Tekst źródłowy strony Mechanika teoretyczna/Równania Lagrange'a drugiego rodzaju i zasada Hamiltona

<noinclude><!--
-->{{SkomplikowanaStronaStart<!--
      -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!--
-->}}</noinclude>

Zajmować będziemy się tutaj równania Lagrange'a drugiego rodzaju, a także zasadą Hamiltona.

== Drugiego rodzaju równanie Lagrange'a a współrzędne uogólnione ==
Wprowadźmy teraz układ, których istnieją więzy określone równaniami:
{{CentrujWzór|<MATH>g_{\alpha}(\chi_a,t)=0\mbox{    }\alpha=1,2,..,r,a=1,2,...,3N\;</MATH>|6.1}}
Zatem mając równania więzów {{LinkWzór|6.1}} możemy napisać przesunięcia wirtualne, także pochodną czasową prędkości w układzie prostokątnym, wychodząc z definicji o różniczce zupełnej rozpisanej po przez pochodne cząstkowe względem jego argumentów:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\delta\chi_a=\sum_{k=1}^f{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\delta q_k\;</MATH>|6.2}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\chi}_a=\sum_{k=1}^f {{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\dot{q}_k+{{\partial \chi_a}\over{\partial t}}\;</MATH>|6.3}}}}
Wyznaczmy pochodną wielkości {{LinkWzór|6.3}} względem pochodnej współrzędnej prędkości uogólnionej i na podstawie tego możemy napisać: 
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \dot{\chi}_a}\over{\partial \dot{q}_k}}={{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|6.4}}
Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|6.2}} zasadę d'Alemberta {{LinkWzór|4.8|Ruch_ciał_ograniczonych_więzami}} dla "f" więzów przestawiamy:
{{CentrujWzór|<MATH>\sum_{a=1}^{3N}(m\ddot{\chi}_a-F_a)\delta\chi_a=\sum_{a=1}^{3N}(m_a\ddot{\chi}_a-F_a)\sum_{k=1}^f{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\delta q_k=0\;</MATH>|6.5}}
Energię kinetyczną w układzie współrzędnych kartezjańskich możemy wyznaczyć jako sumę energii kinetycznej dla każdej osi z osobna opisujących daną cząstkę  i sumując każdą tak otrzymaną energię kinetyczną  względem każdej cząstki, w ten sposób otrzymujemy tożsamość:
{{CentrujWzór|<MATH>T(q_k,\dot{q}_k,t)=\sum_{a=1}^{3N}{{m_a}\over{2}}\dot{\chi}^2_a\;</MATH>|6.6}}
Dalej należy policzyć pochodną cząstkową wielkości całkowitej energii kinetycznej {{LinkWzór|6.6}} względem k-tego stopnia swobody współrzędnej uogólnionej, a także względem prędkości uogólnionej, zatem po tych operacjach dostajemy równości, z których będziemy korzystać dalej w obliczeniach.
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial T}\over{\partial q_k}}=\sum_{a=1}^{3N}m_a\dot{x}_a{{\partial\dot{x}_a}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|6.7}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}=\sum_{a=1}^{3N}m_a\dot{\chi}_a{{\partial\dot{\chi}_a}\over{\partial \dot{q}_k}}\;</MATH>|6.8}}}}
Do dalszego przestawienia wzoru, który jest pochodną energii kinetycznej względem pochodnej współrzędnej uogólnionej, czyli {{LinkWzór|6.8}}, do której należy wykorzystać udowodnioną tożsamość zapisaną w punkcie {{LinkWzór|6.4}}:
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}=\sum_{a=1}^{3N}m_a\dot{\chi}_a{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|6.9}}
Wyznaczmy teraz pierwszą pochodną zupełną wyrażenia {{LinkWzór|6.9}} względem czasu:
{{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}=\sum^{3N}_{a=1}m_a\ddot{x}_a{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}+\sum_{a=1}^{3N}m_a\dot{x}_a{{\partial\dot{\chi}_a}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|6.10}}
Ostatni wyraz występujący w punkcie {{LinkWzór|6.10}} po jego prawej stronie, jest to człon zapisanej w punkcie {{LinkWzór|6.7}}, wtedy powyższą równość zapisujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}=\sum^{3N}_{a=1}m_a\ddot{x}_a{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}+{{\partial T}\over{\partial q_k}}\Rightarrow{{d}\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}-{{\partial T}\over{\partial q_k}}=\sum^{3N}_{a=1}m_a\ddot{x}_a{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|6.11}}
Końcowy wzór wynikający z obliczeń {{LinkWzór|6.11}} podstawiamy do wzoru wynikłego z zasady d'Alemberta, wtedy przestawiamy równość:
{{CentrujWzór|<MATH>\sum^f_{k=1}\left({{d}\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}-{{\partial T}\over{\partial q_k}}-\sum_{a=1}^{3N}F_a{{\partial \chi_a}\over{\partial q_k}}\right)\delta q_k=0\;</MATH>|6.12}}
Wprowadźmy teraz wielkość, którą nazywamy siłą uogólnioną, którego zapis jest jako sumę względem wskaźnika "a" iloczynu funkcji siły F{{Sub|a}} przez pochodną  &chi;{{Sub|a}} względem współrzędnej q{{Sub|k}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\sum_{a=1}^{3N}F_a{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=Q_k\;</MATH>|6.13}}
W {{LinkWzór|6.13}} wielkość {{Formuła|<MATH>\sum_{a=1}^{3}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\vec k_a={{\partial\vec r}\over{\partial q_k}}=\vec e_k\left|\left|{{\partial\vec r}\over{\partial q_k}}\right|\right|=e_kg_k\;</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>\vec e_k\;</MATH>}} jest wersorem w układzie ogólnie krzywoliniowym o bazie ortonormalnej i {{Formuła|<MATH>g_k=\left|\left|{{\partial\vec r}\over{\partial q_k}}\right|\right|\;</MATH>}}, więc:
{{CentrujWzór|<MATH>\sum_{a=1}^{3N}F_a{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=\sum_{i=1}^N\vec F_i\cdot\vec e_{ik}g_{ik}=\sum_{i=1}^Ng_{ik}\left(\vec F_i,\vec e_{ik}\right)=\sum_{i=1}^NQ_{ik}=Q_k</MATH>|F2}}
Stąd wielkość {{Formuła|<MATH>Q_k\;</MATH>}} jest k-tym stopniem swobody wektora siły uogólnionej w układzie ogólnie krzywoliniowym. Widzimy, że siła uogólniona {{Formuła|<MATH>Q_k\;</MATH>}}, bo zachodzi {{LinkWzór|F2}} (końcowy wniosek), jest addytywna i jest sumą sił uogólnionych od poszczególnych ciał w układzie z więzami.
