Tekst źródłowy strony Mechanika kwantowa/Kwantowa teoria całkowitego momentu pędu

<noinclude><!--
-->{{SkomplikowanaStronaStart<!--
      -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!--
-->}}</noinclude>

Przedstawimy tutaj kwantową teorię momentu pędu, przy sumowaniu odpowiedniej liczby momentów pędu. Zapoznamy się ze współczynniki Clebscha-Gordona (sumowanie dwóch wektorów momentu pędu) i współczynniki Racah (sumowanie trzech wektorów momentu pędu).

== Dodawanie dwóch momentów pędu a współczynniki Clebscha-Gordona ==
Mamy dwie wartości własne operatora momentu pędu {{Formuła|<MATH>\vec{j}_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{j}_2\;</MATH>}}, to suma tych wektorów momentów pędu jest przedstawiona:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{J}=\vec{j}_1+\vec{j}_2\;\;</MATH>|21.1}}
Całkowita liczba kwantowa charakteryzujący kwadrat całkowitego momentu pędu jest napisana poprzez cząstkowe liczby kwantowe charakteryzujące momenty pędu dla dwóch cząstek:
{{CentrujWzór|<MATH>J=|j_1-j_2|,|j_1-j_2+1|,...,j_1+j_2-1,j_1+j_2\;\;</MATH>|21.2}}
A magnetyczne liczby kwantowe zetowej współrzędnej operatora momentu pędu względem cząstkowych wartości liczb kwantowych charakteryzujący cząstkowe kwadraty momentów pędów są przestawione:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>-j_1\leq m_1 \leq j_2\;\;</MATH>|21.3}}|2={{CentrujWzór|<MATH>-j_2\leq m_2\leq j_2\;\;</MATH>|21.4}}}}
Całkowita liczba magnetyczna orbitalnego momentu pędu jest:
{{CentrujWzór|<MATH>M=m_1+m_2\;\;</MATH>|21.5}}
Można udowodnić, że całkowita magnetyczna liczba falowa spełnia warunek:
{{CentrujWzór|<MATH>-j_1-j_2\leq M\leq j_1+j_2\;</MATH>|21.6}}

Funkcja falowa, po złożeniu dwóch  momentów pędu operatora całkowitego momentu pędu w zależności od funkcji falowej cząstkowych operatorów momentu pędu {{Formuła|<MATH>|j_1m_1\rangle\mbox{ i }|j_2m_2\rangle\;\;</MATH>}}, można ją przestawić jako:
{{CentrujWzór|<MATH>|(j_1j_2)JM\rangle=\sum^{m_1=j_1}_{m_1=-j_1}\sum^{m_2=j_2}_{m_2=-j_2}(j_1m_1,j_2m_2|JM)|j_1m_1\rangle|j_2m_2\rangle\;\;</MATH>|21.7}}
Sumowanie {{LinkWzór|21.7}} jest tak dokonane, by liczba kwantowa całkowitego operatora momentu pędu oraz całkowita magnetyczna liczba kwantowa miały pewną określoną wartość przy ustalonych wartościach momentów magnetycznych cząstkowych.

Współczynniki {{Formuła|<MATH>(j_1m_1,j_2m_2|JM)\;</MATH>}} nazywamy '''współczynnikami Clebscha-Gordona'''.

=== Ortogonalizacja współczynników Clebscha-Gordona ===
Współczynniki Clebscha-Gordona są symetryczne, tzn. mają wartości rzeczywiste, tzn. współczynnik Clebscha-Gordona ze w sprzężeniem  hermitowskim jest równy współczynnikowi bez tego sprzężenia, tzn.:
{{CentrujWzór|<MATH>(j_1m_1j_2m_2|JM)=(JM|j_1m_1j_2m_2)\;</MATH>|21.8}}
Relacje ortogonalizacji współczynników Clebscha-Gordona spełniają zależności:
{{CentrujWzór|<math>
  \sum_{J=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2} \sum_{M=-J}^{J}
  \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M \rangle \langle J M|j_1 m_1' j_2 m_2'\rangle
   = \delta_{m_1,m_1'}\delta_{m_2,m_2'}
\;</MATH>|21.9}}
A  także spełniają drugą własność:
{{CentrujWzór|<math>
  \sum_{m_1m_2} \langle J M|j_1 m_1 j_2 m_2\rangle
                \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J' M' \rangle
   = \delta_{J,J'}\delta_{M,M'}.
\;</MATH>|21.10}}

Przy czym w {{LinkWzór|21.9}} i {{LinkWzór|21.10}} skorzystaliśmy z operatora jedynki zdefiniowanego w {{LinkWzór|20.33|Wprowadzenie_do_teorii_wektorów_Diraca}}.

