Tekst źródłowy strony Mechanika kwantowa/Wyprowadzenie operatora hamiltonianu relatywistycznej teorii kwantów Diraca

<noinclude><!--
-->{{SkomplikowanaStronaStart<!--
      -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!--
-->}}</noinclude>

Przedstawmy równania mechaniki kwantowej relatywistycznej Diraca. Poniższy wywód ma na celu wprowadzenie równań mechaniki kwantowej relatywistycznych Diraca.
Głównym zarzutem do relatywistycznych  równań Kleina-Gordona w postaci zależnej i niezależnej od czasu polegał na zakwestionowaniu postaci kwadratowej równań relatywistycznej mechaniki kwantowej:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}^2\psi=E^2\psi</MATH>|25.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>(i\hbar)^2{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=\hat{H}^2\psi</MATH>|25.2}}}}
A zamiast równań {{LinkWzór|25.1}} (równania niezależnego od czasu) i {{LinkWzór|25.2}} (równania zależnego od czasu) należy włożyć natomiast równania, w których operator całkowitej energii cząstki jest w potędzie pierwszej:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}\psi=E\psi</MATH>|25.3}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}\psi=i\hbar{{\partial\psi}\over{\partial t}}</MATH>|25.4}}}}
Chcemy napisać równanie kwantowe relatywistyczne  w analogii do równania {{LinkWzór|24.1|Relatywistyczna_teoria_kwantów_Kleina-Gordona}}, wychodząc z wyrażenia na energię relatywistyczną cząstki, znana w szczególnej teorii względności jako związek energii relatywistycznej związaną z jej wartością pędu i masą spoczynkową cząstki (antycząstki), wiedząc jednocześnie, że antycząstki mają masę relatywistyczną ujemną w stosunku do cząstek, które mają dodatnią, mające ten sam pęd, co wynika z warunku linearyzacji hamiltonianu, a więc energia cząstki (z plusem) lub antycząstki (z minusem):
{{CentrujWzór|<MATH>E=\pm\sqrt{c^2p^2+m_0^2c^4}</MATH>|25.5}}

== Linearyzacja Hamiltonianu ==
Będziemy tutaj przeprowadzać linearyzację operatora energii relatywistycznej bez uwzględnienia pola magnetycznego i z uwzględnieniem pola magnetycznego.

=== Linearyzacja operatora energii relatywistycznej bez uwzględnienia pola magnetycznego ===
Zastępując w {{LinkWzór|25.5}} kwadrat wektora pędu przez kwadrat operatora pędu, wtedy możemy określić operator Hamiltonianu:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}=\pm\sqrt{c^2\hat{p}^2+m_0^2c^4}</MATH>|25.6}}
Dokonajmy linearyzacji Hamiltonianu {{LinkWzór|25.6}} zastępując przez inny zmodyfikowany operator energii, który posiada takie same wartości i funkcje własne jak operator poprzedni:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat H=c\hat{\alpha}\hat{p}+m_0c^2\hat{\beta}</MATH>|25.7}}
Wartości własne i funkcje własne operatora hamiltonianu {{LinkWzór|25.7}} są takie same jak dla {{LinkWzór|25.6}}, zaraz to wyjaśnimy. Równania własne hamiltonianów {{LinkWzór|25.6}} i {{LinkWzór|25.7}} są w pewnej postaci, a jeżeli podziałamy obie strony operatorem energii pierwszego równania na obie strony pierwszego równania, podobnie z drugim równaniem, to otrzymamy równania własne kwadratu operatorów hamiltonianów. Stąd wartości własne i funkcje własne dla operatorów {{LinkWzór|25.6}} i {{LinkWzór|25.7}} są takie same, bo zakładamy, że kwadraty tychże operatorów są sobie równe.

