Tekst źródłowy strony Mechanika kwantowa/Symetrie, a prawa zachowania wartości średniej

<noinclude><!--
-->{{SkomplikowanaStronaStart<!--
      -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!--
-->}}</noinclude>

W prowadźmy pewne początkowe rozważania, które są potrzebne do wykazania, że dany operator  powoduje, że jego wartość średnia pewnej wielkości względem hamiltonianu (operatora energii) jest zachowana. Jeśli mamy jakąś funkcję falową {{Formuła|<MATH>|q\rangle\;</MATH>}}, to po przetransformowaniu jego, po zmianie jakiegoś parametru na przykład obrót o kąt lub przesunięcie o wektor, a nawet przesunięcia w czasie można zapisać w postaci działania operatora {{Formuła|<MATH>\hat{T}\;</MATH>}} na stan początkowy naszego układu, tzn. przed dokonaniem pewnych operacji na nim.
{{CentrujWzór|<MATH>|q'\rangle=\hat{T}|q\rangle\;</MATH>|23.1}}
Średnia wartość Hamiltonianu, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|23.1}} w układzie wyrażoną za pomocą funkcji falowej po dokonaniu tejże operacji, wyrazimy ją za pomocą funkcji falowej przed dokonaniem tej operacji:
{{CentrujWzór|<MATH>\overline{P}'=\int \langle q'|\hat{P}'|q'\rangle d\tau=\int \langle q|\hat{T}^{+}\hat{P}'\hat{T}|q\rangle d\tau\;</MATH>|23.2}}
Jeśli średnia ma być zachowana względem jakiegoś parametru bez względu na jakie operacji dokonujemy na układzie, to musi zachodzić: 
{{CentrujWzór|<MATH>\overline{P}=\overline{P}'\;</MATH>|23.3}}
Zatem powinno zachodzić równanie opisujące transformację operatora {{Formuła|<MAth>\hat{P}\;</Math>}} z układu po operacji do układu przez naszą operacją, czyli:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{P}=\hat{T}^{+}\hat{P}'\hat{T}\;</MATH>|23.4}}
A ze wzoru {{LinkWzór|23.4}} możemy wyznaczyć operację odwrotną:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{P}'=\hat{T}\hat{P}\hat{T}^{+}\;</MATH>|23.5|Obramuj}}
Wyrażenie {{LinkWzór|23.5}} pozwala przetransformować operator {{Formuła|<MATH>\hat{P}\;</MATH>}} z jednych współrzędnych do drugich przy transformacji {{Formuła|<MATH>\hat{T}\;</MATH>}}, jeśli ket można przetransformować według {{LinkWzór|23.1}}.
Ale nasz operator {{Formuła|<MATH>\hat{P}\;</MATH>}} lub {{Formuła|<MATH>\hat{P}'\;</MATH>}} jest operatorem hermitowskim, to mamy również wyrażenie {{LinkWzór|23.5}}, które można zapisać inaczej:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{P}'=\hat{T}^{+}\hat{P}\hat{T}\;</MATH>|23.6|Obramuj}}
Szczególnym przypadkiem operatora {{Formuła|<math>\hat{P}\;</math>}} może być operator Hamiltonianu, czyli: {{Formuła|<MATH>\hat{P}=\hat{H}\;</MATH>}}.

