(l+1)}\over{r^2}}\right]R_l=0\;</MATH>|11.59}}
Do równania {{LinkWzór|11.59}} wprowadźmy nowe zmienne, które definiujemy następująco:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>r\rightarrow\rho=kr</MATH>|11.60}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R_l\rightarrow S=\sqrt{\rho}R_l\;</MATH>|11.61}}}}
Możemy wykorzystać wzory {{LinkWzór|11.60}}, która jest definicją zmiennej &rho;, a wzór {{LinkWzór|11.61}}, która jest definicją S, i te ostatnie dwa wspomniane wzory wstawiamy do wspomnianego na samym początku równania różniczkowego, w ten sposób dokonajmy dwóch następnych kroków, by dalej wykorzystać równanie {{LinkWzór|11.59}}, ale najpierw policzmy jego pierwszą jego pochodną:
{{CentrujWzór|<MATH>R^'=k{{\partial}\over{\partial \rho}}\left(S\rho^{-{{1}\over{2}}}\right)=k{{S^'}\over{\sqrt{\rho}}}-k{{S}\over{2}}\rho^{-{{3}\over{2}}}\;</MATH>|11.62}}
Następnie jest policzenie drugiej pochodnej, piszemy tożsamość:
{{CentrujWzór|<MATH>R^{''}=k^2{{\partial}\over{\partial \rho}}\left({{S^'}\over{\sqrt{\rho}}}-{{S}\over{2}}\rho^{-{{3}\over{2}}}\right)=
k^2{{S^{''}}\over{\rho^{{1}\over{2}}}}-{{S^'}\over{2\rho^{{{3}\over{2}}}}}k^2-k^2{{S^'}\over{2}}\rho^{-{{3}\over{2}}}+{{3}\over{2}}k^2{{S}\over{\rho^{{5}\over{4}}}}\;</MATH>|11.63}}
Wzory udowodnione w puntach {{LinkWzór|11.62}} i {{LinkWzór|11.63}} są to wzory, które podstawimy do równania różniczkowego {{LinkWzór|11.59}}, w takim przypadku możemy napisać następne równanie różniczkowe:
{{CentrujWzór|<MATH>k^2{{S^{''}}\over{\rho^{{1}\over{2}} }}-{{S^'}\over{2\rho^{{{3}\over{2}} } }}k^2
-k^2{{S^'}\over{2}}\rho^{-{{3}\over{2}}}+{{3}\over{4}}k^2{{S}\over{\rho^{{5}\over{2}}}}+{{2k}\over{\rho}}\left(k{{S^'}\over{\sqrt{\rho}}}-k{{S}\over{2}}\rho^{-{{3}\over{2}}}\right)+k^2\left(1-{{l(l+1)}\over{\rho^2}}\right){{S}\over{\sqrt{\rho}}}=0\;</MATH>|11.64}}
Równanie różniczkowe {{LinkWzór|11.64}} dzielimy obustronnie przez k{{Sup|2}}, a następnie mnożymy tak powstałe równanie przez {{Formuła|<MATH>\rho^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>}} i jednocześnie dalej redukując odpowiednie składniki do siebie z lewej strony rozważanego równania, w takim razie możemy dojść do wniosku:
{{CentrujWzór|<MATH>S^{''}+{{S^'}\over{\rho}}+\left[{{1}\over{4\rho^2}}+1-{{l(l+1)}\over{\rho^2}}\right]S=0\Rightarrow 
S^{''}+{{2S^'}\over{\rho}}+\left[1-{{\left(l+{{1}\over{2}}\right)^2}\over{\rho^2}}\right]S=0\Rightarrow
\rho^2S^{''}+S^'\rho+\left(\rho^2-\left(l+{{1}\over{2}}\right)^2\right)S=0</MATH>|11.65}}
Równanie wynikłe z końcowych obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|11.65}} jest to równanie na funkcję Bessela {{LinkWzór|11.1}}: 
{{CentrujWzór|<MATH>S(\rho)=J_{l+{{1}\over{2}}}(\rho)\;</MATH>|11.66}}
Zatem wykorzystując wzory {{LinkWzór|11.60}} i {{LinkWzór|11.61}}, to możemy napisać wzór {{LinkWzór|11.66}} w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>R_l(kr)={{S}\over{\sqrt{\rho}}}={{J_{l+{{1}\over{2}}}(kr)}\over{\sqrt{kr}}}\sim j_l(kr)\;</MATH>|11.67}}
Funkcja R{{Sub|l}}(kr) jest wprost proporcjonalna do funkcji sferycznej Bessela {{LinkWzór|11.52}}.