Podnosimy wzory operatorowe {{LinkWzór|25.6}} i {{LinkWzór|25.7}} do kwadratu, to wtedy oba operatory po tej czynności są sobie równe, wtedy możemy otrzymać pewne związki operatorowe na operatorach {{Formuła|<MATH>\hat{\alpha}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat{\beta}\;</MATH>}}, a także z operatorami pędu, po zrobieniu tej operacji otrzymujemy tożsamość operatorową:
{{CentrujWzór|<MATH>c^2\hat{p}^2+m_0^2c^4=c^2(\alpha\hat{p})^2+m_0^2c^4\hat{\beta}^2+m_0c^3(\hat{\alpha}\hat{p})\hat{\beta}+m_0c^3\hat{\beta}(\hat{\alpha}\hat{p})</MATH>|25.8}}
Ponieważ prawa i lewa strona tożsamości {{LinkWzór|25.8}} oznacza to samo wyrażenie operatorowe, więc możemy je porównać, by otrzymać jakie związki operatorowe zachodzą, zatem porównujemy prawą i lewą stronę prawdziwej tożsamości wspomnianej tożsamości, ostatecznie otrzymujemy:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\hat{p}^2=(\hat{\alpha}\hat{p})^2</MATH>|25.9}}|2={{CentrujWzór|<MATH>1=\hat{\beta}^2</MATH>|25.10}}|3={{CentrujWzór|<MATH>0=(\alpha\hat{p})\hat{\beta}+\hat{\beta}(\hat{\alpha}\hat{p})</MATH>|25.11}}}}
Równanie operatorowe {{LinkWzór|25.9}} możemy rozpisać, wykonując po prawej jego stronie pod potęgowanie, rozpisując coś w rodzaju iloczynu skalarnego, ale to wyrażenie nim nie jest, w postaci kwadratu sumy iloczynów odpowiednich współrzędnych operatora {{Formuła|<MATH>\hat{\alpha}\;</MATH>}} i odpowiednich operatorów pędu:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{p}^2=\hat{p}_x^2+\hat{p}_y^2+\hat{p}_z^2=(\hat{\alpha}_x \hat{p}_x+\hat{\alpha}_y \hat{p}_y+\hat{\alpha}_z\hat{p}_z)^2</MATH>|25.12}}
Wykonujemy działania związane z podnoszeniem do drugiej potęgi prawej strony tożsamości {{LinkWzór|25.12}} i wykonując je na operatorach:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{p}^2=\hat{p}_x^2+\hat{p}_y^2+\hat{p}_z^2=
\hat{\alpha}_x^2\hat{p}_x^2+\hat{\alpha}_y^2\hat{p}_y^2+\hat{\alpha}_z^2\hat{p}_z^2+\alpha_x\alpha_yp_xp_y+\alpha_y\alpha_x\hat{p}_y\hat{p}_x+\hat{\alpha}_x\hat{\alpha}_z \hat{p}_x\hat{p}_y+\hat{\alpha}_z\hat{\alpha}_x\hat{p}_y\hat{p}_z+\hat{\alpha}_y\hat{\alpha}_z \hat{p}_y\hat{p}_z+\hat{\alpha}_z\hat{\alpha}_y\hat{p}_z\hat{p}_y</MATH>|25.13}}
Po dalszych przekształceniach {{LinkWzór|25.13}}, korzystając z definicji antykomutatorów grupując odpowiednie wyrazy występujące w nim:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{p}^2=\hat{p}_x^2+\hat{p}_y^2+\hat{p}_z^2=\hat{\alpha}_x^2\hat{p}_x^2+\hat{\alpha}_y^2\hat{p}_y^2+\hat{\alpha}_z^2\hat{p}_z^2+\{\alpha_x,\alpha_y\}\hat{p}_x\hat{p}_y+\{\hat{\alpha}_x,\hat{\alpha}_z\} \hat{p}_x\hat{p}_y+\{\hat{\alpha}_y,\hat{\alpha}_z\}\hat{p}_y\hat{p}_x</MATH>|25.14}}
Porównujemy lewą i prawą stronę tożsamości operatorowej {{LinkWzór|25.14}}, otrzymujemy, że kwadrat współrzędnych operatora {{Formuła|<math>\hat{\alpha}\;</MATH>}} jest równy jedynce, czyli:
{{CentrujWzór|<MATH>\alpha^2_x=\alpha^2_y=\alpha_z^2=1</MATH>|25.15}}
a także wychodzą definicję antykomutatorów napisanych za pomocą współrzędnych operatora {{Formuła|<MATH>\hat{\alpha}\;</MATH>}}:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\{\alpha_x,\alpha_y\}=0\;</MATH>|25.16}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\{\alpha_y,\alpha_z\}=0\;</MATH>|25.17}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\{\alpha_x,\alpha_z\}=0\;</MATH>|25.18}}}}
Lub ogólnie można zapisać wykorzystując {{LinkWzór|25.15}}, a także działania na antykomutatorach {{LinkWzór|25.16}}, {{LinkWzór|25.17}} oraz {{LinkWzór|25.18}}, wykorzystując te wszystkie wymienione związki, możemy zapisać ogólną tożsamość operatorową:
{{CentrujWzór|<MATH>\{\alpha_i,\alpha_j\}=2\delta_{ij}\;</MaTh>|25.19}}
Natomiast wiemy, że zachodzi {{LinkWzór|25.10}}, oraz wiemy, że operatory współrzędnych pędu {{Formuła|<MATH>\hat{p}_i</MATH>}} i operator {{Formuła|<MATH>\hat{\beta}</MATH>}} komutują ze sobą. zatem możemy dojść do wniosku:
{{CentrujWzór|<MATH>\{\alpha\hat{p},\hat{\beta}\}=0\Rightarrow\{\alpha_i,\hat{\beta}\}=0\mbox{ i=x,y,z}</MATH>|25.20}}
Z tożsamości {{LinkWzór|25.10}} możemy dojść do wniosku, że to równanie możemy zapisać w postaci operatorowej, którego pokrótce udowodnimy:
{{CentrujWzór|<MATH>(\hat{\beta}-1)(\hat{\beta}+1)=0\;</MATH>|25.21}}
A oto dowód tożsamości {{LinkWzór|25.21}}, gdy zachodzi {{LinkWzór|25.10}}, udowodnimy, że te równości oznaczają to samo:
{{CentrujWzór|<MATH>(\beta-1)(\beta+1)=\hat{\beta}^2+\beta-\beta-1=0</MATH>|25.22}}
Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|25.22}} wychodząc z {{LinkWzór|25.21}} dochodzimy do tożsamości operatorowej {{LinkWzór|25.10}}.
Co oznacza, że wartościami własnymi operatora {{Formuła|<MATH>\hat{\beta}</MATH>}} według równości operatorowej {{LinkWzór|25.21}} są jego wartości własne w postaci liczb 1 oraz -1.
Również operatory {{Formuła|<MATH>\hat{\alpha}_i</MATH>}}, dla których zachodzi {{LinkWzór|25.15}}, podobnie jak przy {{Formuła|<MATH>\hat{\beta}\;</MATH>}} posiadają one wartości własne równe 1 lub -1, bowiem można je zapisać w postaci podobnej do {{LinkWzór|25.21}}, tylko zamiast operatora {{Formuła|<MATH>\hat{\beta}\;</MATH>}} występują odpowiednie współrzędne operatora {{Formuła|<MATh>\hat{\alpha}\;</math>}}, zatem każda taka współrzędna tego operatora ma takie same wartości własne.

=== Linearyzacja operatora energii relatywistycznej z uwzględnieniem pola magnetycznego ===
Napiszmy wzór na energię relatywistyczną zastępując pęd klasyczny w {{LinkWzór|25.5}} przez różnicę pędu uogólnionego i iloczynu ładunku elektrycznego i potencjału magnetycznego, wtedy:
{{CentrujWzór|<MATH>E_r=\pm\sqrt{c^2(\vec p-q\vec A)^2+m_0^2c^4}\;</MATH>|25.5a}}
Zastępując w {{LinkWzór|25.5a}} wektora pędu uogólnionego przez operatora pędu, wtedy możemy określić operator energii relatywistycznej cząstki:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat E_r=\pm\sqrt{c^2(\hat p-q\vec A)^2+m_0^2c^4}\;</MATH>|25.5b}}
Dokonajmy linearyzacji Hamiltonianu {{LinkWzór|25.5b}} zastępując go przez zmodyfikowaną wersję tego operatora posiadającego takie same wartości i funkcje własne:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat E_r=c\hat \alpha(\hat p-q\vec A)+m_0c^2\hat\beta^'\;</MATH>|25.5c}}
Wartości własne i funkcje własne operatora hamiltonianu {{LinkWzór|25.5c}} są takie same jak dla {{LinkWzór|25.5b}}, zaraz to wyjaśnimy. Równania własne operatorów energii relatywistycznej {{LinkWzór|25.5b}} i {{LinkWzór|25.5c}} są w postaci {{Formuła|<MATH>\hat E_r\psi=E_r\psi\;</MATH>}}, a jeżeli podziałamy obie strony operatorem {{Formuła|<MATH>\hat E_r\;</MATH>}} tych równań własnych, to otrzymamy równania własne kwadratów operatora energii relatywistycznych, które są takie same, bo kwadrat operatora {{LinkWzór|25.5b}} jest równy kwadratowi operatora {{LinkWzór|25.5c}} jak zakładamy. Stąd wartości własne i funkcje własne dla operatorów {{LinkWzór|25.5b}} i {{LinkWzór|25.5c}} są takie same.
Przyrównujemy kwadrat operatora {{LinkWzór|25.5b}} z {{LinkWzór|25.5c}}, by otrzymać pewne związki operatorowe na operatorach {{Formuła|<MATH>\hat\alpha\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat\beta^'\;</MATH>}}, a także operatorze pędu, po zrobieniu tej operacji otrzymujemy tożsamość operatorową:
{{CentrujWzór|<MATH>c^2(\hat p-q\vec A)^2+m_0^2c^4=c\hat \alpha(\hat p-q\vec A)c\hat \alpha(\hat p-q\vec A)+m_0^2c^4\hat\beta^{'2}+m_0c^2c\hat \alpha(\hat p-q\vec A)\hat\beta^'+m_0c^2\hat\beta^' c\hat \alpha(\hat p-q\vec A)\;</MATH>|25.5d}}
Dokonajmy dalszych obliczeń na wyrażeniu operatorowym w tożsamości operatorowej {{LinkWzór|25.5d}}:
{{CentrujWzór|<MATH>c\hat \alpha(\hat p-q\vec A)c\hat \alpha(\hat p-q\vec A)+m_0^2c^4\hat\beta^{'2}+m_0c^2c\hat \alpha(\hat p-q\vec A)\hat\beta^'+m_0c^2\hat\beta^' c\hat \alpha(\hat p-q\vec A)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=
c\hat \alpha(\hat p-q\vec A)c\hat \alpha(\hat p-q\vec A)+m_0^2c^4\hat\beta^{'2}+
\left[m_0c^3\left(\hat \alpha\hat\beta^'+\hat\beta^'\hat\alpha\right)\left(\hat p-q\vec A\right)\right]+m_0c^3\hat\alpha(\hat p\hat \beta^')\;</MATH>|25.5e}}

