Tekst źródłowy strony Mechanika kwantowa/Zakaz Pauliego dla układu wielu cząstek

<noinclude><!--
-->{{SkomplikowanaStronaStart<!--
      -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!--
-->}}</noinclude>

== Układy nierozróżnialnych cząstek kwantowych jednakowego rodzaju ==
Według mechaniki klasycznej dwie cząstki należące do układu są rozróżnialne, nawet gdy są to cząstki jednakowego rodzaju. W mechanice kwantowej dwie jednakowe cząstki nie są rozróżnialne. Nawet wtedy, gdy początkowo funkcje falowe nie pokrywają się ze sobą (cząstki są odseparowane), po pewnym czasie te owe funkcje mogą się pokryć i ta nierozróżnialność ma sens.

=== Przypadek układu dwóch cząstek kwantowych ===
Niech nasz Hamiltonian dla układu dwóch cząstek będzie:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}={{\left(\hat p_1-q\vec A_1\right)^2}\over{2m_q}}+{{\left(\hat p_2-q\vec A_2\right)^2}\over{2m_q}}+{{q^2}\over{4\pi\epsilon_0|\vec r_1-\vec r_2|}}+{{qQ}\over{4\pi\epsilon_0 r_{1}}}+{{qQ}\over{4\pi\epsilon_0 r_2}}\;</MATH>|15.1}}
Równanie falowe dla dwóch różnych cząstek przyjmuje kształt:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}(1,2)\psi(1,2)=E\psi(1,2)\;</MATH>|15.2}}
Dokonajmy przedstawienia współrzędnych obu cząstek w równania własnym dla dwóch cząstek w {{LinkWzór|15.2}}, otrzymujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}(2,1)\psi(2,1)=E\psi(2,1)\;</MATH>|15.3}}
Ponieważ Hamiltonian {{LinkWzór|15.1}} jest symetryczny względem zamiany miejscami dwóch cząstek, to mamy:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}(1,2)=\hat{H}(2,1)\;</MATH>|15.4}}
To równanie własne {{LinkWzór|15.3}} na podstawie własności {{LinkWzór|15.4}} przyjmuje postać:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}(1,2)\psi(2,1)=E\psi(2,1)\;</MATH>|15.5}}
Wprowadźmy operator wymiany cząstek, który zamienia miejscami współrzędne dwóch cząstek i jak się przekonamy istnieją dwa rodzaje funkcji, które napiszemy jako funkcję symetryczną i antysymetryczną. Działanie operatora wymiany cząstek piszemy:
{{CentrujWzór|<MaTH>\hat{P}\psi(1,2)=\psi(2,1)\;</MAtH>|15.6}}
Podziałajmy obustronnie równanie {{LinkWzór|15.6}} jeszcze raz operatorem wymiany cząstek, w tym celu jeszcze raz skorzystamy z równania ostatnio wspomnianego:
{{CentrujWzór|<math>\hat{P}^2\psi(1,2)=\hat{P}\psi(2,1)\Rightarrow \hat{P}^2\psi(1,2)=\psi(1,2)\;</Math>|15.7}}
Na podstawie {{LinkWzór|15.7}} dla dowolnych funkcji {{LinkWzór|15.7}} kwadrat operatora wymiany cząstek jest operatorem tożsamościowym:
{{CentrujWzór|<math>\hat{P}^2=\hat{I}\;</math>|15.8}}
W celu wyznaczenia wartości własnych operatora wymiany cząstek {{Formuła|<MATH>\hat{P}\;</MATH>}}, napiszmy równanie własne operatora wymiany cząstek dla dwóch cząstek:
{{CentrujWzór|<math>\hat{P}\psi(1,2)=\pi\psi(1,2)\;</MAtH>|15.9}}
Podziałajmy obustronnie równanie własne {{LinkWzór|15.9}} operatorem {{Formuła|<math>\hat{P}\;</MATH>}} i jeszcze raz skorzystajmy z równania {{LinkWzór|15.9}}, a także z tożsamości {{LinkWzór|15.8}}, zatem:
{{CentrujWzór|<maTh>\hat{P}^2\psi(1,2)=\hat{P}\pi\psi(1,2)\Rightarrow \psi(1,2)=\pi\hat{P}\psi(1,2)\Rightarrow\psi(1,2)=\pi^2\psi(1,2)\;</Math>|15.10}}
Aby powyższe równanie wynikowe było tożsamością dla dowolnego {{Formuła|<MATH>\psi(1,2)\;</Math>}}, to kwadrat liczby {{Formuła|<Math>\pi\;</MATH>}} musi być jeden, czyli:
{{CentrujWzór|<MAth>\pi^2=1\;</math>|15.11}}
Z równości {{LinkWzór|15.11}} wynika, że:
{{CentrujWzór|<MATH>\pi=-1,1\;</MATH>|15.12}}
Wartością własną operatora wymiany cząstek jest wartość minus jeden lub plus jeden. Mamy dwa stany symetryczny i antysymetryczny, dla tych stanów, w celu odróżnienia dwóch rodzajów funkcji, funkcję {{Formuła|<MATH>\psi_S(1,2)\;</Math>}} nazwijmy funkcją symetryczną, a funkcję {{Formuła|<MATH>\psi_A(1,2)\;</Math>}} nazwijmy funkcją asymetryczną, działanie operatora wymiany cząstek na te dwie rodzaje funkcji, które wspomnieliśmy, są napisane:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\hat{P}\psi_S(1,2)=\psi_S(1,2)\;</MATH>|15.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\hat{P}\psi_A(1,2)=-\psi_A(1,2)\;</MATH>|15.14}}}}
Teraz zbudujmy funkcję falową całkowicie symetryczną i całkowicie antysymetryczną, stąd można powiedzieć, że te funkcje wyglądają:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi_S(1,2)={{1}\over{\sqrt{2}}}\left\{\psi(1,2)+\psi(2,1)\right\}\;</MATH>|15.15}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_A(1,2)={{1}\over{\sqrt{2}}}\left\{\psi(1,2)-\psi(2,1)\right\}\;</MATH>|15.16}}}}
Operator wymiany współrzędnych (cząstek) {{Formuła|<MATH>\hat{P}\;</MaTH>}}, którego równanie własne jest {{LinkWzór|15.9}} przy wartościach własnych {{LinkWzór|15.12}} komutuje z Hamiltonianem, jeśli nasz komutator jest symetryczny względem wymiany cząstek wedle {{LinkWzór|15.4}}, a oto jego dowód:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{P}\hat{H}(1,2)\psi(1,2)=\hat{H}(2,1)\psi(2,1)=\hat{H}(1,2)\psi(2,1)=\hat{H}(1,2)\hat{P}\psi(1,2)\;</MATH>|15.17}}
A zatem na podstawie {{LinkWzór|15.17}} mamy związek komutacyjny:
{{CentrujWzór|<MATH>[\hat{P},\hat{H}]=0\;</MATH>|15.18}}
Na podstawie wzoru Ehrenfesta {{LinkWzór|12.4|Równanie_Ehrenfesta}} średnia wartość operatora wymiany współrzędnych jest zachowana, jeśli jest spełniona komutacja między operatorem wymiany współrzędnych, a operatorem energii całkowitej wedle tożsamości komutacyjnej {{LinkWzór|15.18}}, przy wspomnianych powyżej warunkach.