== Wprowadzenie do symetrii zasad zachowania ==
Skonstruujmy operator transformacji unitarnej w postaci wygodnej dla dalszych rozważań, niech tym operatorem będzie operator zdefiniowany przy pomocy operatora {{Formuła|<MATH>\hat{S}\;</MATH>}} charakteryzujący naszą wielkość zachowaną na podstawie {{LinkWzór|12.4|Równanie_Ehrenfesta}}, jeśli ten nasz operator nie zależy od czasu i komutacja operatora {{Formuła|<math>\hat{S}\;</MATH>}} z hamiltonianem jest równa zero, to energia układu jest zachowana względem transformacji {{Formuła|<MATH>\hat{T}\;</MATh>}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{T}=e^{ia\hat{S}}\;</MATH>|23.7}}
Operator {{LinkWzór|23.7}} jest on operatorem unitarnym wedle definicji {{LinkWzór|20.62|Wprowadzenie_do_teorii_wektorów_Diraca}}, a oto jego dowód:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{T}^{+}\hat{T}=\left(e^{ia\hat{S}}\right)^{+}e^{ia\hat{S}}=e^{-ia\hat{S}}e^{ia\hat{S}}=e^0=1\;</MATH>|23.8}}
Jeśli mamy operator, którego transformujemy według przepisu {{LinkWzór|23.5}}, to:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}\rightarrow \hat{H}'=\hat{T}\hat{H}\hat{T}^{+}=e^{ia\hat{S}}\hat{H}e^{-ia\hat{S}}\;</MATH>|23.9}}
Rozłóżmy operator unitarny  {{Formuła|<math>\hat{T}\;</Math>}} {{LinkWzór|23.7}} w szereg Taylora względem wykładnika w nim występującego w operatorze {{LinkWzór|23.7}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{T}=\sum_{k=0}{{(ia)^k}\over{k!}}\hat{S}^k\;</MATH>|23.10}}
A teraz policzmy {{Formuła|<math>\hat{H}^'\;</MATH>}} (po przetransformowaniu operatorem {{Formuła|<MATH>\hat{S}\;</MATH>}} wstawiając operatory {{Formuła|<MATH>\hat{T}\;</MATH>}} wedle jego rozwinięcia {{LinkWzór|23.10}} do wzoru na transformację hamiltonianu {{LinkWzór|23.9}} z jednego układu do innego z primem.
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}'=\sum_{k=0}{{(ia)^k}\over{k!}}\hat{S}^k\hat{H}\sum_{p=0}{{(-ia)^p}\over{p!}}\hat{S}^p=\sum_{k,p=0}{{(ia)^k}\over{k!}}\hat{S}^k\hat{H}{{(-ia)^p}\over{p!}}\hat{S}^p=\sum_{p,n,n \geq p}{{(ia)^{n-p}}\over{(n-p)!}}\hat{S}^{n-p}H(-1)^p{{(ia)^{p}}\over{p!}}\hat{S}^{p}=\;</MATH>{{Br}}
<MATH>=\sum_{p,n,n \geq p}n!{{(ia)^n}\over{(n-p)!p!}}\left[(-1)^p \hat{S}^{n-p}H\hat{S}^p\right]=\sum_{p,n,n \geq p}(ia)^n\left[{{(-1)^p \hat{S}^{n-p}H\hat{S}^p}\over{p!(n-p)!}}\right]=\sum^{\infty}_{n=0}{{(ia)^n}\over{n!}}\hat{W}(n)
\;</MATH>|23.11}}
Weźmy pod pretekst badań wyrażenie występujące {{LinkWzór|23.11}}, które można je prezestawić jako:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{W}(n)=\sum^{p\leq n}_{p=0}n!\left[{{(-1)^p \hat{S}^{n-p}\hat{H}\hat{S}^p}\over{p!(n-p)!}}\right]\;</MATH>|23.12}}

A {{Formuła|<math>\hat{W}(n)\;</MAth>}} powinno być równe wyrażeniu zdefiniowanego za pomocą komutatorów, czyli 
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{K}(n)=\left[\hat{S},\left[\hat{S},\left[\hat{S},\left[\hat{S},....\left[\hat{S},\hat{H}\right]...\right]\right]\right]\right]\;</MATH>|23.13}}
*gdzie S-ów jest tyle co n
Równoważność wzorów {{LinkWzór|23.12}} i {{LinkWzór|23.13}} udowodnimy za pomocą indukcji matematycznej.
Sprawdźmy czy ta równoważność dla n=1 jest spełniona tożsamościowo.
Zatem mamy dla tego "n", czyli {{Formuła|<MATH>\hat{K}(1)=\hat{S}\hat{H}-\hat{H}\hat{S}=[\hat{S},\hat{H}]=\hat{W}(1)\;</MATH>}} S-ów jest 1 czyli zgadza się, czyli dla n=1 nasze równoważność jest spełniona.