Wzór {{LinkWzór|11.55}} do którego podstawimy funkcję sferyczną Bessela, ale przedtem przy czym ewentualne stałe będziemy wkładać do stałej c{{Sub|l}},  i zakładając przy tym, że współrzędna zetowa wyraża się przy pomocy współrzędnej &theta; wzorem, tzn. &xi;=r cos&theta;=r&xi;, w takim razie będziemy mogli powiedzieć:
{{CentrujWzór|<MATH>e^{ikr\xi}=\sum_{l=0}^{\infty}c_lj_l(kr)P_l(\xi)\;</MATH>|11.68}} 
W celu wyznaczenia współczynników c{{Sub|l}} należy pomnożyć obie strony równania {{LinkWzór|11.68}} przez wielomian Legendre'a P{{Sub|n}}(&xi;) i z całkować obie jego strony, i wiedząc, że norma wielomianu Legendre'a jest policzona  tutaj {{LinkWzór|9.57|Wprowadzenie_do_wielomianów_ortogonalnych}}, to:
{{CentrujWzór|<MATH>\int_{-1}^{1}e^{ikr\xi}P_n(\xi)d\xi=c_nj_n(kr){{2}\over{2n+1}}\;</MATH>|11.69}}
Weźmy sobie lewą stronę równania {{LinkWzór|11.69}} i dokonajmy jego całkowania przez części, w takim razie otrzymujemy pewne wyrażenie, które jest wyrażone za pomocą wyrazu wolnego i za pomocą następnej całki:
{{CentrujWzór|<MATH>\int_{-1}^{1}e^{ikr\xi}P_n(\xi)d\xi={{1}\over{ikr}}e^{ikr\xi}P_n(\xi)\Bigg|^{1}_{-1}-{{1}\over{ikr}}\int^1_{-1}e^{ikr\xi}P_n^'(x)d\xi\;</MATH>|11.70}}
Wyraz wolny można napisać dla jego granic w punktach 1 i -1, w których wielomiany Legendre'a zapisujemy wedle P{{Sub|n}}(1)=1 i P{{Sub|n}}(-1)=(-1){{Sup|n}}, którego to pierwszy wyraz w {{LinkWzór|11.70}} piszemy:
{{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{ikr}}e^{ikr\xi}P_{n}(\xi)\Bigg |^{1}_{-1}={{e^{ikr}-(-1)^ne^{-ikr}}\over{ikr}}={{e^{ikr}-e^{in\pi}e^{-ikr}}\over{ikr}}=e^{in{{\pi}\over{2}}}{{e^{i(kr-n{{\pi}\over{2}})}-e^{-i(kr-n{{\pi}\over{2}})}}\over{ikr}}\;</MATH>|11.71}}
Do dalszych kroków jest wyznaczenie tożsamości, którą udowodnimy jako lemat, w takim przypadku mamy:
{{CentrujWzór|<MATH>e^{in{{\pi}\over{2}}}=i^n\;</MATH>|11.72}}
Dowód dla i=0 dla lematu twierdzeniem prawdziwym dla {{LinkWzór|11.72}}, zatem sprawdźmy co wyjdzie, gdy przejdziemy stwierdzenia z n do n+1, w takim bodź razie możemy pomnożyć równość {{LinkWzór|11.72}}, przez jednostkę urojoną równej jednostce urojonej i przestawienie jego w postaci <MATH>e^{i\pi/2}\;</MATH> i po wykorzystaniu twierdzenia o iloczynie funkcji potęgowych o tym samej podstawie, w takim przypadku możemy napisać:
{{CentrujWzór|<MATH>e^{i(n+1){{\pi}\over{2}}}=i^{n+1}\;</MATH>|11.73}}
Co kończy dowód lematu {{LinkWzór|11.72}}. Równość {{LinkWzór|11.71}} możemy zapisać, korzystając przy tym z {{LinkWzór|11.73}}, i z definicji funkcji sinus:
{{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{ikr}}\int^1_{-1}e^{ikr\xi}P_{n}(\xi)=2i^n{{\sin\left(kr-n{{\pi}\over{2}}\right)}\over{kr}}\;</MATH>|11.74}}
Przy wyrażaniu {{LinkWzór|11.74}} skorzystaliśmy, że drugi wyraz znajdujący się w punkcie wyrażenia {{LinkWzór|11.70}} piszemy wedle sposobu poniżej, tzn. całkę poniżej całkujemy poprzez części, w takim przypadku udowodniliśmy, że ten wyraz jest wprost proporcjonalny do odwrotności kwadratu z liczby r, co uzasadnia w {{LinkWzór|11.70}}, że należy uciąć wyrazy rzędu więcej niż wyrazy proporcjonalne do odwrotności z odległości radialnej jako wyrażenia niecałkowego:
{{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{ikr}}\int_{-1}^{1}e^{ikr\xi}P^{'}_n(\xi)d\xi={{1}\over{(ikr)^2}}e^{ikr\xi}P^'_n(\xi)\Bigg|^{1}_{-1}-{{1}\over{(ikr)^2}}\int_{-1}^{1}e^{ikr\xi}P^{''}(\xi)d\xi\sim{{1}\over{(ikr)^2}}\;</MATH>|11.75}}


Jeszcze raz powracając do równania {{LinkWzór|11.69}} możemy napisać tożsamość  na funkcję zależną od x, czyli c{{Sub|n}}j{{Sub|n}}(x), która jest iloczynem współczynnika c{{Sub|n}} i asymptotycznej właściwości sferycznej funkcji Bessela j{{Sub|n}}(x) zdefiniowaną wzorem {{LinkWzór|11.52}}:
{{CentrujWzór|<MATH>2i^n{{\sin\left(kr-n{{\pi}\over{2}}\right)}\over{kr}}=c_nj_n(kr){{2}\over{2n+1}}\Rightarrow c_nj_n(\xi)=i^n(2n+1){{\sin\left(kr-{{n\pi}\over{2}}\right)}\over{kr}}\;</MATH>|11.76}}
Mając wzór na c{{Sub|n}}j{{Sub|n}}(x), który jest określony przez wzór końcowy wynikowy {{LinkWzór|11.76}}, wtedy wzór {{LinkWzór|11.68}} piszemy w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>e^{ikz}=\sum_{l=0}^{\infty}i^n(2n+1){{\sin\left(kr-l{{\pi}\over{2}}\right)}\over{kr}}P_l(\phi)\;</MATH>|11.78}}
Jeśli wprowadzimy asymptotyczne sferyczne funkcje Bessela j{{Sub|n}}(x), które są zdefiniowane wzorem {{LinkWzór|11.52}}, w  takim przypadku {{LinkWzór|11.78}}, który jest zarazem wzorem przybliżonym, przepisujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>e^{ikz}=\sum_{l=0}^{\infty}i^n(2l+1)j_l(kr)P_l(\cos\phi)\;</MATH>|11.79}}

== Wprowadzenie specyficznego wzoru na ortogonalizację funkcji Bessela ==
Funkcja Bessela nie spełnia ogólnych warunków ortogonalizacji, jak to ma miejsce w przypadku wielomianów ortogonalnych, tzn. całka {{Formuła|<MATH>\int_0^{2\pi}J_{\mu}J_{\nu}dx\;</MATH>}} nie jest równe zero, zatem znajdziemy inny właściwy warunek ortogonalizacji dla naszej tutaj rozważanej funkcji.