==== Definicja operatorów &sigma;{{Sub|i}} ====
Niech będą zdefiniowane nowe operatory {{Formuła|<MATH>\hat{\sigma}\;</MATH>}}, który ma odpowiednie trzy współrzędne, które zapisujemy za pomocą współrzędnych operatora {{Formuła|<MATH>\hat{\alpha}\;</MATH>}}:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\hat{\sigma}_x=-i\hat{\alpha}_y\hat{\alpha}_z</MATH>|25.29}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\hat{\sigma}_y=-i\hat{\alpha}_z\hat{\alpha}_x</MATH>|25.30}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\hat{\sigma}_z=-i\hat{\alpha}_x\hat{\alpha}_y</MATH>|25.31}}}}

==== Przedstawienie w postaci wektorowej operatorów &sigma;{{Sub|i}} w zależności od iloczynu wektorowego dwóch takich samych wektorów &alpha; zbudowanej jako wektor operatorów &alpha;{{Sub|i}} ====
Wyznaczmy czemu jest równy operator {{Formuła|<MATH>\hat{\sigma}\;</MATH>}} przy pomocy operatora {{Formuła|<MATH>\hat{\alpha}\;</Math>}}, dowiemy się, że on jest równy iloczynowi wektorowemu dwóch takich samych operatorów {{Formuła|<MaTH>\hat{\alpha}\;</MATH>}} wiedząc jednocześnie, że współrzędne omawianego operatora są współrzędnymi nieprzemiennymi, Jeśli definicję {{Formuła|<MATH>\hat{\sigma}\;</MATH>}} przedstawimy jako:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat\sigma=-{{i}\over{2}}\vec e_s\epsilon_{sjk}\alpha_j\alpha_k=-{{i}\over{2}}\hat{\alpha}\times\hat{\alpha}\;</MATH>|25.51}}
to jego współrzędne naszego operatora przedstawimy wedle:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{\sigma}=-{{i}\over{2}}\begin{bmatrix}
\hat{\alpha}_y\hat{\alpha}_z-\hat{\alpha}_z\hat{\alpha}_y\\
\hat{\alpha}_z\hat{\alpha}_x-\hat{\alpha}_x\hat{\alpha}_z\\
\hat{\alpha}_x\hat{\alpha}_y-\hat{\alpha}_y\hat{\alpha}_x\end{bmatrix}=-{{i}\over{2}}\begin{bmatrix}
2\hat{\alpha}_y\hat{\alpha}_z\\
2\hat{\alpha}_z\hat{\alpha}_x\\
2\hat{\alpha}_x\hat{\alpha}_y
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-i\hat{\alpha}_y\hat{\alpha}_z\\
-i\hat{\alpha}_z\hat{\alpha}_x\\
-i\hat{\alpha}_x\hat{\alpha}_y
\end{bmatrix}\;</MATH>|25.52}}

==== Macierzowe przedstawienie operatorów &beta;, &alpha;{{Sub|x}}, &alpha;{{Sub|y}} i &alpha;{{Sub|z}} ====
Napiszmy wzór na operator {{Formuła|<MATH>\hat\beta\;</MATH>}} w zależności od macierzy jednostkowej {{Formuła|<MATH>I\;</MATH>}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{\beta}=\begin{pmatrix}
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&-1&0\\
0&0&0&-1
\end{pmatrix}=\begin{bmatrix}I&0\\0&-I\end{bmatrix}</MATH>|25.170}}
Oraz napiszmy operatory {{Formuła|<MATH>\hat{\alpha}</MATH>}}, a właściwie jego współrzędne, które przedstawiamy w postaci trzech składowych wiedząc, że zachodzi {{LinkWzór|14.55|Cząstki o spinie połówkowym}} ({{Formuła|<MATH>\sigma_x\;</MATH>}}), {{LinkWzór|14.56|Cząstki o spinie połówkowym}} ({{Formuła|<MATH>\sigma_y\;</MATH>}}) i {{LinkWzór|14.57|Cząstki o spinie połówkowym}} ({{Formuła|<MATH>\sigma_z\;</MATH>}}):
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\hat{\alpha}_x=\begin{pmatrix}
0&0&0&1\\
0&0&1&0\\
0&1&0&0\\
1&0&0&0
\end{pmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\begin{bmatrix}0&\sigma_x\\\sigma_x&0\end{bmatrix}</MATH>|25.171}}
|2={{CentrujWzór|<MATH>\hat{\alpha}_y=\begin{pmatrix}
0&0&0&-i\\
0&0&i&0\\
0&-i&0&0\\
i&0&0&0
\end{pmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\begin{bmatrix}0&\sigma_y\\\sigma_y&0\end{bmatrix}</MATH>|25.172}}
|3={{CentrujWzór|<MATH>\hat{\alpha}_z=\begin{pmatrix}
0&0&1&0\\
0&0&0&-1\\
1&0&0&0\\
0&-1&0&0
\end{pmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\begin{bmatrix}0&\sigma_z\\\sigma_z&0\end{bmatrix}</MATH>|25.173}}}}
Na podstawie {{LinkWzór|25.171}}, {{LinkWzór|25.172}} i {{LinkWzór|25.173}} możemy napisać ogólną postać na operator {{Formuła|<MATH>\hat\alpha_i\;</MATH>}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{\alpha}_i=\begin{bmatrix}0&\sigma_i\\\sigma_i&0\end{bmatrix}</MATH>|25.173a}}