Udowodnijmy addytywność sił uogólnionych, jeżeli na dane ciało dział jakaś liczba sił uogólnionych, na podstawie addytywności sił zwykłych:
{{CentrujWzór|<MATH>F_{k}=\sum_{i}F_{ik}\Rightarrow Q_{k}=\sum_{a=1}^{3N}\sum_{i}F_{ia}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=\sum_{i}\sum_{a=1}^{3N}F_{ia}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=\sum_i Q_{ik}\Rightarrow Q_k=\sum_iQ_{ik}\;</MATH>|F3}}
A więc k-ty stopień swobody siły uogólnionej działającej na ciała jest sumą wszystkich k-tych stopni swobody sił uogólnionych, nawet tych działających na jedno ciało w liczbie większych niż jeden, w układzie ogólnie krzywoliniowym.
Równanie {{LinkWzór|6.12}} jest spełnione dla dowolnego przesunięcia wirtualnego współrzędnej uogólnionej q{{Sub|k}} przy definicji siły uogólnionej {{LinkWzór|6.13}}:
{{CentrujWzór|<MATH>{{d }\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}-{{\partial T}\over{\partial q_k}}=Q_k\;</MATH>|6.14}}
Równanie {{LinkWzór|6.14}} nosi nawę równania Lagrange'a drugiego rodzaju. 
Następnie na podstawie obliczeń przestawionych w punkcie {{LinkWzór|1.78|Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego}} możemy napisać, że współrzędna siły w układzie kartezjańskim jest równa pochodnej energii potencjalnej ciała względem współrzędnej kartezjańskiej, która to jest napisana wzorem wziętej z prawej strony wzoru z minusem:
{{CentrujWzór|<MATH>F_a=-{{\partial U}\over{\partial \chi_a}}+F_{za}\;</MATH>|6.15}}
Na podstawie wzoru na siłę w układzie kartezjańskim F{{Sub|a}} {{LinkWzór|6.15}} wzór na siłę uogólnioną {{LinkWzór|6.13}} w zalezności od siły potencjalnej i zewnętrznej przestawiamy:
{{CentrujWzór|<MATH>Q_k=\sum_{a=1}^{3N}F_{pa}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}+\sum_{a=1}^{3N}F_{za}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=-\sum_{a=1}^{3N}{{\partial U}\over{\partial\chi_a}}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}+Q_{zk}=-{{\partial U}\over{\partial q_k}}+Q_{zk}\;</MATH>|6.16}}
Dla siły uogólnionej {{Formuła|<MATH>Q_{zk}\;</MATH>}} w {{LinkWzór|6.16}} też zachodzi podobny związek {{LinkWzór|F3}} jak dla siły uogólnionej {{Formuła|<MATH>Q_k\;</MATH>}} {{LinkWzór|6.13}}, bo na podstawie {{LinkWzór|F3}}, mamy:
{{CentrujWzór|<MATH>Q_k=Q_{zk}+Q_{pk}\;</MATH>|F4}}
Wzór {{LinkWzór|6.16}} spełnia zasadę rozpisu {{LinkWzór|F4}}.
Wzór na siłę uogólnioną zewnętrzną na podstawie {{LinkWzór|6.16}} i definicji siły uogólnionej {{LinkWzór|F2}}, przedstawiamy:
{{CentrujWzór|<MATH>Q_{zk}=\sum_{a=1}^{3N}F_{za}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=\sum_{i=1}^Ng_{ik}(\vec F_i, \vec e_{ik})</MATH>|F6}}
Ponieważ zachodzi addytywność siły uogólnionej {{Formuła|<MATH>Q_k\;</MATH>}} {{LinkWzór|F3}} to na podstawie {{LinkWzór|F4}} zachodzi addytywność siły uogólnionej zewnętrznej {{Formuła|<MATH>Q_{zk}\;</MATH>}} lub co można sprawdzić bezpośrednio z definicji uogólnionej siły zewnętrznej {{LinkWzór|F6}}, sprawdźmy to:
{{CentrujWzór|<MATH>Q_{zk}=\sum_{a=1}^{3N}\sum_iF_{zia}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=\sum_i\sum_{a=1}^{3N}F_{zia}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=\sum_iQ_{zik}\Rightarrow Q_{zk}=\sum_iQ_{zik}\;</MATH>|F5}}
Wzór na siłę uogólnioną {{LinkWzór|6.16}} możemy wsadzić do wzoru obrazującej drugie równania Lagrange'a {{LinkWzór|6.14}} i pamiętając jednocześnie, że energia potencjalna nie zależy od czasu i prędkości uogólnionej:
{{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}{{\partial(T-U)}\over{\partial \dot{q}_k}}-{{\partial (T-U)}\over{\partial q_k}}=Q_{zk}\;</MATH>|6.17}}
Wprowadźmy teraz funkcję Lagrange'a, która jest różnicą energii kinetycznej i potencjalnej:
{{CentrujWzór|<MATH> L=T-U\;</MATH>|6.18}}
Równość {{LinkWzór|6.17}} na podstawie definicji funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|6.18}} możemy przepisać w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial  L}\over{\partial q_k}}=Q_{zk}\;</MATH>|6.19}}
Układ równań {{LinkWzór|6.19}} jest układem f=3N-r równań różnicowych drugiego rzędu, z którego wyznaczać będziemy wzór na współrzędne q{{Sub|k}} w zależności jak się zmieniają one w czasie. Równanie {{LinkWzór|6.19}} stosuje się tak samo dla więzów jak i do przypadku braku więzów, o ile są więzy holonomiczne, a same siły konserwatywne.