Z założenia indukcyjnego, jeśli mamy {{Formuła|<MATH>\hat{K}(n)=\hat{W}(n)\;</MATH>}}, to mamy udowodnić wyrażenie na {{Formuła|<MATH>\hat{K}(n+1)=\hat{W}(n+1)\;</MATH>}}. W ten sposób napiszmy takie wyrażenie, które mamy wedle {{LinkWzór|23.13}} i które jest równy temu wyrażeniu.
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{K}(n+1)=\hat{S}\hat{W}(n)-\hat{W}(n)\hat{S}=\left[\hat S,\hat W(n)\right]\Rightarrow\hat{K}(n+1)=\left[\hat S,\hat W(n)\right]\;</MATH>|23.14}} 
I udowodnijmy, że {{Formuła|<MATH>\hat{K}(n+1)=\hat{W}(n+1)\;</MATH>}} wedle twierdzenia indukcyjnego, bo udowodniamy równoważność wzorów {{LinkWzór|23.12}} z {{LinkWzór|23.13}}.
Z wyrażenia na {{Formuła|<MATH>\hat{K}(n+1)\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat{W}(n)\;</MATH>}} {{LinkWzór|23.12}}, dochodzimy do wniosku:
{{CentrujWzór|<MATH>
\begin{align}
\hat{K}(n+1)&=\hat{S}\hat{W}(n)-\hat{W}(n)\hat{S}=\hat{S}\sum^{p\leq n}_{p=0}n!\left[{{(-1)^p \hat{S}^{n-p}\hat{H}\hat{S}^p}\over{p!(n-p)!}}\right]-\sum^{p\leq n}_{p=0}n!\left[{{(-1)^p \hat{S}^{n-p}\hat{H}\hat{S}^p}\over{p!(n-p)!}}\right]\hat{S}=\\
&=\sum^{p\leq n}_{p=0}n!\left[{{(-1)^p \hat{S}^{n-p+1}\hat{H}\hat{S}^p}\over{p!(n-p)!}}\right]-\sum^{p\leq n}_{p=0}n!\left[{{(-1)^p \hat{S}^{n-p}\hat{H}\hat{S}^{p+1}}\over{p!(n-p)!}}\right]
\end{align}\;</MATH>|23.15}}
W drugim wyrazie wzoru {{LinkWzór|23.15}} zastępujemy wedle schematu {{Formuła|<MATH>p\rightarrow p-1\;</MATH>}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{K}(n+1)=\sum^{p\leq n}_{p=0}n!\left[{{(-1)^p \hat{S}^{n-p+1}\hat{H}\hat{S}^p}\over{p!(n-p)!}}\right]-
\sum^{p\leq n+1}_{p=1}n!\left[{{(-1)^{p-1} \hat{S}^{n+1-p}\hat{H}\hat{S}^{p}}\over{{(p-1)}!(n-p+1)!}}\right]=\;</MATH>{{Br}}
<MATH>=\sum^{p\leq n}_{p=1}n!{(-1)^{p} \hat{S}^{n+1-p}\hat{H}\hat{S}^{p}}\left({{1}\over{p}}+{{1}\over{n-p+1}}\right){{1}\over{(p-1)!(n-p)!}}+\hat{S}^{n+1}\hat{H}+(-1)^{n+1}\hat{H}\hat{S}^{n+1}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum^{p\leq n+1}_{p=0}n!{{(-1)^{p} \hat{S}^{n+1-p}\hat{H}\hat{S}^{p}}\over{p!(n+1-p)!}}(n+1)=\sum^{p\leq n+1}_{p=0}(n+1)!{{(-1)^{p} \hat{S}^{n+1-p}\hat{H}\hat{S}^{p}}\over{p!(n+1-p)!}}=\hat{W}(n+1)\;</MATH>|23.16}}
A zatem udowodniliśmy, że {{Formuła|<MATH>\hat{W}(n)\;</MATH>}}{{LinkWzór|23.12}} jest równe tożsamościowo wzorowi {{LinkWzór|23.13}}.