==== Macierzowe przedstawienie operatorów &sigma;{{Sub|x}}, &sigma;{{Sub|y}} i &sigma;{{Sub|z}} ====
Mając definicje odpowiednich współrzędnych operatora {{Formuła|<MATH>\hat{\alpha}\;</MATH>}} wyprowadzimy operatory {{Formuła|<MATH>\hat{\sigma}\;</MATH>}}, które zdefiniowaliśmy w {{LinkWzór|25.29}}, {{LinkWzór|25.30}} i {{LinkWzór|25.31}}. Wyprowadzając najpierw operator {{Formuła|<MATh>\hat{\sigma}_x\;</MATH>}} z pierwszego wspomnianego wzoru wiedząc, że zachodzi {{LinkWzór|14.55|Cząstki o spinie połówkowym}} ({{Formuła|<MATH>\sigma_x\;</MATH>}}):
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{\sigma}_x=-i\begin{pmatrix}
0&0&0&-i\\
0&0&i&0\\
0&-i&0&0\\
i&0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0&0&1&0\\
0&0&0&-1\\
1&0&0&0\\
0&-1&0&0
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0&1&0&0\\
1&0&0&0\\
0&0&0&1\\
0&0&1&0
\end{pmatrix}=\begin{bmatrix}\sigma_x&0\\0&\sigma_x\end{bmatrix}
</MATH>|25.174}}
Policzmy {{Formuła|<MATH>\hat{\sigma}_y\;</MATH>}} ze wzoru {{LinkWzór|25.30}} znając definicję współrzędnych operatora {{Formuła|<MATH>\hat{\alpha}\;</MATH>}} iksowej i zetowej wiedząc, że zachodzi {{LinkWzór|14.56|Cząstki o spinie połówkowym}} ({{Formuła|<MATH>\sigma_y\;</MATH>}}):
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{\sigma}_y=-i\begin{pmatrix}
0&0&1&0\\
0&0&0&-1\\
1&0&0&0\\
0&-1&0&0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0&0&0&1\\
0&0&1&0\\
0&1&0&0\\
1&0&0&0
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0&-i&0&0\\
i&0&0&0\\
0&0&0&-i\\
0&0&i&0
\end{pmatrix}=\begin{bmatrix}\sigma_y&0\\0&\sigma_y\end{bmatrix}
</MATH>|25.175}}
Wyznaczmy {{Formuła|<MATH>\hat{\sigma}_z\;</MATH>}} ze wzoru {{LinkWzór|25.31}} znając definicję współrzędnych operatora {{Formuła|<MATH>\hat{\alpha}\;</MATH>}} iksową i igrekową,  można powiedzieć wiedząc, że zachodzi {{LinkWzór|14.57|Cząstki o spinie połówkowym}} ({{Formuła|<MATH>\sigma_z\;</MATH>}}):
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{\sigma}_z=-i\begin{pmatrix}
0&0&0&1\\
0&0&1&0\\
0&1&0&0\\
1&0&0&0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0&0&0&-i\\
0&0&i&0\\
0&-i&0&0\\
i&0&0&0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1&0&0&0\\
0&-1&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&-1
\end{pmatrix}=\begin{bmatrix}\sigma_z&0\\0&\sigma_z\end{bmatrix}
</MATH>|25.176}}
Na podstawie {{LinkWzór|25.174}}, {{LinkWzór|25.175}} i {{LinkWzór|25.176}} możemy napisać również ogólną tożsamość na operator {{Formuła|<MATH>\hat\sigma_i\;</MATH>}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat\sigma_i=\begin{bmatrix}\sigma_i&0\\0&\sigma_i\end{bmatrix}\;</MATH>|25.17y}}

==== Komutacja operatorów &alpha;{{Sub|i}} ====
Mamy sobie przyrównanie {{LinkWzór|25.173a}} zbadajmy czemu jest równy komutator dwóch operatorów {{Formuła|<MATH>\hat\alpha</MATH>}} na podstawie {{LinkWzór|14.8|Cząstki o spinie połówkowym}} i {{LinkWzór|25.17y}}:
{{CentrujWzór|<MATH>[\hat\alpha_i,\hat\alpha_j]=\hat\alpha_i\hat\alpha_j-\hat\alpha_j\hat\alpha_i=\begin{pmatrix}0&\sigma_i\\\sigma_i&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&\sigma_j\\\sigma_j&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&\sigma_j\\\sigma_j&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&\sigma_i\\\sigma_i&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sigma_i\sigma_j&0\\0&\sigma_i\sigma_j\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\sigma_j\sigma_i&0\\0&\sigma_j\sigma_i\end{pmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\begin{pmatrix}[\sigma_i,\sigma_j]&0\\0&[\sigma_i,\sigma_j]\end{pmatrix}=2i\epsilon_{ijk}\begin{pmatrix}\sigma_k&0\\0&\sigma_k\end{pmatrix}=2i\epsilon_{ijk}\hat\sigma_k\;</MATH>|25.176d1}}
Na podstawie {{LinkWzór|25.176d1}} możemy napisać komutacje dwóch dowolnych operatorów {{Formuła|<MATH>\hat\alpha_i\;</MATH>}} w sposób:
{{CentrujWzór|<MATH>[\hat\alpha_i,\hat\alpha_j]=2i\epsilon_{ijk}\hat\sigma_k</MATH>|25.176d2}}

==== Antykomutacja operatorów &alpha;{{Sub|i}} ====
Mamy sobie przyrównanie {{LinkWzór|25.173a}} zbadajmy czemu jest równy antykomutator dwóch operatorów {{Formuła|<MATH>\hat\alpha</MATH>}} na podstawie {{LinkWzór|O1|Cząstki o spinie połówkowym}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\{\hat\alpha_i,\hat\alpha_j\}=\hat\alpha_i\hat\alpha_j+\hat\alpha_j\hat\alpha_i=\begin{pmatrix}0&\sigma_i\\\sigma_i&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&\sigma_j\\\sigma_j&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&\sigma_j\\\sigma_j&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&\sigma_i\\\sigma_i&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sigma_i\sigma_j&0\\0&\sigma_i\sigma_j\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\sigma_j\sigma_i&0\\0&\sigma_j\sigma_i\end{pmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\begin{pmatrix}\{\sigma_i,\sigma_j\}&0\\0&\{\sigma_i,\sigma_j\}\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}\delta_{ij}&0\\0&\delta_{ij}\end{pmatrix}=2\delta_{ij}\;</MATH>|25.176d3}}
Stąd otrzymany związek {{LinkWzór|25.176d3}} jest taki sam jak {{LinkWzór|25.19}}.

==== Antykomutacja operatorów &alpha;{{Sub|i}} z operatorem &beta; ====
Weźmy sobie operator {{Formuła|<MATH>\hat\alpha_i\;</MATH>}} {{LinkWzór|25.173a}}, wtedy napiszmy antykomutację:
{{CentrujWzór|<MATH>\{\hat\alpha_i,\hat \beta\}=\hat\alpha_i\hat\beta+\hat\beta\hat\alpha_i=\begin{pmatrix}0&\sigma_i\\\sigma_i&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&\sigma_i\\\sigma_i&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-\sigma_i\\\sigma_i&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&\sigma_i\\-\sigma_i&0\end{pmatrix}=0</MATH>|25.176d4}}
Jak widzimy otrzymaliśmy tożsamość operatorową {{LinkWzór|25.20}}.