Równanie Eulera-Lagrange'a {{LinkWzór|6.19}} możemy zapisać w postaci wektorowej w przestrzeni kartezjańskiej opisujący daną cząstkę o numerze "a" w analogii do równania {{LinkWzór|6.19}}:
{{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\vec{v}_a}}-{{\partial  L}\over{\partial\vec{r}_a}}=\vec Q_{z}\;</MATH>|6.20}}

== Funkcja Lagrange'a a zasady zachowania ==
=== Zasada zachowania energii i translacja w czasie ===
Nazpiszmy teraz różniczkę zupełną funkcji Lagrange'a, zdefiniowaną w punkcie {{LinkWzór|6.18}} względem czasu, do którego będziemy stosować drugie równanie Lagrange'a {{LinkWzór|6.19}}:
{{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}} L=\sum_{k}{{\partial L}\over{\partial q_k}}\dot{q}_k+\sum_k{{\partial L}\over{\partial \dot{q}_k}}\ddot{q}_k+{{\partial L}\over{\partial t}}=\sum_k\dot{q}_k{{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial \dot{q}_k}}-\sum_k Q_{zk}\dot{q}_k+\sum_k\ddot{q}_k{{\partial L}\over{\partial \dot{q}_k}}+{{\partial L}\over{\partial t}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d}\over{dt}}\left(\sum_k\dot{q}_k{{\partial L}\over{\partial \dot{q}_k}}\right)+{{\partial L}\over{\partial t}}-\sum_kQ_{zk}\dot{q}_k</MATH>|6.21}}
Wyrazy w {{LinkWzór|6.21}}, które są pochodnymi zupełnymi i cząstkowymi pewnej  funkcji względem czasu umieszczamy po jednej stronie, czyli prawej, a pozostałe wyrazy wsadzamy po jego lewej stronie:
{{CentrujWzór|<MATH>\sum_kQ_{zk}\dot{q}_k={{d}\over{dt}}\left( \sum_k\dot{q}_k{{\partial  L}\over{\partial\dot{q}_k}}-L\right)+{{\partial L}\over{\partial t}}\Rightarrow P_z={{d}\over{dt}}\left( \sum_k\dot{q}_k{{\partial  L}\over{\partial\dot{q}_k}}-L\right)+{{\partial L}\over{\partial t}}\;</MATH>|6.22}}
Wykażemy, że prawa strona równości pod pochodną czasową jest równa całkowitej energii wziętej z minusem, to:
{{CentrujWzór|<MATH>T=\sum_{a=1}^{3N}{{m_a}\over{2}}\dot{\chi}_a^2=\sum_{a=1}^{3N}{{m_a}\over{2}}\left(\sum_{k=1}^f{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\dot{q}_k\right)^2\;</MATH>|6.23}}
Dalej wyznaczmy wyrażenie, które będzie nam bardzo dalej będzie potrzebne, w których jak wiadomo, że całkowita energia potencjalna układu nie zależy od pochodnych współrzędnych uogólnionych:
{{CentrujWzór|<MATH>\sum_{k=1}^f{{\partial T}\over{\partial\dot{q}_k}}\dot{q}_k=\sum_{k=1}^f\sum_{a=1}^{3N}{{m_a}\over{2}}2\left(\sum_{s=1}^f{{\partial\chi_a}\over{\partial q_s}}\dot{q}_s\right){{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\dot{q}_k=2\sum_{a=1}^{3N}{{m_a}\over{2}}\left(\sum_{s=1}^f{{\partial\chi_a}\over{\partial q_s}}\dot{q}_s\right)^2=2T\;</MATH>|6.24}}
Na samym końcu policzmy wyrażenie występujące z prawej strony wzoru {{LinkWzór|6.22}} pod pochodną względem czasu wykorzystując obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|6.24}}:
{{CentrujWzór|<MATH> \sum_k{{\partial L}\over{\partial \dot{q}_k}}\dot{q}_k-L=2T-T+U=T+U=E\;</MATH>|6.25}}
Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|6.22}} i {{LinkWzór|6.25}} wykazaliśmy, że jeśli Lagrangian nie zależy od czasu i siły uogólnione zewnętrzne są równe zero, to całkowita energia układu w czasie się nie zmienia.

=== Translacje przestrzenne a funkcja Lagrange'a ===
Całkowity Lagrangian układu  jest sumą wszystkich energii kinetycznych i potencjalnych dla cząstek wchodzących w skład układu mechanicznego:
{{CentrujWzór|<MATH> L=\sum_{i=1}^n{{m\dot{\vec{r}^2_i}}\over{2}}-\sum_{i,j}(|\vec{r}_i-\vec{r}_j|)\;</MATH>|6.26}}
Dokonajmy teraz translacji przestrzennych o wektor {{Formuła|<MATH>\vec{a}=[a_1,a_2,a_3]\;</MATH>}} wedle  schematu:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}_i^'=\vec{r}_i+\vec{a}\;</MATH>|6.27}}
Zmiana lagrangianu przy przesunięciu o pewien wektor {{Formuła|<MATH>\vec{a}\;</MATH>}} wyraża się w zależności od współrzędnych, który jest wyrażony przez współrzędne wektora {{Formuła|<MATH>\vec{r}_i^'\;</MATH>}}, oraz przez współrzędne wektora {{Formuła|<MATH>\vec{r}_i\;</MATH>}} {{LinkWzór|6.27}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\partial L= L(\vec{r}_i^',\dot{\vec{r}}_i,t)- L(\vec{r},\dot{\vec{r}}_i,t)=a_1\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial x_k}}+a_2\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial y_k}}+a_3{{\partial L}\over{\partial x_k}}\;</math>|6.28}}
Jeśli nasz Lagrangian nie zmienia się podczas dowolnej translakcji w przestrzeni, to powinno zachodzić na pewno dla naszej funkcji {{Formuła|<MATH>\partial L=0\;</MATH>}}, zatem powinny zachodzić warunki, które tożsamościowo są równe zero:
{{CentrujWzór|<MATH>\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial x_k}}=\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial y_k}}=\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial z_k}}=0\;</MATH>|6.29}}
Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|6.19}} na drugie równanie Lagrange'a, to podstawiając to równanie do trzech tożsamości wyrażonej w jednej linijce {{LinkWzór|6.29}}, wtedy po dokonaniu tejże operacji:
{{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left(\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial \dot{x}_k}}\right)={{d}\over{dt}}\left(\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial \dot{y}_k}}\right)={{d}\over{dt}}\left(\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial \dot{x}_k}}\right)=0\;</MATH>|6.30}}
Na podstawie co wykazaliśmy w punkcie {{LinkWzór|6.30}} możemy napisać:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial\dot{x}_k}}=\operatorname{const}\;</MATH>|6.31}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial\dot{y}_k}}=\operatorname{const}\;</MATH>|6.32}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial\dot{z}_k}}=\operatorname{const}\;</MATH>|6.33}}}}
Można wykazać, że pochodna {{Formuła|<MATH>{{\partial L}\over{\partial\dot{x}_k}}\;</MATH>}} jest pędem iksowym cząstki poruszającej się w układzie, który ulega translacji, podobnie mamy z pędem igrekowym i zetowym dla pojedynczej cząstki, zatem prawa {{LinkWzór|6.31}}, {{LinkWzór|6.32}} i {{LinkWzór|6.33}} obrazują, że podczas translacji układu o pewien wektor całkowity pęd układu pozostaje zachowany, jeśli lagrangian przy dokonanej translacji {{LinkWzór|6.26}} jest niezmienniczy, zatem całkowity pęd układu cząstek w takim przypadku pozostaje niezmienniczy.