W ten sposób możemy dojść do wniosku, że równanie {{LinkWzór|23.11}}, na podstawie udowodnionego ostatniego wzoru na W(n){{LinkWzór|23.15}}, wtedy równanie na {{Formuła|<MATH>\hat{H}'\;</MATH>}}, który powstaje po przetransformowaniu  {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MATH>}} przez operator {{Formuła|<MATH>\hat{T}\;</MATH>}} {{LinkWzór|23.10}} względem parametru "a" przy operatorze {{Formuła|<math>\hat{S}\;</MatH>}}, jest wyrażone:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}'=\hat{H}+(ia)\left[\hat{S},\hat{H}\right]+{{(ia)^2}\over{2!}}\left[\hat{S},\left[\hat{S},\hat{H}\right]\right]+{{(ia)^3}\over{3!}}\left[\hat{S},\left[\hat{S},\left[\hat{S},\hat{H}\right]\right]\right]+...\;</MATH>|23.17}}

Widać z stąd, że jeśli {{Formuła|<MATH>[\hat{S},\hat{H}]=0\;</MATH>}}, to {{Formuła|<MATH>\hat{H}'=\hat{H}\;</MATH>}}, oznacza to, że operator {{Formuła|<MAtH>\hat{H}\;</MaTH>}} jest niezmienniczy ze względu na transformację unitarną {{Formuła|<MATH>\hat{T}\;</Math>}} generowane przez hermitowski operator {{Formuła|<MATH>\hat{S}\;</MAth>}}.

Wiemy, że zachodzi {{LinkWzór|12.5|Równanie_Ehrenfesta}} dla operatora {{Formuła|<MATH>\hat{S}\;</MATH>}} niezależnego od czasu, i jeśli nasz operator jest niezmienniczy, ze względu na transformacje unitarne {{Formuła|<MATH>\hat{S}\;</MATH>}}, to {{Formuła|<MATH>{{d\hat{S}}\over{dt}}=0\;</MATH>}}, co oznacza: {{Formuła|<MATH>\hat{H}'=\hat{H}\Leftrightarrow \hat{S}=const\;</MATH>}}.

== Obroty, a prawo zachowania momentu pędu ==
Napiszmy jak wygląda transformacja obrotu w prawie zachowania momentu pędu.
Transformacja odwrotna  przekształcająca nowe współrzędne na stare rozważająca obrót wokół osi z, o kąt {{Formuła|<MaTH>\theta\;</math>}} jest napisana wedle schematu:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x=x'\cos\theta-y'\sin\theta\;</MATH>|23.18}}|2={{CentrujWzór|<MATH>y=x'\sin\theta+y'\cos\theta\;</MATH>|23.19}}}}
Ze wzorów transformacyjnych, tzn. {{LinkWzór|23.18}} i {{LinkWzór|23.19}} wynikają tożsamości, które bardzo łatwo możemy udowodnić:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial x}\over{\partial\theta}}=-y\;</MATH>|23.20}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial y}\over{\partial\theta}}=x\;</MATH>|23.21}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial z}\over{\partial \theta}}=0\;</MATH>|23.22}}}}
Napiszmy jak wygląda transformacja keta po obróceniu układu współrzędnych o pewien kąt, rozkładając nasz "ket" w szereg Taylora względem kąta {{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}}:
{{CentrujWzór|<MATH>|q\rangle'=|q\rangle+\theta{{\partial |q\rangle}\over{\partial\theta}}+{{\theta^2}\over{2!}}{{\partial^2|q\rangle}\over{\partial\theta^2}}+...\;</MATH>|23.23}}
Napiszmy czemu jest równa pochodna cząstkowa pewnego "keta" względem kąta {{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}}, korzystając przy tym z definicji operatora współrzędnej zetowego momentu pędu oraz ze wzorów, które wcześniej udowodniliśmy {{LinkWzór|23.20}}, {{LinkWzór|23.21}}, {{LinkWzór|23.22}}:
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial |q\rangle}\over{\partial \theta}}=\sum_i{{\partial|q\rangle}\over{\partial q_i}}{{\partial q_i}\over{\partial \theta}}=-\left(x{{\partial}\over{\partial y}}-y{{\partial}\over{\partial x}}\right)=-i{{\hat{L}_z}\over{\hbar}}|q>\;</MATH>|23.24}}
Operator {{LinkWzór|23.24}}, wiedząc, że jest to pochodna cząstkowa względem parametru azymutalnego w układzie kulistym, jest równy:
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial\theta}}=-i{{\hat{L}_z}\over{\hbar}}\;</MATH>|23.25}}
Definicja wzoru {{LinkWzór|23.25}} jest tożsama z równaniem {{LinkWzór|5.46|Postulat_pierwszy_mechaniki_kwantowej}}.