==== Operatory &sigma;{{Sub|i}} jako operatory hermitowskie ====
Operatory {{Formuła|<MATH>\hat\sigma_i</MATH>}} są to operatory hermitowskie, co można udowodnić, korzystając przy tym z tożsamości {{LinkWzór|25.29}}, {{LinkWzór|25.30}} i {{LinkWzór|25.31}}, a także z {{LinkWzór|25.16}}, {{LinkWzór|25.17}} i {{LinkWzór|25.18}}, a dowód jego przebiega:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\hat\sigma_x^{+}=i\hat\alpha^{+}_z\hat\alpha_y^{+}=i\hat\alpha_z\hat\alpha_y=-i\hat\alpha_y\hat\alpha_z=\hat\sigma_x</MATH>|25.33a}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\hat\sigma_y^{+}=i\hat\alpha^{+}_x\hat\alpha_z^{+}=i\hat\alpha_x\hat\alpha_z=-i\hat\alpha_z\hat\alpha_x=\hat\sigma_y</MATH>|25.33b}}}}
{{CentrujWzór|<MATH>\hat\sigma_z^{+}=i\hat\alpha^{+}_y\hat\alpha_x^{+}=i\hat\alpha_y\hat\alpha_x=-i\hat\alpha_x\hat\alpha_y=\hat\sigma_z</MATH>|25.33c}}

==== Antykomutacja operatorów &sigma;{{Sub|i}} ====
Napiszmy czemu jest równy kwadrat operatora {{Formuła|<MATH>\hat\sigma_i</MATH>}}, ale dowód przeprowadzimy dla i=x,y,z:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat\sigma_x^2=(-i\hat\alpha_y\hat\alpha_z)^2=(-i)^2\hat\alpha_y\hat\alpha_z\hat\alpha_y\hat\alpha_z
=\hat\alpha_y\hat\alpha_y\hat\alpha_z\hat\alpha_z=1\cdot 1=1</MATH>|25.34a}}
{{CentrujWzór|<MATH>\hat\sigma_y^2=(-i\hat\alpha_z\hat\alpha_x)^2=(-i)^2\hat\alpha_z\hat\alpha_x\hat\alpha_z\hat\alpha_x
=\hat\alpha_z\hat\alpha_z\hat\alpha_x\hat\alpha_x=1\cdot 1=1</MATH>|25.34b}}
{{CentrujWzór|<MATH>\hat\sigma_z^2=(-i\hat\alpha_x\hat\alpha_y)^2=(-i)^2\hat\alpha_x\hat\alpha_y\hat\alpha_x\hat\alpha_y
=\hat\alpha_x\hat\alpha_x\hat\alpha_y\hat\alpha_y=1\cdot 1=1</MATH>|25.34c}}
A także operatory {{Formuła|<MATH>\hat\sigma_i\;</MATH>}} o róznych współrzędnych antykomutują ze sobą, co udowodnimy poniżej:
{{CentrujWzór|<MATH>\{\hat\sigma_y,\hat\sigma_z\}=\hat\sigma_y\hat\sigma_z+\hat\sigma_z\hat\sigma_y=-\hat\alpha_z\hat\alpha_x\hat\alpha_x\hat\alpha_y-\hat\alpha_x\hat\alpha_y\hat\alpha_z\hat\alpha_x=-\hat\alpha_z\hat\alpha_y-\hat\alpha_y\hat\alpha_z=-\hat\alpha_z\hat\alpha_y+\hat\alpha_z\hat\alpha_y=0\;
</MATH>|25.35a}}
{{CentrujWzór|<MATH>\{\hat\sigma_x,\hat\sigma_z\}=\hat\sigma_x\hat\sigma_z+\hat\sigma_z\hat\sigma_x=-\hat\alpha_y\hat\alpha_z\hat\alpha_x\hat\alpha_y-\hat\alpha_x\hat\alpha_y\hat\alpha_y\hat\alpha_z=-\hat\alpha_z\hat\alpha_x-\hat\alpha_x\hat\alpha_z=-\hat\alpha_z\hat\alpha_x+\hat\alpha_z\hat\alpha_x=0\;
</MATH>|25.35b}}
{{CentrujWzór|<MATH>\{\hat\sigma_x,\hat\sigma_y\}=\hat\sigma_x\hat\sigma_y+\hat\sigma_y\hat\sigma_z=-\hat\alpha_y\hat\alpha_z\hat\alpha_z\hat\alpha_x-\hat\alpha_z\hat\alpha_x\hat\alpha_y\hat\alpha_z=-\hat\alpha_y\hat\alpha_x-\hat\alpha_x\hat\alpha_y=-\hat\alpha_y\hat\alpha_x+\hat\alpha_y\hat\alpha_x=0\;
</MATH>|25.35c}}
Na podstawie dowodu {{LinkWzór|25.34a}}, {{LinkWzór|25.34b}} i {{LinkWzór|25.34c}} oraz {{LinkWzór|25.35a}}, {{LinkWzór|25.35b}} i {{LinkWzór|25.35c}} otrzymujemy zależność z udziałem antykomutatora dla operatorów {{Formuła|<MATH>\hat{\sigma}\;</MATH>}} dla współrzędnych i-tej i j-tej:
{{CentrujWzór|<MATH>\{\hat\sigma_i,\hat\sigma_j\}=2\delta_{ij}\;</MATH>|25.36}}

==== Komutacje operatorów &sigma;{{Sub|i}} ====
Wyznaczmy komutacje operatorów {{Formuła|<MATH>\hat\sigma_i\;</MATH>}}, tzn. {{LinkWzór|25.174}} ({{Formuła|<MATH>\hat\sigma_x\;</MATH>}}), {{LinkWzór|25.175}} ({{Formuła|<MATH>\hat\sigma_y\;</MATH>}}) i {{LinkWzór|25.176}} ({{Formuła|<MATH>\hat\sigma_z\;</MATH>}}) wiedząc, że zachodzi {{LinkWzór|25.29}}, {{LinkWzór|25.30}} i {{LinkWzór|25.31}}, wtedy:
{{CentrujWzór|<MATH>[\hat\sigma_y,\hat\sigma_z]=\hat\sigma_y\hat\sigma_z-\hat\sigma_z\hat\sigma_y=-\hat\alpha_z\hat\alpha_x\hat\alpha_x\hat\alpha_y+\hat\alpha_x\hat\alpha_y\hat\alpha_z\hat\alpha_x=-\hat\alpha_z\hat\alpha_y+\hat\alpha_y\hat\alpha_z=\hat\alpha_y\hat\alpha_z+\hat\alpha_y\hat\alpha_z=2i(-i\hat\alpha_y\hat\alpha_z)=2i\hat\sigma_x=2i\epsilon_{yzx}\hat\sigma_x\;
</MATH>|25.35aa}}{{CentrujWzór|<MATH>[\hat\sigma_x,\hat\sigma_z]=\hat\sigma_x\hat\sigma_z-\hat\sigma_z\hat\sigma_x=-\hat\alpha_y\hat\alpha_z\hat\alpha_x\hat\alpha_y+\hat\alpha_x\hat\alpha_y\hat\alpha_y\hat\alpha_z=-\hat\alpha_z\hat\alpha_x+\hat\alpha_x\hat\alpha_z=-\hat\alpha_z\hat\alpha_x-\hat\alpha_z\hat\alpha_x=-2i(-i\hat\alpha_z\hat\alpha_x)=-2i\hat\sigma_y=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=2i\epsilon_{xzy}\hat\sigma_y\;
</MATH>|25.35ba}}
{{CentrujWzór|<MATH>[\hat\sigma_x,\hat\sigma_y]=\hat\sigma_x\hat\sigma_y-\hat\sigma_y\hat\sigma_z=-\hat\alpha_y\hat\alpha_z\hat\alpha_z\hat\alpha_x+\hat\alpha_z\hat\alpha_x\hat\alpha_y\hat\alpha_z=-\hat\alpha_y\hat\alpha_x+\hat\alpha_x\hat\alpha_y=\hat\alpha_x\hat\alpha_y+\hat\alpha_x\hat\alpha_y=2i(-i\hat\alpha_x\hat\alpha_y)=2i\hat\sigma_z=2i\epsilon_{xyz}\hat\sigma_z\;
</MATH>|25.35ca}}
Na podstawie dowodów {{LinkWzór|25.35aa}}, {{LinkWzór|25.35ba}} i {{LinkWzór|25.35ca}} otrzymujemy zależność z udziałem komutatora dla operatorów {{Formuła|<MATH>\hat{\sigma}\;</MATH>}} dla współrzędnych i-tej i j-tej:
{{CentrujWzór|<MATH>[\hat\sigma_i,\hat\sigma_j]=2i\epsilon_{ijk}\hat{\sigma}_k\;</MATH>|25.36a}}
Widzimy, ze komutator dwóch operatorów dowolnych {{Formuła|<MATH>\hat\sigma_i\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalny do {{Formuła|<MATH>\hat\sigma_k\;</MATH>}} z czynnikiem {{Formuła|<MATH>2i\epsilon_{ijk}\;</MATH>}}.
Na tym kończymy dowody na współrzędnych operatora {{Formuła|<MaTH>\hat{\sigma}\;</MATH>}} {{LinkWzór|25.51}}, czyli operatorów {{LinkWzór|25.29}}({{Formuła|<MATH>\hat{\sigma}_x\;</MATH>}}), {{LinkWzór|25.30}} ({{Formuła|<MATH>\hat{\sigma}_y\;</MaTH>}}) i {{LinkWzór|25.31}} ({{Formuła|<MatH>\hat{\sigma}_z\;</MATH>}}).