=== Zasada zachowania momentu pędu ===
Prędkość w ruchu obrotowym w układzie kulistym już wyprowadziliśmy w punkcie {{LinkWzór|1.28|Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego}}, zatem całkowity Lagrangian, który jest funkcją energii kinetycznej i potencjalnej, przestawiamy jako:
{{CentrujWzór|<MATH> L=T-U={{m}\over{2}}\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2\sin\phi+r^2\dot{\phi}^2\right)-U(r)\;</MATH>|6.34}}
Z powyższych wniosków wnioskujemy, że całkowity Lagrangian nie zależy od współrzędnej &theta;-owej, zatem pochodna cząstkowa Lagrangianu {{LinkWzór|6.34}} względem współrzędnej &theta;-owej jest równa zero:
{{CentrujWzór|<MATH>0={{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\dot{\theta}}}={{d}\over{dt}}\left(mr^2\dot{\theta}\sin^2\phi\right)\;</MATH>|6.35}}
Jeśli dodatkowo zauważmy, że zachodzi tożsamość na moment pędu zetowy:
{{CentrujWzór|<MATH>L_z=m(\vec{r}\times\dot{\vec{r}})_z=m(x\dot{y}-\dot{x}y)=m\Bigg[r\cos\theta\sin\phi \left(\dot{r}\sin\theta\sin\phi+r\dot{\theta}\sin\phi\cos\theta+r\dot{\phi}\sin\theta\cos\phi\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-r\sin\theta\sin\phi\left(\dot{r}\cos\theta\sin\phi+r\dot{\theta}\sin\phi(-\sin\theta)+r\dot{\phi}\cos\theta\cos\phi\right)\Bigg]=
mr^2\dot{\theta}\sin^2\phi\cos^2\theta+r^2\dot{\theta}\sin^2\theta\sin^2\phi=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=mr^2\dot{\theta}\sin^2\phi(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=mr^2\dot{\theta}\sin^2\phi\;</MATH>|6.36}}
Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|6.35}}, w której pod pochodną występuje wyrażenie, które jest zetowym momentem pędu określonych na podstawie obliczeń  {{LinkWzór|6.36}}, czyli stąd wynika, że moment zetowy moment pędu jest wielkością zachowaną w wyniku obrotów o pewien kąt.

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli Lagrangian {{Formuła|<MATH> L\;</MATH>}} nie zależy od współrzędnej uogólnionej q{{Sub|k}}, to spełniona jest zasada zachowania:
{{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial \dot{q}_k}}=0\;</MATH>|6.37}}
Czyli taką współrzędną dla której zachodzi {{LinkWzór|6.37}} nazywamy współrzędną cykliczną.

== Wyznaczanie przyspieszenia w dowolnym ortogonalnym układzie  współrzędnych ==
Załóżmy, że mamy do czynienia z ortogonalnym układem współrzędnych, w którym obowiązują wersory o długości jeden oznaczone przez {{Formuła|<MATH>\vec{e}_k\;</MATH>}}, gdzie przyrost położenia jest napisany:
{{CentrujWzór|<MATH>d\vec{r}=\sum_kg_k(q_i)dq_k\vec{e}_k\;</MATH>|6.38}}
Na podstawie {{LinkWzór|6.37}} opis zależy od wersorów, a także ona zależy od różniczek współrzędnych uogólnionych, zatem prędkość danej cząstki w danym prostokątnym układzie współrzędnych jest opisywana:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}={{d\vec{r}}\over{dt}}=\sum_kg_k(q_i)\dot{q}_k\vec{e}_k\;</MATH>|6.39}}
Parametry {{Formuła|<MATH>g_k(q_i)\;</MATH>}} są tak np. sformułowane w kulistym układzie współrzędnych, co porównując ze wzorem na prędkość w układzie kulistym danej cząstki {{LinkWzór|1.28|Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego}}, by można było napisać wzory na parametry występujące we wzorze {{LinkWzór|6.38}}:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>g_1=1;\;</MATH>|6.40}}|2={{CentrujWzór|<MATH>g_2=r\sin\phi\;</MATH>|6.41}}|3={{CentrujWzór|<MATH>g_3=r\;</MATH>|6.42}}}}
Wektory {{Formuła|<MATH>\vec{e}_k\;</MATH>}} tworzą układ wersorów jednostkowym i ortogonalnych do siebie, bo:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_k\vec{e}_i=\delta_{ki}\;</MATH>|6.43}}
Biorąc na uwagę definicję prędkości w tym naszym omawianym układzie {{LinkWzór|6.39}}, a także z własności ortogonalności wersorów {{LinkWzór|6.43}},  to możemy wzór na całkowitą energię kinetyczną układu napisać w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>T={{1}\over{2}}m\vec{v}^2={{1}\over{2}}m\sum_kg_k^2\dot{q}_k^2\;</MATH>|6.44}}
Rozpatrzmy teraz wzór  dla jednego ciała na drugie równanie Lagrange'a {{LinkWzór|6.14}}, które określimy za pomocą energii kinetycznej i siły uogólnionej, a wzór na siłę uogólnioną według {{LinkWzór|F2}}, także wykorzystajmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego}}, w takim razie dla układu ogólnie krzywoliniowego mamy:
{{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial T}\over{\partial q_k}}=m{{d}\over{dt}}(g_k^2\dot{q}_k)-m\sum_ig_i{{\partial g_i}\over{\partial q_k}}\dot{q}_i^2=
mg_k^2\ddot{q}_k+2m g_k{{dg_k}\over{dt}}\dot{q}_k-m\sum_ig_i{{\partial g_i}\over{\partial q_k}}\dot{q}_i^2=mg_k^2\ddot{q}_k+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+2m g_k\sum_i{{\partial g_k}\over{\partial q_i}}\dot q_i\dot{q}_k-m\sum_ig_i{{\partial g_i}\over{\partial q_k}}\dot{q}_i^2=g_kF_k=g_kma_k\;</MATH>|6.45}}