A zatem do wzoru {{LinkWzór|23.23}} podstawiamy tożsamość {{LinkWzór|23.25}} do rozwiniętego "keta" względem kąta obrotu &theta; w szereg Taylora według wzoru {{LinkWzór|23.23}}:
{{CentrujWzór|<MATH>|q\rangle'=|q>+\theta\left(i{{\hat{L}_z}\over{\hbar}}\right)|q\rangle+{{\theta^2}\over{2!}}\left(i{{\hat{L}_z}\over{\hbar}}\right)^2|q\rangle+...=\left\{1+\theta\left(-i{{\hat{L}_z}\over{\hbar}}\right)|q\rangle+{{\theta^2}\over{2!}}\left(-i{{\hat{L}_z}\over{\hbar}}\right)^2+...\right\}|q\rangle=\;</MATH>{{Br}}
<MATH>=e^{-i\theta{{\hat{L}_z}\over{\hbar}}}|q\rangle\;</MATH>|23.26}}
A zatem operator transformacyjny, według szeregu {{LinkWzór|23.26}}, który można zapisać w postaci zwartej, który działa na ket, i który jest szukanym operatorem {{Formuła|<MATH>\hat{T}\;</MATH>}}.
Uogólnimy nasz wniosek, czyli wzór {{LinkWzór|23.26}} na dowolną oś obrotu równoległą do wektora {{Formuła|<MATH>\vec{n}\;</MATH>}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{T}=e^{-i\theta{{\vec{n}\hat{L}}\over{\hbar}}}\;</MATH>|23.27}}
Jeśli  ma być spełnione prawo zachowania momentu pędu, czyli Hamiltonian ma być niezmienniczy przy transformacji generowanej przez operator {{Formuła|<MATH>\hat{L}\;</MATH>}}, to musi być spełniony warunek:
{{CentrujWzór|<MATH>0=[H,\vec{n}\hat{L}]=[H,\hat{L}_x]\cos\alpha+[H,\hat{L}_y]\cos\beta+[H,\hat{L}_z]\cos\gamma\;</MATH>|23.28}}
co ma być spełnione dla dowolnego wektora {{Formuła|<MATH>\vec{n}\;</MATH>}}:
{{CentrujWzór|<MATH>0=[\hat{L}_x,H]=[\hat{L}_y,H]=[\hat{L}_z,H]\;</MATH>|23.29}}
Jeśli uwzględnimy  spin cząstki, jeśli jakaś cząstka posiada (np. elektrony), tzn. całkowity moment pędu jest równa sumie orbitalnego momentu pędu i spinowego momentu pędu, zatem równanie na tą wielkość zapisujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{J}_z=\hat{L}_z+\hat{S}_z\;</MATH>|23.310}}
to dla osi "z' prawo całkowiego zachowania momentu pędu, czyli korzystając ze związku {{LinkWzór|23.310}}, jest wyrażone  przez równanie komutacyjne jako suma dwóch komutatorów:
{{CentrujWzór|<MATH>[\hat{L}_z,\hat{H}]+[\hat{S}_z,\hat{H}]=0\;</MATH>|23.31}}

== Przesunięcia w przestrzeni euklidesowej, a prawo zachowania pędu ==
Wcześniej wprowadziliśmy operator obrotu, a teraz wprowadźmy operator przesunięcia w przestrzeni {{LinkWzór|23.1}}.