==== Dalsze rozważania na temat operatora Hamiltonianu ====
Pierwszy wyraz występujący po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|25.5e}} możemy rozpisać jako iloczyn dwóch takich samych operatorów i wymnożyć je względem siebie. W tym rozpisaniu tego iloczynu występują wyrazy mieszane i niemieszane, przy czym pierwszy wyraz niemieszany zapisujemy zakładając, że zachodzi tożsamość {{LinkWzór|25.15}}:
{{CentrujWzór|<MATH>[\alpha_x(\hat{p}_x-qA_x)]^2=\alpha_x(\hat{p}_x-qA_x)\alpha_x(\hat{p}_x-qA_x)=\alpha_x^2(\hat{p}_x-qA_x)^2=(\hat{p}_x-qA_x)^2</MATH>|25.5g}}
A teraz podejmować się będziemy do wyznaczenia wyrazów mieszanych, tzn. wyrazów, w których występują różne współrzędne tej samej wielkości operatorowej, w tym przypadku poniżej występując współrzędne iksowe i ikregowe:
{{CentrujWzór|<MATH>\alpha_x(\hat{p}_x-qA_x)\alpha_y(\hat{p}_y-qA_y)+\alpha_y(\hat{p}_y-qA_y)\alpha_x(\hat{p}_x-qA_x)=q\alpha_x\alpha_y\left[-\hat{p}_x(A_y\cdot)-A_x\hat{p}_y +\hat{p}_y(A_x\cdot)+A_y\hat{p_x}\right]=</MATH>{{Br}}<MATH>=-q\alpha_x\alpha_y
\left[\hat{p}_xA_y+A_y\hat{p}_x+A_x\hat{p}_y-A_x\hat{p_y}-p_yA_x-A_y\hat{p_x}\right]=-q\alpha_x\alpha_y(-i\hbar)\left({{\partial A_y}\over{\partial x}}-{{\partial A_x}\over{\partial y}}\right)=q\hbar(i\alpha_x\alpha_y)B_z=-q\hbar\sigma_z B_z</MATH>|25.5h}}
Na podstawie {{LinkWzór|25.5g}} i {{LinkWzór|25.5h}}, a także z {{LinkWzór|25.29}}, {{LinkWzór|25.30}} i {{LinkWzór|25.31}} wyrażenie operatorowe {{LinkWzór|25.5e}} możemy przepisać w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat E_r^2=c^2(\hat p-q\vec A)^2-q\hbar c^2\hat \sigma \vec B+m_0^2c^4\hat\beta^{'2}+
\left[m_0c^3\left(\hat \alpha\hat\beta^'+\hat\beta^'\hat\alpha\right)\left(\hat p-q\vec A\right)\right]+m_0c^3\hat \alpha(\hat p\hat \beta^')=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=c^2(\hat p-q\vec A)^2+m_0^2c^4\left(\hat\beta^{'2}-{{q\hbar}\over{m_0^2c^2}}\hat\sigma\vec B\right)+\left[m_0c^3\left(\hat \alpha\hat\beta^'+\hat\beta^'\hat\alpha\right)\left(\hat p-q\vec A\right)\right]+m_0c^3\hat \alpha(\hat p\hat \beta^')=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=c^2(\hat p-q\vec A)^2+m_0^2c^4\left[\left(\hat\beta^{'2}-{{q\hbar}\over{m_0^2c^2}}\hat\sigma\vec B\right)+\left(\hat \alpha\hat\beta^'+\hat\beta^'\hat\alpha\right){{\hat p-q\vec A}\over{m_0c}}+{{1}\over{m_0c}}\hat \alpha(\hat p\hat \beta^')\right]
</MATH>|25.5l}}
Porównując wzór {{LinkWzór|25.5l}} z kwadratem wyrażenia {{LinkWzór|25.5a}}, wtedy przyjmijmy:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat\beta^{'2}-{{q\hbar}\over{m_0^2c^2}}\hat\sigma\vec B=\hat 1\;</MATH>|25.5m}}
Z wyrażenia {{LinkWzór|25.5m}} możemy wywnioskować, że zachodzi wzór na {{Formuła|<MATH>\hat\beta^'\;</MATH>}} w zależności od operatora {{Formuła|<MATH>\hat\beta\;</MATH>}} {{LinkWzór|25.170}} i {{Formuła|<MATH>\hat\sigma\;</MATH>}}, tzn. wzory {{LinkWzór|25.174}}, {{LinkWzór|25.175}} i {{LinkWzór|25.176}} przy przybliżeniu {{Formuła|<MATH>{{q\hbar}\over{m_0^2c^2}}\hat\sigma\vec B\;</MATH>}}, że jest to małe:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat 1=\hat\beta^{'2}-{{q\hbar}\over{m_0^2c^2}}\hat\sigma\vec B\Rightarrow\hat\beta^{'2}=\hat 1+{{q\hbar}\over{m_0^2c^2}}\hat \sigma\vec B\Rightarrow \hat\beta^'=\hat \beta\sqrt{\hat 1+{{q\hbar}\over{m_0^2c^2}}\hat\sigma\vec B}\simeq \hat \beta\left(\hat 1+{{q\hbar}\over{2m_0^2c^2}}\hat\sigma\vec B\right)\Rightarrow
\hat\beta^'=\hat\beta+{{q\hbar}\over{2m_0^2c^2}}\hat\beta\hat\sigma\vec B\;</math>|25.5n}}
Udowodnijmy, czy zachodzi antykomutacja pomiędzy operatowami {{LinkWzór|25.5n}}, a operatorami {{Formuła|<MATH>\hat \alpha_i\;</MATH>}}, jeżeli wiadomo, że zachodzi {{LinkWzór|25.5n}}, wtedy:
{{CentrujWzór|<MATH>\{\hat\alpha_i,\hat \beta^'\}=\hat\alpha_i\hat \beta^'+\hat\beta^'\hat \alpha_i=
\hat \alpha_i\hat \beta\left(\hat 1+{{q\hbar}\over{2m_0^2c^2}}\sigma\vec B\right)+\hat \beta\left(\hat 1+{{q\hbar}\over{2m_0^2c^2}}\sigma\vec B\right)\alpha_i=
\hat \alpha_i\hat \beta+\hat \beta\hat\alpha_i+{{q\hbar}\over{2m_0^2c^2}}\left(\alpha_i\beta\hat \sigma\vec B+\hat\beta\hat \sigma\vec B\alpha_i\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{q\hbar}\over{2m_0^2c^2}}\left(\alpha_i\beta\hat \sigma_j+\hat\beta\hat \sigma_j\alpha_i\right)B_j\;</MATH>|25.5o}}
Udowodnijmy czy zachodzi i dla jakich przybliżeń komutacja operatorów {{Formuła|<MATH>\hat \sigma_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat \alpha_j\;</MATH>}} na podstawie definicji tych dwóch operatorów:
{{CentrujWzór|<MATH>\left[\sigma_i,\hat\alpha_j\right]=2i\epsilon_{ijk}\alpha_k\;</MATH>|25.5p}}