Z drugiej jednak strony wzór na przyspieszenie dowolnej cząstki możemy otrzymać ze wzoru fizycznego, słusznego w dowolnym układzie ogólnie krzywoliniowym, z {{LinkWzór|6.39}} licząc pochodną zupełną względem czasu dla obu jego stron, zatem:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\sum_kg_k\ddot{q}_k\vec{e}_k+\sum_k\dot{q}_k{{d}\over{dt}}\left(g_k\vec{e}_k\right)</MATH>|6.46}}
Ostatni człon w powyższym wzorze jest bardzo trudny do obliczenia, ale możemy wyznaczyć jego współczynnik liniowej kombinacji porównując współczynniki stojące przy {{Formuła|<MATH>\ddot{q}_k\;</MATH>}} we wzorze {{LinkWzór|6.46}} i we  równaniu na drugie równanie Lagrange'a {{LinkWzór|6.45}}, stąd:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec a=\sum_k\vec e_k{{1}\over{mg_k}}\left({{d}\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}-{{\partial T}\over{\partial q_k}}\right)\Rightarrow \sum_ka_k\vec e_k=\sum_k\vec e_k{{1}\over{mg_k}}\left({{d}\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}-{{\partial T}\over{\partial q_k}}\right)\Rightarrow a_k={{1}\over{m g_k}}\left({{d}\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}-{{\partial T}\over{\partial q_k}}\right)\;</MATH>|6.47}}
Równość {{LinkWzór|6.47}} zachodzi, bo jak powiedzieliśmy dla {{LinkWzór|6.13}} (tutaj wszystkie siły uwzględniono w {{Formuła|<MATH>Q_k\;</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>U=0\;</MATH>}}, a więc {{Formuła|<MATH>L=T-U=T-0=T\;</MATH>}}), że {{Formuła|<MATH>Q_k\;</MATH>}} jest k-tą współrzędną siły uogólnionej w układzie ogólnie krzywoliniowym, wykorzystując wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego}}, też wiedząc, że zachodzi w zależności od współrzędnych przyśpieszenia w układzie ogólnie krzywoliniowym: 
{{CentrujWzór|<MATH>\sum_ka_k\vec e_k=\vec a\;</MATH>|6.47a}}
Podstawiając {{LinkWzór|6.47a}} do pierwszego równania {{LinkWzór|6.47}} dostajemy drugie równanie też tam. To co napisano w drugim równaniu {{LinkWzór|6.47}} i z definicji ortonormalności wersorów {{Formuła|<MATH>\vec e_k\;</MATH>}} {{LinkWzór|6.43}} mamy trzecie równanie w {{LinkWzór|6.47}}, czyli równanie końcowe w {{LinkWzór|6.47}} jest prawdziwe i przedstawia wzór na k-tą współrzędną przyśpieszenia w układzie ogólnie krzywoliniowym.
Energia kinetyczna w układzie kulistym dla ciała jest określona na podstawie wzoru {{LinkWzór|1.28|Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego}}:
{{CentrujWzór|<MATH>T={{m}\over{2}}\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2+r^2\sin^2\phi\dot{\theta}^2\right)\;</MATH>|6.48}}
Jeśli podstawimy wzór {{LinkWzór|6.48}} do wzoru {{LinkWzór|6.47}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|6.40}}, {{LinkWzór|6.41}} i {{LinkWzór|6.42}}, zatem w ten sposób otrzymujemy wzór na przyspieszenie w układzie kulistym dla danego ciała, które już określaliśmy według wzoru {{LinkWzór|1.30|Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego}}.

== Zasada Hamiltona, a drugie równanie Lagrange'a ==
Weźmy sobie całkę działania, które określamy za pomocą wzoru, w której funkcją podcałkową jest funkcją Lagrange'a zdefiniowanej w punkcie {{LinkWzór|6.18}}, zatem ta nasza całka:
{{CentrujWzór|<math>S=\int_{t_1}^{t_2} L(q_k,\dot{q}_k,t)dt\;</MATH>|6.49}}
Całkę działania {{LinkWzór|6.49}} będziemy tak formułować, by wariacja funkcji S była równa zero, czyli przyjmujemy '''zasadę Hamiltona''', czyli '''zasadę najmniejszego działania'''. Na podstawie obliczeń przeprowadzonych na funkcjach Lagrange'a w książce do [[Metody matematyczne fizyki|Metod matematycznych fizyki]] określamy wzór, że wariacja funkcjonału S jest równa zero, zatem Lagrangian występujący  w {{LinkWzór|6.49}} spełnia wniosek {{LinkWzór|17.13|Rachunek_wariacyjny|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, w którym występuje funkcja F, którą tutaj zastąpimy przez  L, zatem w końcowych perypetiach otrzymujemy wzór skalarny {{LinkWzór|6.19}} lub wzór wektorowy {{LinkWzór|6.20}} dla przestrzeni kartezjańskiej, a więc to udowodnijmy i wszystkie wnioski do tego, co zachodzą z teorii ruchu:
{{CentrujWzór|<MATH>0=\delta S=\int_{t_1}^{t_2}\left({{\partial L}\over{\partial q_k}}-{{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}\right)dt\delta q_k\Rightarrow{{\partial L}\over{\partial q_k}}-{{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}=0\;</MATH>|6.49a}}
Przyjmijmy, że lagrangian jest sumą lagrangianu normalnego {{Formuła|<MATH>L=T-U\;</MATH>}} i odpowiedzialnego za siły zewnętrzne, które w szczególnym przypadku też w nim są siły oddziaływań, więc w przypadku lagrangianu w {{LinkWzór|6.49a}} zastępując według:
{{CentrujWzór|<MATH>L\rightarrow L+L_{z}\;</MATH>|6.49ab}}