=== Tabela współczynników Clebscha-Gordona ===
Współczynniki Clebscha-Gordona w sposób bardziej ogólny można je zapisać według wzoru:
{{CentrujWzór|<MATH>(j_1m_1j_2m_2|JM)=\sqrt{{{(2J+1)(J+j_1-j_2)!(J-j_1+j_2)!(j_1+j_2-J)!(J-M)!(J+M)!}\over{(J+j_1+j_2+1)!}}}\cdot\;</MATH>
<MATH>\times\sqrt{(j_1+m_1)!(j_2+m_2)!(j_1-m_1)!(j_2-m_2)!}\cdot\;</MATH>
<math>\cdot\sum_n{{(-1)^n}\over{n!(j_1+j_2-J-n)!(j_1-m_1-n)!(J-j_2+m_1+n)!(j_2+m_2-n)!(J-j_1-m_2+n)!}}\;</MATH>|21.11}}
Wzory rekurencyjne w bardziej szczególnych przypadkach można przedstawić:
{{CentrujWzór|<MATH>(j_1m_1j_2m_2|JM)=(j_2-m_2j_1-m_1|J-M)\;\;</MATH>|21.12}}
{{CentrujWzór|<MATH>(j_1m_1j_2m_2JM)=(-1)^{j_1+j_2-J}(j_2m_2j_1m_1|JM)\;</MATH>|21.13}}
{{CentrujWzór|<MATH>(j_1m_1j_2m_2|JM)=(-1)^{j_1+j_2-J}(j_1-m_1j_2-m_2|J-M)\;</MATH>|21.14}}
{{CentrujWzór|<MATH>(j_1m_1j_2m_2|JM)=(-1)^{j_1-m_1}\sqrt{{{2J+1}\over{2j_2+1}}}(j_1m_1J-M|j_2-m_2)\;</MATH>|21.15}}
{{CentrujWzór|<MATH>(j_1m_1j_2m_2|JM)=(-1)^{j_2+m_2}\sqrt{{{2J+1}\over{2j_1+1}}}(J-Mj_2m_2|j_1-m_1)\;</MATH>|21.16}}
{{CentrujWzór|<MATH>(j_1m_1j_2m_2|JM)=(-1)^{j_1-m_1}\sqrt{{{2J+1}\over{2j_2+1}}}(j_1-m_1JM|j_2m_2)\;</MATH>|21.17}}
{{CentrujWzór|<MATH>(j_1m_1j_2m_2|JM)=(-1)^{j_2+m_2}\sqrt{{{2J+1}\over{2j_1+1}}}(j_2-m_2JM|j_1m_1)\;</MATH>|21.18}}

== Dodawanie trzech momentów pędu a współczynniki Racah ==
Złożenie trzech wektorów momentów pędu można przedstawić, jeśli najpierw będziemy dodawać liczby kwantowe operatorów momentów pędu {{Formuła|<MATH>j_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>j_2\;</MATH>}} w sposób odpowiedni do {{Formuła|<MATH>J_{12}\;</MATH>}}, to funkcja falowa całkowitego momentu pędu przy określonych liczbach kwantowych cząstkowych dwóch pierwszych momentów pędu, przy określonym {{Formuła|<MATH>J_{12}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>J\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>M\;</MATH>}} spełnia zależność: 
{{CentrujWzór|<math>
 |((j_1j_2)J_{12}j_3)JM\rangle = \sum_{M_{12}=-J_{12}}^{J_{12}} \sum_{m_3=-j_3}^{j_3}
   |(j_1j_2)J_{12}M_{12}\rangle |j_3m_3\rangle \langle J_{12}M_{12}j_3m_3|JM\rangle
\;</MATH>|21.19}}
Także dodając najpierw liczby kwantowe {{Formuła|<MATH>j_2\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>j_3\;</MATH>}} (dwóch ostatnich momentu pędu) odpowiednio do {{Formuła|<MATH>J_{23}\;</MATH>}},  dostajemy:
{{CentrujWzór|<math>
 |(j_1,(j_2j_3)J_{23})JM \rangle = \sum_{m_1=-j_1}^{j_1} \sum_{M_{23}=-J_{23}}^{J_{23}}
 |j_1m_1\rangle |(j_2j_3)J_{23}M_{23}\rangle \langle j_1m_1J_{23}M_{23}|JM\rangle
\;</MATH>|21.20}}
Wiemy jednak, że cząstkowe liczby kwantowe zetowego operatora momentu pędu spełniają warunki:
{{CentrujWzór|<math>m_1=-j_1,\ldots,j_1;\;\; m_2=-j_2,\ldots,j_2;\;\; m_3=-j_3,\ldots,j_3.
\;</MATH>|21.21}}
Współczynniki: {{Formuła|<MATH>\langle J_{12}M_{12}j_3m_3|JM\rangle\;</MATH>}} a także: {{Formuła|<MATH>\langle j_1m_1J_{23}M_{23}|JM\rangle\;</MATH>}} nazywamy '''współczynnikami Racah'''.