Przy przesunięciu o dowolny odcinek pewnego układ współrzędnych, musi być spełniony warunek: {{Formuła|<MATH>|q(x)\rangle'=|q(x-a)\rangle\;</MATH>}}, co piszemy:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{T}|q(x)\rangle=|q(x-a)\rangle\;</MATH>|23.32}}
Po rozwinięciu w szereg Taylora prawej strony wyrażenia {{LinkWzór|23.32}} względem zmiennej {{Formuła|<MATH>-a\;</MATH>}}, wtedy działania można napisać wedle:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{T}|q(x)\rangle=|q(x)\rangle+(-a){{\partial |q(x)\rangle}\over{\partial x}}+{{(-a)^2}\over{2!}}{{\partial^2|q(x)\rangle}\over{\partial x^2}}+...=e^{-a{{\partial}\over{\partial x}}}|q(x)\rangle\;</MATH>|23.33}}
Operator przesunięcia {{Formuła|<MATH>\hat{T}\;</MATH>}}, na podstawie wyrażenia {{LinkWzór|23.33}} można przedstawić:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{T}=e^{i{{a}\over{\hbar}}i\hbar{{\partial}\over{\partial x}}}=e^{-i{{{a}}\over{\hbar}}\hat{p}_x}\;</MATH>|23.35}}
Jeśli uogólnimy to dla wektora operatora pędu, to operator transformacji podczas przesunięcia starego układu współrzędnych o wektor {{Formuła|<math>\vec{a}\;</MATH>}} jest napisany wedle schematu:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{T}=\hat{T}_x\hat{T}_y\hat{T}_z=e^{-i{{{a_x}}\over{\hbar}}\hat{p}_x}e^{-i{{{a_y}}\over{\hbar}}\hat{p}_y}e^{-i{{{a_z}}\over{\hbar}}\hat{p}_z}=
e^{-i{{a_x\hat{p}_x+a_y\hat{p}_y+a_z\hat{p}_z}\over{\hbar}}}=e^{-i{{{\vec{a}}}\over{\hbar}}\hat{p}}\;</MATH>|23.35a}}
Tak więc, jeśli Hamiltonian jest niezmienniczy, to komutacja hamiltonianu ze wszystkimi współrzędnymi z osobna jest równa zero, co można zapisać:
{{CentrujWzór|<MATH>[\hat{H},\hat{p}_x]=[\hat{H},\hat{p}_y]=[\hat{H},\hat{p}_z]=0\;</MATH>|23.36}}
Na podstawie {{LinkWzór|23.37}} średni pęd układu jest zachowany.

== Transformacja inwersji przestrzeni, a prawo zachowania parzystości ==
Definicja działania operatora inwersji {{Formuła|<MatH>\hat{P}\;</MATH>}} na funkcję falową {{Formuła|<MATH>\psi(\vec{r})\;</MATH>}} jest przedstawiana:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{P}\psi(\vec{r})=\psi(-\vec{r})\;</MATH>|23.37}}
Widzimy, że podczas działania operatora inwersji argument naszej funkcji falowej, czyli wektor położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} zmienia się na wartość z minusem.