Zatem do dzieła:
{{CentrujWzór|<MATH>\left[\sigma_i,\hat\alpha_j\right]=\sigma_i\hat\alpha_j-\hat\alpha_j\sigma_i=\begin{pmatrix}\sigma_i&0\\0&\sigma_i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&\sigma_j\\\sigma_j&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&\sigma_j\\\sigma_j&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sigma_i&0\\0&\sigma_i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&\sigma_i\sigma_j\\\sigma_i\sigma_j&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&\sigma_j\sigma_i\\\sigma_j\sigma_i&0\end{pmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=2i\epsilon_{ijk}\begin{pmatrix}0&\sigma_k\\\sigma_k&0\end{pmatrix}=2i\epsilon_{ijk}\alpha_k\;</MATH>|25.5r}}
Ma podstawie obliczeń {{LinkWzór|25.5r}} zachodzi komutacja operatorów {{Formuła|<MATH>\hat \sigma_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat \alpha_j\;</MATH>}}, a więc zachodzi {{LinkWzór|25.5p}}. Powróczmy jeszcze raz do antykomutacji operatorów {{Formuła|<MATH>\hat\alpha_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat \beta^'\;</MATH>}}, czyli {{LinkWzór|25.5o}}, wtedy na podstawie {{LinkWzór|25.5p}} mamy:
{{CentrujWzór|<MATH>\{\hat\alpha_i,\hat \beta^'\}={{q\hbar}\over{2m_0^2c^2}}\left(\hat\alpha_i\hat\beta\hat \sigma_j+\hat\beta\hat \sigma_j\alpha_i\right)B_j={{q\hbar}\over{2m_0^2c^2}}B_j\left(\hat\alpha_i\hat\beta+\hat\beta\alpha_i\right)\hat\sigma_j+i{{q\hbar}\over{m_0^2c^2}}B_j\epsilon_{jik}\beta\alpha_k=-i{{q\hbar}\over{m_0^2c^2}}B_j\epsilon_{ijk}\beta\alpha_k=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-i{{q\hbar}\over{m_0^2c^2}}\hat\beta(\vec B\times\hat\alpha)_i\;</MATH>|25.5s}}
Musi zachodzić w równaniach Diraca:
{{CentrujWzór|<MATH>\left\|\{\hat\alpha_i,\hat \beta^'\}\right\|={{q\hbar}\over{m_0^2c^2}}\left\|\hat \beta(\vec B\times\hat\alpha)_i\right\|<<1\;</MATH>|25.5s1}}
wtedy następuje antykomutacja operatora {{Formuła|<MATH>\hat\alpha_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat \beta^'\;</MATH>}} na podstawie {{LinkWzór|25.5s}}.
Drugi wyraz w nawiasie kwadratowym w {{LinkWzór|25.5l}} na podstawie założenia {{LinkWzór|25.5s1}} jest w przybliżeniu równy zero. 
Udowodnijmy czy trzeci wyraz w {{LinkWzór|25.5l}} jest równy w przybliżeniu zero na podstawie pewnych założeń i definicji {{Formuła|<MATH>\hat\beta^'\;</MATH>}} {{LinkWzór|25.5n}}:
{{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{m_0c}}\hat\alpha(\hat p\hat \beta^')={{1}\over{m_0c}}\hat\alpha_i\hat p_i\left({{q\hbar}\over{2m_0^2c^2}}\hat\beta\hat\sigma\vec B\right)=
-{{1}\over{m_0c}}{{q\hbar}\over{2m_0^2c^2}}\hat\beta\left[\hat p_i\left(\hat\alpha_i\hat\sigma_j\vec B_j\right)\right]\;</MATH>|25.5s2}}
Udowodnijmy dodatkowo wyrażenie, zatem do dzieła:
{{CentrujWzór|<MATH>\left\{\sigma_i,\hat\alpha_j\right\}=\sigma_i\hat\alpha_j+\hat\alpha_j\sigma_i=\begin{pmatrix}\sigma_i&0\\0&\sigma_i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&\sigma_j\\\sigma_j&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&\sigma_j\\\sigma_j&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sigma_i&0\\0&\sigma_i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&\sigma_i\sigma_j\\\sigma_i\sigma_j&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&\sigma_j\sigma_i\\\sigma_j\sigma_i&0\end{pmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\begin{pmatrix}0&2i\delta_{ij}\\2i\delta_{ij}&0\end{pmatrix}=2i\delta_{ij}\;</MATH>|25.5s3}}
i odejmijmy obie strony wyrażeń {{LinkWzór|25.5r}} i {{LinkWzór|25.5s3}}, wtedy dostajemy równość:
{{CentrujWzór|<MATH>\alpha_i\hat\sigma_j=i\delta_{ij}+i\epsilon_{ijk}\alpha_k\;</MATH>|25.5s4}}
Na podstawie tożsamości {{LinkWzór|25.5s4}} wyrażenie {{LinkWzór|25.5s2}} możemy przepisać w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{m_0c}}\hat\alpha(\hat p\hat \beta^')=-{{1}\over{m_0c}}{{q\hbar}\over{2m_0^2c^2}}\hat\beta\left[\hat p_i\left( i\delta_{ij}+i\epsilon_{ijk}\alpha_k\right)B_j\right]=-{{1}\over{m_0c}}{{q\hbar}\over{2m_0^2c^2}}\hat\beta\left(i\hat p_iB_i+i\hat p_i\epsilon_{ijk}\alpha_k B_j\right)=-i {{1}\over{m_0c}}{{q\hbar}\over{2m_0^2c^2}}\hat\beta\hat p(\vec B\times\hat \alpha)\;</MATH>|25.5s5}}
Zakładamy w równaniach Diraca, że zachodzi:
{{CentrujWzór|<MATH>\left\|{{1}\over{m_0c}}\hat\alpha(\hat p\hat \beta^')\right\|={{1}\over{m_0c}}{{q\hbar}\over{2m_0^2c^2}}\left\|\hat\beta\hat p(\vec B\times\hat \alpha)\right\|<<1</MATH>|25.5s6}}
Na podstawie {{LinkWzór|25.5s6}} trzeci wyraz w nawiasie kwadratowym w {{LinkWzór|25.5l}} jest w przybliżeniu równy zero.