== Model jednocząstkowego momentu magnetycznego ==
Związek między operatorem orbitalnego momentu pędy lub spinowego momentu pędu z jego momentem magnetycznym dla orbity lub dla spinu przedstawiamy dla tych dwóch rodzajów momentów pędu:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\hat{\mu}_l=-{{e}\over{2m_e}}\hat{l}\;</MATH>&nbsp;''':orbita'''|21.22}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\hat{\mu}_s=-{{e}\over{m_e}}\hat{s}\;</MATH>&nbsp;''':spin'''|21.23}}}}
Całkowity operator momentu magnetycznego na podstawie {{LinkWzór|21.22}} i {{LinkWzór|21.23}}, jest w postaci
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{\mu}=\hat{\mu}_l+\hat{\mu}_s=-{{e}\over{2m_e}}\hat{l}-{{e}\over{m_e}}\hat{s}=-{{e}\over{2m_e}}(\hat{l}+2\hat{s})=-\mu_B(\hat{l}+2\hat{s})=-\mu_B(\hat{l}+\hat{s}+\hat{s})=-\mu_B(\hat{j}+\hat{s})\;</MATH>|21.24}}
*gdzie:
{{CentrujWzór|<MATH>\mu_B={{e}\over{2m_e}}\;</MATH>|21.25}}
Przepis {{LinkWzór|21.25}} nazywamy '''magnetonem Bohra'''.
Jeśli mamy wektor w przestrzeni Hilberta, jako {{Formuła|<MATH>|lm_1sm_2\rangle\;</MATH>}}, to działając  na niego zetowym operatorem momentu magnetycznego, wtedy:
{{CentrujWzór|<MATH>\mu_z|lm_1sm_2\rangle=-\mu_B(m_1+2m_2)|lm_1sm_2\rangle\;</MATH>|21.26}}
Wartość średnia momentu magnetycznego zetowego jest przedstawiona w sposób:
{{CentrujWzór|<MATH>\overline{s}_z=\langle (ls)jm|\hat{s}_z|(ls)jm\rangle=
\sum_{m_1m^'_2}(lm_1sm_2|jm)(lm_1^'sm_2^'|jm)(lm_1|lm_1^')(sm_2|s_z|sm_2^')=\;</MATH><BR><MATH>=\sum_{m_1m_1^'}(lm_1sm_2|jm)(lm_1^'sm_2^'|jm)\delta_{m_1^'m_1^'}\delta_{m_2m_2^'}m_2^'=\sum_{m_1}m_2(lm_1sm_2|jm)^2\;</MATH>|21.27}}
To średnia wartość momentu magnetycznego współrzędnej zetowej, wykorzystując przy tym {{LinkWzór|21.24}}, jest równa:
{{CentrujWzór|<MATH>\langle(ls)jm|\hat{\mu}_z|(ls)jm\rangle=-\langle(ls)jm|\mu_B(\hat{j}_z+\hat{s}_z)|(ls)jm\rangle=-\mu_B\langle(ls)jm|\hat{j}_z|(ls)jm\rangle-\mu_B\langle(ls)jm|\hat{s}_z|(ls)jm\rangle=\;</MATH><BR><MATH>=-\mu_Bm-\mu_B\langle(ls)jm|\hat{s}_z|(ls)jm\rangle\;</MATH>|21.28}}
Wykorzystując wzory Clebscha-Gordona do wyrażenia {{LinkWzór|21.27}}, otrzymujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>\langle(ls)jm|\hat{s}_z|(ls)jm\rangle=\pm{{m}\over{2l+1}}\;</MATH>|21.29}}
Mając średnią wartość na moment spinowy {{LinkWzór|21.29}}, to można policzyć  średni całkowity moment magnetyczny według wzoru na średnią wartość zetowego momentu magnetycznego wedle wzoru {{LinkWzór|21.28}}.
{{CentrujWzór|<MATH>\overline{\mu}_z=\langle(ls)jm|\hat{\mu}_z|(ls)jm\rangle=-\mu_B m\mp\mu_B{{m}\over{2l+1}}=-\mu_Bm\left(1\pm{{1}\over{2l+1}}\right)\;</MATH>|21.30}}
Przyjmuje się według umowy, że moment magnetyczny określamy dla stanu, w którym zetowy moment pędu, a właściwie liczba kwantowa charakteryzująca ten stan, tzn. magnetyczna liczba kwantowa, odpowiedzialnej za zetowy całkowity moment pędu, jest równy całkowitej liczbie kwantowej momentu pędu {{Formuła|<MATH>j=m\;</MATH>}}, to wzór {{LinkWzór|21.30}} przyjmuje postać:
{{CentrujWzór|<MATH>\overline{\mu}_z=-\mu_B(m=j)\left(1\pm{{1}\over{2l+1}}\right)=-\mu_Bj\left(1\pm{{1}\over{2l+1}}\right)=-\mu_Bjg\;</MATH>|21.31}}
*Współczynnik giromagnetyczny przyjmuje postać:
{{CentrujWzór|<MATH>g=1\pm{{1}\over{2l+1}}\;</MATH>|21.32}}