Na podstawie wynikającej z zasady wariacyjnej {{LinkWzór|6.49a}} i zastępowania {{LinkWzór|6.49ab}} oraz zakładamy, że {{Formuła|<MATH>L_{z}\;</MATH>}} jest zależne od prędkości i położenia ciał, otrzymujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}{{\partial (L+L_{z})}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial (L+L_{z})}\over{\partial q_k}}=0\Rightarrow {{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial L}\over{\partial q_k}}=-\left({{d}\over{dt}}{{\partial L_{z}}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial L_{z}}\over{\partial q_k}}\right)\;</MATH>|6.49b}}
A ponieważ zachodzi wynikająca z teorii ruchu {{LinkWzór|6.19}} i wynikająca z teorii lagrangianu {{LinkWzór|6.49b}}, mamy:
{{CentrujWzór|<MATH>Q_{zk}=-\left({{d}\over{dt}}{{\partial L_{z}}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial L_{z}}\over{\partial q_k}}\right)={{\partial L_{z}}\over{\partial q_k}}-{{d}\over{dt}}{{\partial L_{z}}\over{\partial\dot{q}_k}}\;</MATH>|6.49c}}
Wzór {{LinkWzór|6.49c}} jest przepisem jak liczyć k-ty stopień swobody sił uogólnionych w układzie ogólnie krzywoliniowym znając lagrangian sił oddziaływań oraz sił zewnętrznych {{Formuła|<MATH>L_{z}\;</MATH>}}, która jest zależna od prędkości i położenia. Gdy {{Formuła|<MATH>L_{z}\;</MATH>}} nie jest zależne od prędkości, tylko od położenia, w takim razie wzór {{LinkWzór|6.49c}} przyjmuje formę:
{{CentrujWzór|<MATH>Q_{zk}={{\partial L_{z}}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|6.49d}}
Na podstawie wzoru na siłę uogólnioną {{Formuła|<MATH>Q_k\;</MATH>}} {{LinkWzór|6.49c}} wzór {{LinkWzór|6.49b}} przyjmuje formę o wyglądzie {{LinkWzór|6.19}}, aby dla jasności wykładu przepiszemy ten wzór:
{{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial  L}\over{\partial q_k}}=Q_{zk}\;</MATH>|6.19a}}
Udowodnijmy addytywność siły uogólnionej {{Formuła|<MATH>Q_{zk}\;</MATH>}} z teorii lagrangianu wiedząc, że zachodzi z teorii ruchu {{LinkWzór|F5}}, gdy na dane ciało działa jakaś ich liczba, zatem:
{{CentrujWzór|<MATH>Q_{zk}=\left({{\partial}\over{\partial q_k}}-{{d}\over{dt}}{{\partial}\over{\partial\dot{q}_k}}\right)\sum_{i}L_{zi}=\sum_i\left({{\partial}\over{\partial q_k}}-{{d}\over{dt}}{{\partial}\over{\partial\dot{q}_k}}\right)L_{zi}=\sum_iQ_{zik}\Rightarrow Q_{zk}=\sum_iQ_{zik}\;</MATH>|G1}}
Na podstawie {{LinkWzór|G1}} siła uogólniona zewnętrzna jest addytywna, która występuje we wzorze {{LinkWzór|6.19a}}. Czyli to co chcieliśmy na samym początku tego rozdziału udowodniliśmy.
Wzory {{LinkWzór|6.19a}}, {{LinkWzór|6.49c}} i {{LinkWzór|6.49d}} oraz {{LinkWzór|G1}} są słuszne, gdy {{Formuła|<MATH>L=T-U\;</MATH>}}, a dla innych przypadków {{Formuła|<MATH>L\;</MATH>}} też są słuszne, a my to chcemy udowodnić, dla tych przypadków mamy równania poniżej. Na podstawie tych wniosków też jest słuszny wzór {{LinkWzór|6.49a}} przed zamianą według {{LinkWzór|6.49ab}}.
Zastępujmy w definicji siły uogólnionej w {{LinkWzór|6.49c}} w równaniu {{LinkWzór|6.19a}} według:
{{CentrujWzór|<MATH>L_{z}\rightarrow L_{oiz}+L_{z}\;</MATH>|6.49d1}}
Wtedy na podstawie {{LinkWzór|6.49d1}} wzór kocowy w {{LinkWzór|6.49b}} przyjmuje formę:
{{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial L}\over{\partial q_k}}=-\left({{d}\over{dt}}{{\partial}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial }\over{\partial q_k}}\right)(L_{oiz}+L_z)\Rightarrow{{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial L}\over{\partial q_k}}=-\left({{d}\over{dt}}{{\partial L_{oiz}}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial L_{oiz}}\over{\partial q_k}}\right)-\left({{d}\over{dt}}{{\partial L_{z}}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial L_{z}}\over{\partial q_k}}\right)\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow{{d}\over{dt}}{{\partial (L+L_{oiz})}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial (L+L_{oiz})}\over{\partial q_k}}=-\left({{d}\over{dt}}{{\partial L_{z}}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial L_{z}}\over{\partial q_k}}\right)\;</MATH>|6.49d2}}
W {{LinkWzór|6.49d2}} (końcowa tożsamość) zastąpmy według procedury {{Formuła|<MATH>L+L_{oiz}\rightarrow L\;</MATH>}}, a my dla jasności wykładu napiszmy równanie, które jest słuszne dla dowolnej postaci lagrangianu, a ono nazwiemy drugą uogólnioną zasadą Lagrange'a wynikającą z zasady wariacyjnej, a ono jest w postaci {{LinkWzór|6.49d231}} (podobne do wzoru {{LinkWzór|6.19}} i {{LinkWzór|6.19a}}), a wzór na siłę uogólnioną zewnętrzną przepiszmy jako {{LinkWzór|6.49d232}} (podobny do wzoru {{LinkWzór|6.49c}}) zależną od lagrangianu siły zewnętrznej {{Formuła|<MATH>L_z\;</MATH>}}, a gdy lagrangian siły zewnętrznej nie zależy od prędkości, wtedy siła uogólniona przedstawiamy jako {{LinkWzór|6.49d233}} (podobny do wzoru {{LinkWzór|6.49d}}), a lagrangian całkowity {{Formuła|<MATH>L_c\;</MATH>}} {{LinkWzór|6.49d234}} jest sumą lagrangianu {{Formuła|<MATH>L\;</MATH>}} i lagrangianu siły zewnętrznej {{Formuła|<MATH>L_z\;</MATH>}}, czyli te wzory piszemy:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial  L}\over{\partial q_k}}=Q_{zk}\;</MATH>|6.49d231}}|2={{CentrujWzór|<MATH>Q_{zk}=-\left({{d}\over{dt}}{{\partial L_{z}}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial L_{z}}\over{\partial q_k}}\right)={{\partial L_{z}}\over{\partial q_k}}-{{d}\over{dt}}{{\partial L_{z}}\over{\partial\dot{q}_k}}\;</MATH>|6.49d232}}|3={{CentrujWzór|<MATH>Q_{zk}={{\partial L_{z}}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|6.49d233}}|4={{CentrujWzór|<MATH>L_c=L+L_z\;</MATH>|6.49d234}}}}