Obierzmy sobie dwie funkcje, które nazwiemy jako y{{Sub|1}} i y{{Sub|2}}, dla których "a" jest nierówne "b":
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>y_1=J_{\mu}(ax)\;</MATH>|11.80}}|2={{CentrujWzór|<MATH>y_2=J_{\nu}(bx)\;</MATH>|11.81}}}}
Funkcje, tzn. {{LinkWzór|11.80}} i {{LinkWzór|11.81}} podstawiamy do równania różniczkowego Bessela {{LinkWzór|11.1}} i dzielimy obustronnie przez x{{Sup|2}}, to dla tych dwóch rozwiązań mamy przestawienia:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>y_1^{''}+{{1}\over{x}}y_1^'+\left(a^2-{{\nu^2}\over{x^2}}\right)y_1=0\;</MATH>|11.82}}|2={{CentrujWzór|<MATH>y_2^{''}+{{1}\over{x}}y_2^{'}+\left(b^2-{{\nu^2}\over{x^2}}\right)y_2=0\;</MATH>|11.83}}}}
Wzór {{LinkWzór|11.82}} mnożymy obustronnie przez y{{Sub|2}}, a wzór {{LinkWzór|11.83}} mnożymy obustronnie przez y{{Sub|1}} i tak powstałe wzory odejmujemy od siebie, w ten sposób dostajemy równość:
{{CentrujWzór|<MATH>y_1^{''}y_2-y_2^{''}y_1+{{1}\over{x}}\left(y_1^'y_2-y^'y_1\right)=(b^2-a^2)y_1y_2\;</MATH>|11.84}}
Wprowadźmy nową funkcję zdefiniowaną za pomocą funkcji y{{Sub|1}} i y{{Sub|2}}, a także za pomocą tychże pochodnych, w takim przypadku mamy definicję nowej zmiennej<MATH>_{u=y_1^{'}y_2-y_2^{'}y_1}\;</MATH>, w ten sposób {{LinkWzór|11.84}} przechodzi w równość:
{{CentrujWzór|<MATH>u^'+{{u}\over{x}}=(b^2-a^2)y_1y_2\Rightarrow xu^'+u=(b^2-a^2)xy_1y_2\Rightarrow (xu)^'=(b^2-a^2)xy_1y_2\;</MATH>|11.85}}
Końcową równość {{LinkWzór|11.85}} musimy przecałkować w przedziale od (0,L), w ten sposób dostajemy  tożsamość:
{{CentrujWzór|<MATH>Lu(L)=(b^2-a^2)\int_0^Lxy_1(x)y_2(x)dx\;</MATH>|11.86}}
Wedle definicji na zmienną u,  funkcje poniżej powinny być równe zero dla x=a,b, które są różnymi parametrami, dla naszego przypadku musi być przynajmniej jeden warunek z dwóch spełniony, co piszemy je:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>J_{\mu}(xL)=0\;</MATH>|11.87}}|2={{CentrujWzór|<MATH>J^'_{\mu}(xL)=0\;</MATH>|11.88}}}}
Jeśli jest spełniony odpowiednio warunek {{LinkWzór|11.87}} (funkcja Bessela w punkcie xL dla x=a,b jest równa zero) lub {{LinkWzór|11.88}} (pierwsza pochodna funkcji Bessela w punkcie xL dla x=a,b jest równa zero), to lewa strona równości {{LinkWzór|11.86}} jest równa zero:
{{CentrujWzór|<MATH>\int_0^LxJ_{\mu}(ax)J_{\nu}(bx)dx=0\;</MATH>|11.89|Obramuj}}

<noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>