Ogólnie współczynnik giromagnetyczny, uwzględniający te dwa przypadki wedle wzoru {{LinkWzór|21.32}} (tzn. z plusem lub z minusem), można zapisać  w sposób bardziej ogólny według schematu:
{{CentrujWzór|<MATH>g=1+{{j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)}\over{2j(j+1)}}\;</MATH>|21.33}}
Całkowity moment pędu "j"jest zależny od orbitalnej liczby kwantowej "l" i spinowej "s" (spin elektronu ma dwa wykluczające sie zwroty) przestawiamy przepisami przy załozeniu, że całkowity moment pędu "j" przedstawiamy w dwojaki sposób:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>j=l+{{1}\over{2}}\;</MATH>|21.34a}}|2={{CentrujWzór|<MATH>j=l-{{1}\over{2}}\;</MATH>|21.34b}}|3={{CentrujWzór|<MATH>s={{1}\over{2}}\;</MATH>|21.35}}}}
Udowodnimy, że dla tych "s" {{LinkWzór|21.35}} i "j" {{LinkWzór|21.34a}} nasz współczynnik giromagnetyczny {{LinkWzór|21.33}} przechodzi w poprzedni współczynnik giromagnetyczny {{LinkWzór|21.32}}, wzbierajc tam plus, który jest zależny tylko od l:
{{CentrujWzór|<MATH>g_{j=l+{{1}\over{2}},s={{1}\over{2}}}=1+{{j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)}\over{2j(j+1)}}=
1+{{(l+{{1}\over{2}})(l+{{1}\over{2}}+1)-l(l+1)-{{3}\over{4}}}\over{2(l+{{1}\over{2}})(l+{{1}\over{2}}+1)}}=\;</MATH><BR><MATH>=1+{{(l+{{1}\over{2}})(l+{{3}\over{2}})-l(l+1)-{{3}\over{4}}}\over{2(l+{{1}\over{2}})(l+{{3}\over{2}})}}=1+{{l^2+{{3}\over{2}}l+{{1}\over{2}}l+{{3}\over{4}}-l^2-l+{{3}\over{4}}}\over{2(l+{{1}\over{2}})(l+{{3}\over{2}})}}=1+{{l+{{3}\over{2}}}\over{2(l+{{1}\over{2}})(l+{{3}\over{2}})}}=\;</MATH><BR><MATH>=
1+{{l+{{3}\over{2}}}\over{2(l+{{1}\over{2}})(l+{{3}\over{2}})}}=1+{{1}\over{2l+1}}\;</MATH>|21.36}}
Udowodniliśmy, że ogólnej postaci nasz współczynnik giromagnetyczny {{LinkWzór|21.36}} wyraża się wzorem {{LinkWzór|21.32}} (wybierając tam plus) dla całego zestawy {{Formuła|<MATH>l\;</MATH>}}.
Udowodnimy, że dla tych s {{LinkWzór|21.35}} i j {{LinkWzór|21.34b}} nasz współczynnik giromagnetyczny {{LinkWzór|21.33}} przechodzi w poprzedni współczynnik giromagnetyczny {{LinkWzór|21.32}}, wzbierajc tam minus, który jest zależny tylko od l.
{{CentrujWzór|<math>g_{j=l-{{1}\over{2}},s={{1}\over{2}}}=1+{{j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)}\over{2j(j+1)}}=
1+{{(l-{{1}\over{2}})(l-{{1}\over{2}}+1)-l(l+1)+{{3}\over{4}}}\over{2(l-{{1}\over{2}})(l-{{1}\over{2}}+1)}}=\;</MATH><BR><MATH>=1+{{l^2+{{1}\over{2}}l-{{1}\over{2}}l-{{1}\over{2}}-l^2-l+{{3}\over{4}}}\over{2(l-{{1}\over{2}})(l+{{1}\over{2}})}}=1-{{l-{{1}\over{2}}}\over{2(l-{{1}\over{2}})(2l+1)}}=1-{{1}\over{2l+1}}\;</MATH>|21.37}}
Udowodniliśmy, że ogólnej postaci nasz współczynnik giromagnetyczny {{LinkWzór|21.37}} wyraża się wzorem {{LinkWzór|21.32}} (wybierając tam minus) dla calego zestawy {{Formuła|<MATH>l\;</MATH>}}.