Określmy postać wzoru na siłę uogólnioną zewnętrzną dla {{LinkWzór|6.49d232}} i {{LinkWzór|6.49d233}} oraz podobnego do {{LinkWzór|6.49c}} i {{LinkWzór|6.49d}} podobnym wzorem do {{LinkWzór|F6}}, więc:
{{CentrujWzór|<MATH>\sum_{a=1}^{3N}F_{za}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=\sum_{i=1}^{N}g_{ik}(\vec F_{zi}, \vec e_{ik})=\sum_{i=1}^NQ_{ik}=Q_{zk}\;</MATH>|6.13a}}
Czyli jak we wzorze {{LinkWzór|F6}} k-ty stopień swobody w układzie ogólnie krzywoliniowym siły uogólnionej zewnętrznej jest według {{LinkWzór|6.13a}}, bo tak jest na podstawie {{LinkWzór|6.49d1}}, że stara siła uogólniona zewnętrzna (stare {{Formuła|<MATH>Q_{zk}\;</MATH>}}) wynikającego ze starego {{Formuła|<MATH>L_z\;</MATH>}} jest sumą siły uogólnionej {{Formuła|<MATH>Q_{oizk}\;</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>L_{oiz}\;</MATH>}} i nowej siły uogólnionej zewnętrznej (nowe {{Formuła|<MATH>Q_{zk}\;</MATH>}}) z nowego {{Formuła|<MATH>L_z\;</MATH>}}, co uwidaczniamy na podstawie rachunku:
{{CentrujWzór|<MATH>Q_{zk}\rightarrow\sum_{a=1}^{3N}(F_{oiza}+F_{za}){{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=\sum_{a=1}^{3N}F_{oiza}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}+\sum_{a=1}^{3N}F_{za}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=Q_{oizk}+Q_{zk}\Rightarrow Q_{zk}\rightarrow Q_{oizk}+Q_{zk}\;</MATH>|6.13b}}
Stąd z {{LinkWzór|6.13b}} mamy {{LinkWzór|6.13a}} dla nowego {{Formuła|<MATH>Q_{zk}\;</MATH>}}, stąd na podstawie {{LinkWzór|F5}} k-ty stopień swobody w układzie ogólnie krzywoliniowym nowej siły uogólnionej zewnętrznej {{Formuła|<MATH>Q_{zk}\;</MATH>}} w {{LinkWzór|6.13b}} jest addytywny. To też można udowodnić z teorii lagrangianu:
{{CentrujWzór|<MATH>Q_{zk}=-\left({{d}\over{dt}}{{\partial (L_{oiz}+L_z)}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial (L_{oiz}+L_z)}\over{\partial q_k}}\right)=-\left({{d}\over{dt}}{{\partial L_{oiz}}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial L_{oiz}}\over{\partial q_k}}\right)-\left({{d}\over{dt}}{{\partial L_z}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial L_z}\over{\partial q_k}}\right)=Q_{oizk}+Q_{zk}\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow Q_{zk}\rightarrow Q_{oizk}+Q_{zk}\;</MATH>|6.13c}}
W {{LinkWzór|6.13c}} z teorii lagrangianu wychodzi taki sam wniosek co z {{LinkWzór|6.13b}} z teorii ruchu, stąd definitywnie siła uogólniona zewnętrzna w {{LinkWzór|6.49d232}} i {{LinkWzór|6.49d233}} spełnia zasadę addytywności na podstawie wniosku addytywności starej siły uogólnionej zewnętrznej wynikającej z rachunku {{LinkWzór|G1}} (teoria lagrangianu) oraz {{LinkWzór|F5}} (teoria ruchu).

== Zasada zachowania momentu pędu, inne podejście ==
{{Rysunek|Przesunięcie_wektora_o_pewien_odcinek_względem_pewnego_kąta.png|lk1|Obrót wektora o pewien odcinek względem kąta &delta;&phi;}}

By wyprowadzić zasadę zachowania momentu pędu z zasad czysto wariacyjnych należy z rysunku obok napisać pewne tożsamości, co wtedy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość skalarna na nieskończenie małe przesunięcie, które jest iloczynem promienia r, sinusa kąta &theta; i wariacji kata &phi;:
{{CentrujWzór|<MATH>|\delta\vec{r}|=r\sin\theta\delta\delta\phi\;</MATH>|6.50}}
Wektor {{Formuła|<MATH>\delta\vec{r}\;</MATH>}} jest prostopadły do płaszczyzny określonej przez wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\delta\vec{\phi}\;</MATH>}}, wtedy wzór {{LinkWzór|6.51}} możemy zapisać w formie jako iloczyn wektorowy wariacji kąta {{Formuła|<MATH>\vec{\phi}\;</math>}} i wektora promienia {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\delta\vec{r}=\delta\vec{\phi}\times\vec{r}\;</MATH>|6.51}}
Równość {{LinkWzór|6.52}} możemy zróżniczkować obustronnie względem czasu i w ten sposób otrzymać wariację prędkości, która jest równa iloczynowi wektorowemu wariacji kąta {{Formuła|<MATH>\vec{\phi}\;</MATH>}} i prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}\;</MATH>}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\delta\vec{v}=\delta\vec{\phi}\times\vec{v}\;</MATH>|6.52}}
Będziemy tutaj wyprowadzać zasadę zachowania momentu pędu, z warunku, że wariacja lagrangianu jest stała i jest równa zero, tzn. powinno zachodzić:
{{CentrujWzór|<MATH>\delta L=\sum_a\left({{\partial L}\over{\partial\vec{r}_a}}\delta\vec{r}_a+{{\partial L}\over{\partial\vec{v}_a}}\delta\vec{v}_a\right)\;</MATH>|6.53}}