=== Przypadek układu ''' n ''' cząstek kwantowych ===
Rozważmy hamiltonian dla n cząstek jednakowych w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}=\sum_i{{\left(\hat p_i-q\vec A_i\right)^2}\over{2m_q}}+\sum_{i<j}{{q^2}\over{4\pi\epsilon_0|\vec r_i-\vec r_j|}}+\sum_{i}{{qQ_i}\over{4\pi\epsilon_0r_i}}\;</MATH>|Hamiltonian n-cząstek}}
Rozważmy funkcję falową n cząstek, zamiana miejscami dwóch cząstek z układu cząstek, która powinna zmienić najwyżej tylko znak funkcji lub pozostawiać bez zmiany znaku:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(1,3,2,..,n)=\pm\psi(1,2,3,..,n)\;</MATH>|15.19}}
Rozważmy przypadek, że zamiana cząstek jeden i trzy, to jego funkcja falowa nie zmienia znaku, a zamiana dwa i trzy zmienia znak jego funkcja falowa, zatem jeśli mamy, w pierwszym przypadku:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(1,2,3,...,n)=-\psi(1,3,2,...,n)=-\psi(3,1,2,...,n)=\psi(2,1,3,..,n)\;</MATH>|15.20}}
W drugim przypadku:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(1,2,3,...,n)=\psi(3,2,1,...,n)=-\psi(2,3,1,...,n)=-\psi(2,1,3,...,n)\;</MATH>|15.21}}
A zatem dochodzimy do sprzeczności. Takiej sprzeczności nie będzie, jeśli funkcja będzie całkowicie symetryczna lub całkowicie antysymetryczna.
Dla układu n jednakowych i nieoddziaływających cząstek obsadzających n różnych stanów kwantowych {{Formuła|<MATH>\{\alpha_i\}\;</MATH>}} można utworzyć dużo funkcji całkowicie symetrycznych, ale jedną tylko  funkcję antysymetryczną. Funkcje taką można zapisać za pomocą wyznacznika:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi_a(1,2,...,n)={{1}\over{\sqrt{n!}}}\begin{vmatrix}
\psi_{\alpha_1}(1)&\psi_{\alpha_2}(1)&\cdots&\psi_{\alpha_n}(1)\\
\psi_{\alpha_1}(2)&\psi_{\alpha_2}(2)&\cdots&\psi_{\alpha_n}(2)\\
\vdots&\vdots&\ddots\vdots\\
\psi_{\alpha_1}(n)&\psi_{\alpha_2}(n)&\cdots&\psi_{\alpha_n}(n)
\end{vmatrix}\;</MATH>|15.22}}

<noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>