Jeśli jeszcze raz podziałamy operatorem parzystości obustronnie na równość {{LinkWzór|23.37}}, który przedstawia działanie operatora parzystości:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{P}^2\psi(\vec{r})=\hat{P}\psi(-\vec{r})=\psi(\vec{r})\;</MATH>|23.38}}
Stąd według wyrażenia {{LinkWzór|23.38}}, dwa razy działanie operatora inwersji na funkcję falową powoduje, że otrzymamy taką samą funkcję jak przez działaniem, zatem kwadrat operatora inwersji jest operatorem tożsamościowym, co napiszemy poniżej:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{P}^2=I\;</MATH>|23.39}}
Równanie własne operatora inwersji, jak każde inne równanie własne mozemy je przestawić przy pomocy jej wartości własnej:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{P}\psi(\vec{r})=\pi\psi(\vec{r})\;</MATH>|23.40}}
Jeśli podziałamy obustronnie operatorem inwersji ponownie na równanie własne {{LinkWzór|23.40}} korzystając jeszcze raz {{LinkWzór|23.41}} oraz z liniowości operatora inwersji:
{{CentrujWzór|<math>\hat{P}^2\psi(\vec{r})=\hat{P}\pi\psi(\vec{r})\Rightarrow \psi(\vec{r})=\pi\hat{P}\psi(\vec{r})\Rightarrow \psi(\vec{r})=\pi^2\psi(\vec{r})\;</math>|23.41}}
Aby powyższe równanie było prawdziwą tożsamością dla dowolnego {{Formuła|<MATH>\psi(\vec{r})\;</math>}},  że kwadrat operatora inwersji jest równa jeden wedle {{LinkWzór|23.41}}, to musi na pewno zachodzić:
{{CentrujWzór|<MATH>\pi^2=1\;</MatH>|23.42}}
Na podstawie {{LinkWzór|23.42}} wartością własną operatora inwersji, która jest wartością własną równania własnego {{LinkWzór|23.40}}, przyjmująca dwie wartości:
{{CentrujWzór|<Math>\pi=-1,1\;</MATH>|23.43}}
Operatory hamiltonianu i inwersji są operatorami inwersji komutującymi, jeśli założymy, że hamiltonian jest operatorem parzystym, tzn. {{Formuła|<Math>\hat{H}(\vec{r})=\hat{H}(-\vec{r})\;</MATH>}}, którego dowód przeprowadzimy poniżej:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{P}\hat{H}(\vec{r})\psi(\vec{r})=\hat{H}(-\vec{r})\psi(-\vec{r})=\hat{H}(\vec{r})\psi(-\vec{r})=\hat{H}(\vec{r})\hat{P}\psi(\vec{r})\Rightarrow \left(\hat{P}\hat{H}-\hat{H}\hat{P}\right)\psi(\vec{r})=0\;</MATH>|23.44}}
Na podstawie obliczeń, które przeprowadziliśmy w punkcie {{LinkWzór|23.44}} i samej definicji komutatora dostajemy, że operator całkowitej energii i operator hamiltonianu komutują ze sobą, czyli te operatory wobec siebie są przemienne:
{{CentrujWzór|<MATH>[H,\hat{P}]=0\;</MATH>|23.45}}
Co oznacza, że operator inwersji {{Formuła|<MATH>\hat{P}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MATH>}} mają jednakowe funkcje własne.
Podziałajmy operatorem {{Formuła|<MATH>\hat{P}\;</MATH>}} na funkcję {{Formuła|<MATH>\hat{H}\psi(r)\;</MATH>}}, korzystając przy tym, że hamiltonian {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MATH>}} komutuje z operatorem inwersji {{Formuła|<MATH>\hat{P}\;</MATH>}}, to otrzymamy pewne wyrażenie z funkcją {{Formuła|<MATH>\hat{H}\psi(r)\;</MATH>}} i przy nim stojącym czynnikiem {{Formuła|<MATH>\pi\;</MATH>}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{P}(\hat{H}\psi(r))=\hat{H}\hat{P}\psi=\hat{H}\pi\psi(r)=\pi(\hat{H}\psi(r))\;</MATH>|23.46}}
Z powyższych obliczeń wynika własność:
{{CentrujWzór|<MATH>\pi=(-1)^p\;</MATH>|23.47}}
A więc dla p parzystych wartość własna operatora parzystości jest {{Formuła|<MATH>\pi=1\;</MATH>}}, a dla p nieparzystych zachodzi {{Formuła|<MATH>\pi=-1\;</MATH>}}.

Napiszmy funkcję, która jest rozwiązaniem pewnego równania, która dzieli się na cześć radialną i kątową, która przy założeniu naszym musi być funkcją kulistą.