Wykorzystamy teraz wzór {{LinkWzór|6.20}}, a także definicję pędu uogólnionego, a także wzoru na wariację położenia {{LinkWzór|6.51}} i wariację prędkości {{LinkWzór|6.52}}, w ten sposób mamy tożsamość wynikająca z {{LinkWzór|6.53}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\sum_a\left(\dot{p}_a\times(\delta\vec{\phi}\times\vec{r}_a\right)+\vec{p}_a(\delta\vec{\phi}\times\vec{v}_a))=0\;</MATH>|6.54}}
Możemy dokonać cyklicznej zmiany czynników w iloczynach mieszanych występujących we tożsamości {{LinkWzór|6.54}} i wykorzystując równoległość wektora prędkości i pędu w nim:
{{CentrujWzór|<MATH>\delta\vec{\phi}\cdot\sum_a(\vec{r}_a\times\dot{\vec{p}}+\vec{v}_a\times\vec{v})=\delta\vec{\phi}\cdot{{d}\over{dt}}\sum_a(\vec{r}_a\times\vec{p}_a)=0\;</MATH>|6.55}}
Patrząc na równość {{LinkWzór|6.55}} dowiadujemy się, że dla układu odosobnionego pozostaje stała wielkość:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\sum_a(\vec{r}_a\times\vec{p}_a)\;</MATH>|6.56}}
Napiszmy, czemu jest równy moment pędu w  nowym nieporuszającym się układzie odniesienia, jeśli znamy jego odpowiednik w starym układzie odniesienia, gdy moment pędu liczymy względem dwóch różnych początków, wtedy:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=\sum_a(\vec{r}_a^'\times\vec{p}_a^')=\sum_a\vec{r}\times\vec{p}_a-\vec{a}\times\sum_a\vec{p}_a=\vec{N}-\vec{a}\times\vec{P}\;</MATH>|6.57}}
Wyznaczmy czemu jest równy moment pędu w nowym poruszającym się układzie odniesienia względem starego układu odniesienia, gdy moment pędu liczymy względem tego samego początku, ale pędy takich samych punktów masowych są w tych dwóch układach różne ze względu na prędkość nowego układu odniesienia:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=\sum_am_a(\vec{r}_a\times\vec{v}_a)=\sum_am_a(\vec{r}_a\times\vec{v}_a^')-\sum_am_a(\vec{r}_a\times\vec{V})=\vec{N}-\left(\sum_am_a\vec{r}_a\right)\times\vec{V}\;</MATH>|6.58}}
Do wzoru końcowego {{LinkWzór|6.58}} wykorzystamy definicję położenia środka masy poprzez położenia poszczególnych punktów masowych i ich mas {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=\vec{N}-M\vec{R}\times\vec{V}\;</MATH>|6.59}}
Widzimy, że moment pędu układów cząstek w nowym układzie odniesienia jest różnicą momentu pędu względem starego układu odniesienia i momentu pędu środka masy.
*Wyznaczymy teraz definicję zetowego momentu pędu w zależności od lagrangianu L.
Moment pędu zetowy w układzie cylindrycznym przestawiamy:
{{CentrujWzór|<MATH>N_z=\sum_am_a(x_a\dot{y}_a-y_a\dot{x}_a)=\sum_a m_ar_a^2\dot{\theta}_a\;</MATH>|6.60}}
Lagrangian w układzie cylindrycznym przestawiamy poprzez definicję energii kinetycznej w tym układzie i energii potencjalnej:
{{CentrujWzór|<MATH> L={{1}\over{2}}\sum_am_a(\dot{r}_a^2+r_a^2\dot{\theta}_a^2+\dot{z}_a^2)-U\;</MATH>|6.61}}
Patrząc na definicję momentu lagrangianu zapisanej w układzie cylindrycznym {{LinkWzór|6.61}}, wtedy moment sił zetowy {{LinkWzór|6.60}} możemy zapisać jako:
{{CentrujWzór|<MATH>N_z=\sum_a{{\partial  L}\over{\partial\dot{\theta}_a}}\;</MATH>|6.62}}

== Masa zredukowana układu dwóch cząstek ==
Lagrangian układu dwóch mas znajdujących się wzajemnym polu potencjalnym określamy jako różnicę energii kinetycznej dla dwóch mas i energii potencjalnej:
{{CentrujWzór|<MATH>L={{1}\over{2}}m_1\dot{\vec{r}}_1+{{1}\over{2}}m_1\dot{\vec{r}}_2-U(|\vec{r}_1-\vec{r}_2|)\;</MATH>|6.63}}
Zakładając, że środek mas znajduje się w środku układu współrzędnych, to ich położenie względne masy pierwszej względem drugiej i z definicji środka masy, mamy dwa równania:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{r}_1-\vec{r}_2\;</MATH>|6.64}}|2={{CentrujWzór|<MATH>0=m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2\;</MATH>|6.65}}}}
Z równań {{LinkWzór|6.64}} i {{LinkWzór|6.65}} możemy otrzymać położenia poszczególnych mas znając położenie względne masy pierwszej względem drugiej:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}_1={{m_2}\over{m_1+m_2}}\vec{r}\;</MATH>|6.66}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}_2=-{{m_1}\over{m_1+m_2}}\vec{r}\;</MATH>|6.67}}}}
Wzory na poszczególne położenia mas w układzie środka masy, tzn. {{LinkWzór|6.66}} i {{LinkWzór|6.67}} podstawiamy do definicji Lagrangianu dla tychże mas {{LinkWzór|6.63}}:
{{CentrujWzór|<MATH>L={{1}\over{2}}m_1{{m_2^2}\over{(m_1+m_2)^2}}\dot{\vec{r}}^2+{{1}\over{2}}m_2{{m_1^2}\over{(m_1+m_2)^2}}\dot{\vec{r}}^2-U(|\vec{r}_1-\vec{r}_2|)={{1}\over{2}}{{m_1m_2}\over{m_1+m_2}}\dot{\vec{r}}^2-U(r)={{1}\over{2}}m\dot{\vec{r}}-U(r)</MATH>|6.68}}
W obliczeniach {{LinkWzór|6.68}} wprowadziliśmy '''masę zredukowaną''':
{{CentrujWzór|<MATH>m={{m_1m_2}\over{m_1+m_2}}\;</math>|6.69}}
Widzimy, że wprowadzając pojęcie masy zredukowanej możemy formalnie opisywać ruch ciała o masie m w polu zewnętrznym U(r) względem nieruchomego układu współrzędnych.

<noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>