Napiszmy operator energii relatywistycznej na podstawie związku na {{Formuła|<MATH>\hat\beta^'\;</MATH>}} {{LinkWzór|25.5n}} i {{LinkWzór|25.5c}}, wtedy:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat E_r=c\hat\alpha(\hat p-q\vec A)+m_0c^2\hat \beta\left(\hat 1+{{q\hbar}\over{2m_0^2c^2}}\hat\sigma\vec B\right)=c\hat\alpha(\hat p-q\vec A)+m_0c^2\hat\beta+{{q\hbar}\over{2m_0}}\hat\beta\hat\sigma\vec B\;</MATH>|25.5q}}
Wartości własne operatora {{Formuła|<MATH>\hat\beta\;</MATH>}} {{LinkWzór|25.170}}, czyli {{Formuła|<MATH>\beta=\pm 1\;</MATH>}}, a operatora {{Formuła|<MATH>\sigma_i\;</MATH>}} {{LinkWzór|25.174}}, {{LinkWzór|25.175}} i {{LinkWzór|25.175}}, czyli {{Formuła|<MATH>\sigma_i=\pm 1\;</MATH>}}, a wartości własne operatora {{Formuła|<MATH>\hat \beta\hat \sigma_i\;</MATH>}} są 1 i -1, stąd na podstawie tego możemy napisać na podstawie definicji {{Formuła|<MATH>\hat\beta\;</MATH>}} {{LinkWzór|25.170}} i {{Formuła|<MATH>\hat\sigma_i\;</MATH>}} {{LinkWzór|25.17y}} oraz definicji wartości własnej i wektora własnego:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat\beta\hat\sigma_i\vec X=\begin{bmatrix}\sigma_i&0\\0&-\sigma_i\end{bmatrix}\vec X=\begin{bmatrix}\pm I&0\\0&\mp I\end{bmatrix}\vec X=
\begin{bmatrix}\sigma_i&0\\0&\sigma_i\end{bmatrix}\vec X=\hat\sigma_i\vec X\;</MATH>|25.5q12}}
*gdzie {{Formuła|<MATH>\vec X\;</MATH>}} jest to przestrzeń wektorów własnych, odpowiadające danej wartości własnej operatora {{Formuła|<MATH>\hat\sigma_i\;</MATH>}}, ta przestrzeń dla {{Formuła|<MATH>\hat\beta\hat\sigma_i\;</MATH>}} jest taka sama jak dla {{Formuła|<MATH>\hat\sigma_i\;</MATH>}}.
Stąd z definicji operatora {{Formuła|<MATH>\hat E_r\;</MATH>}} {{LinkWzór|25.5q}} na podstawie wniosków {{LinkWzór|25.5q12}} możemy napisać inną zmodyfikowaną wersję operatora energii relatywistycznej {{Formuła|<MATH>\hat E_r\;</MATH>}} w taki sposób by wartości własne i wektory własne dla obu operatorów {{Formuła|<MATH>\hat E_r\;</MATH>}} były takie same:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat E_r=c\hat\alpha(\hat p-q\vec A)+m_0c^2\hat\beta+{{q\hbar}\over{2m_0}}\hat\sigma\vec B\;</MATH>|25.5q2}}
Przepiszmy operator {{LinkWzór|25.5q2}} w postaci wydzielając przed nawias wyrażenie {{Formuła|<MATH>m_0c^2\;</MATH>}} w {{LinkWzór|25.5q2}}, wtedy:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat E_r=c\hat\alpha(\hat p-q\vec A)+m_0c^2\left(\hat\beta+{{q\hbar}\over{2m_0^2c^2}}\hat\sigma\vec B\right)\;</MATH>|25.5q3}}
Na podstawie tego możemy napisać zmodyfikowaną wersję operatora {{Formuła|<MATH>\hat\beta^'\;</MATH>}} na podstawie {{LinkWzór|25.5c}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat \beta^'=\hat\beta+{{q\hbar}\over{2m_0^2c^2}}\hat\sigma\vec B\;</MATH>|25.5q4}}
A ponieważ na podstawie wzóru {{LinkWzór|14.6|Cząstki_o_spinie_połówkowym}} i wzoru {{LinkWzór|14.1|Cząstki_o_spinie_połówkowym}}, a także wzoru na energię ramki {{LinkWzór|11.12|Elementarne właściwości materii w polu magnetycznym|Elektrodynamika klasyczna|EK}} zachodzi:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat U=-\hat \mu\vec B=-{{q}\over{m_0}}\hat s\vec B=-{{q\hbar}\over{2m_0}}\hat\sigma\vec B\;</MATH>|25.5q5}}
Całkowity Hamiltonian jest sumą operatorów energii relatywistycznej ciała {{LinkWzór|25.5q2}}, energii ramki {{LinkWzór|25.5q5}} i operatora uwzględniająca energię potencjalną w polu elektrycznym, wtedy on jest równy:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat H=\hat E_r+\hat U+\hat E_p=c\hat\alpha (\hat p-q\vec A)+m_0c^2\hat\beta+q\varphi\;</MATH>|25.24}}
Operator energii mechanicznej {{LinkWzór|25.24}} oraz na podstawie {{LinkWzór|25.5s1}} i {{LinkWzór|25.5s6}} jest spełniony tylko dla słabych pól magnetycznych i małych zmian pola magnetycznego w przestrzeni.
Hamiltonian Diraca {{LinkWzór|25.24}} jest spełniony dla słabych i małych zmian pól magnetycznych, a matematycznie dla pól magnetycznych i ich zmian dążących do zera.

== Pełne równanie Diraca z uwzględnieniem pól elektrycznych, magnetycznych i innych ==
Widzimy, że hamiltonian {{LinkWzór|25.24}} jest zależny od potencjału wektorowego pola magnetycznego i skalarnego pola elektrycznego.
Uogólnimy operator Hamiltonianu dla układu n cząstek znajdujących się wzajemnych polach potencjalnych i w polu zewnętrznym:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat H=\sum_i\left[c\hat{\alpha}(\hat{p}_i-q_i\vec{A}_i)+m_{0i}c^2\hat{\beta}\right]+\sum_{ij,i<j}q_i\varphi_{ij}+\sum_iq_i\varphi_i+\sum_{ij,i<j}U_{ij}+\sum_{i}U_{i}\;</MATH>|25.24a}}

<noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>