{{CentrujWzór|<MATH>\psi_{nlm}=f_n(r)Y_{lm}(\theta\phi)\;</MATH>|23.48}}
Korzystając z {{LinkWzór|7.90|Postulat_drugi_mechaniki_kwantowej}} i {{LinkWzór|7.105|Postulat_drugi_mechaniki_kwantowej}} oraz korzystając z tego że zmienna u jest równa dokładnie wyrażeniu {{Formuła|<MATH>\cos\phi\;</MATH>}}, a zatem napiszmy czemu jest równe to wyrażenie:
{{CentrujWzór|<MATH>Y(180^o+\theta,180^o-\phi)=e^{im(180^o+\theta)}(1-u(180^o-\phi)^2)^{|m|}{{d^{l+|m|}}\over{du^{l+|m|}(180^o-\phi)}}\left\{(1-u(180^o-\phi)^2)^l\right\}=\;</MATH>{{Br}}
<MATH>=(-1)^me^{im\theta}(1-u^2)^{|m|}{{1}\over{(-1)^{l+|m|}}}{{d^{l+|m|}}\over{du^{l+|m|}}}\left\{(1-u^2)^l\right\}={{(-1)^m}\over{(-1)^{l+|m|}}}Y_{lm}(\theta\phi)\;</MATH>|23.49}}
Gdy magnetyczna liczba kwantowa {{Formuła|<MATH>m\;</MATH>}} jest większa lub równa zero, to współczynnik w równaniu {{LinkWzór|23.49}} ma się:
{{CentrujWzór|<MATH>{{(-1)^m}\over{(-1)^{l+|m|}}}=(-1)^{-l}=(-1)^l\;</MATH>|23.50}}
Gdy magnetyczna liczba kwantowa {{Formuła|<MATH>m\;</MATH>}} jest mniejsza niż zero, to współczynnik w równaniu {{LinkWzór|23.49}} ma się:
{{CentrujWzór|<MATH>{{(-1)^m}\over{(-1)^{l+|m|}}}={{({-1})^m}\over{(-1)^{l-m}}}=(-1)^{m-l+m}=(-1)^{-l+2m}=(-1)^{l}\;</MATH>|23.51}}
Z własności funkcji sferycznych (na podstawie {{LinkWzór|23.50}} lub {{LinkWzór|23.51}}), wynika:
{{CentrujWzór|<MATH>Y(180^o+\theta,180^o-\phi)=(-1)^lY_{lm}(\theta\phi)\;</MATH>|23.52}}
A teraz podziałajmy operatorem inwersji na funkcję falową zdefiniowanej za pomocą funkcji falowej zdefiniowaną wedle wzoru {{LinkWzór|23.49}} jako iloczynu funkcji radialnej i funkcji kulistej:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{P}\psi_{nlm}(\vec{r})=\psi_{nlm}(-\vec{r})=f_n(r)Y(180^o+\theta,180^o-\phi)\;</MATH>|23.53}}
Według wzoru {{LinkWzór|23.53}} (działania operatorem inwersji na funkcję falową), korzystając przy tym z równania {{LinkWzór|23.52}} (czemu jest równe Y(180{{Sup|o}}+&theta;,180{{Sup|o}}-&phi;)), wtedy:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{P}\psi_{nlm}(r)=(-1)^l\psi_{nlm}(r)\;</MATH>|23.54}}
Z stąd wniosek na podstawie równania {{LinkWzór|23.54}}, który mamy na pewno, że wartość własna zależna od orbitalnej liczby kwantowej, która jest wykładnikiem potęgi o podstawie równej minus jeden:
{{CentrujWzór|<MATH>\pi=(-1)^l\;</MATH>|23.55}}
Co jest wartością własną rozwiązania operatora parzystości funkcji własnej {{LinkWzór|23.48}}, a która z kolei jest iloczynem funkcji radialnej i funkcji kulistej Y{{Sub|lm}}(&theta;&phi;).
Ponieważ operator parzystości nie zależy od czasu, a także  operator całkowitej energii całkowitej (hamiltonian) (hamiltonian jest parzysty) komutuje według z nim według {{LinkWzór|23.45}}, według wzoru {{LinkWzór|12.4|Równanie_Ehrenfesta}} operator parzystości jest niezależny od czasu.

<noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>