W ogólnym przypadku moment magnetyczny cząstki przedstawiamy za pomocą współczynnika żyromagnetycznego orbitalnego {{Formuła|<MATH>g_l\;</MATH>}} i współczynnika żyromagnetycznego  {{Formuła|<MATH>g_s\;</math>}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{\mu}=g_l\hat{l}+g_s\hat{s}=g_l(\hat{j}-\hat{s})+g_s\hat{s}=
g_l\hat{j}+g_s\hat{s}-g_l\hat{s}=g_l\hat{j}+(g_s-g_l)\hat{s}\;</MATH>|21.38}}
Dokonując podobnych rachunków jak poprzednio, możemy dojść do wniosku:
{{CentrujWzór|<MATH>g=g_l\pm{{g_s-g_l}\over{2l+1}}\;</MATH>|21.39}}

== Energia sprzężenia spin-orbita w polu magnetycznym ==
Energia układu o  pewnym momencie magnetycznym przedstawiana jest wzorem {{LinkWzór|18.5|Doświadczenie_Sterna-Gerlacha_i_efekt_Zeemana}}, zatem operator energii jednocząstkowego modelu w polu magnetycznego zapisujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}=\hat{H}_0+D\hat{l}\hat{s}+{{e}\over{2m_e}}\vec{B}\left(\hat{l}+2\hat{s}\right)\;</MATH>|21.40}}
*gdzie hamiltonian w {{LinkWzór|21.40}} w centralnym polu elektrycznym jądra atomowego wodoru.
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}_0=-{{\hbar^2}\over{2m_e}}\nabla^2-{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r^2}}\;</MATH>|21.41}}
Widzimy, że w hamiltonianie {{LinkWzór|21.40}} uwzględniono oddziaływanie orbity ze spinem elektronu (drugi wyraz naszego hamiltonianu {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MATH>}}), a także uwzględniono oddziaływanie całkowitego momentu magnetycznego (wraz z momentem magnetycznym pochodzących od spinu elektronu) z polem magnetycznym zewnętrznym (trzeci wyraz rozważanego hamiltonianu).

=== Energia sprzężenia spin-orbita w przypadku silnego pola magnetycznego ===
Jeśli pole magnetyczne jest takie, że w {{LinkWzór|21.40}} czwarty wyraz jest o wiele większy niż jego drugi składnik, biorąc pod uwagę, że kwantowe momenty pędu spinowego czy orbitalnego są rzędu stałej kreślonej Plancka.
{{CentrujWzór|<MATH>{{e\hbar}\over{2m_e}}>>|D|\hbar^2\;</MATH>|21.42}}
We wzorze {{LinkWzór|21.42}} uwzględniono, że oddziaływanie spin-orbita nie jest na tyle mocne od oddziaływania momentu magnetycznego elektronu w polu jadra atomowego w polu  silnego zewnętrznego pola magnetycznego.
W tym przypadku zaburzeniem w rachunku zaburzeń dla rozważanego hamiltonianu {{LinkWzór|21.40}} nazywamy wyrażenie:
{{CentrujWzór|<MATH>\delta \hat{H}=D\hat{l}\hat{s}\;</MATH>|21.43}}
Cały hamiltonian wraz zaburzeniem uwzględniający wzór {{LinkWzór|21.43}}, przyjmuje postać:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}=\hat{H}^'+\delta\hat{H}\;</MATH>|21.44}}
*gdzie pierwszy wyraz (operator) w {{LinkWzór|21.44}} jest hamiltonianem niezaburzonym i jest zdefiniowany:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}^'=\hat{H}_0+{{e\vec{B}}\over{2m_e}}(\hat{l}+2\hat{s})\;</MATH>|21.45}}
Jeśli założymy, że pole magnetyczne jest zwrócone wzdłuż osi z, to hamiltonian niezaburzony zdefiniowany wedle definicji {{LinkWzór|21.45}} zapisujemy w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}^'=\hat{H}_0+{{e B_z}\over{2m_e}}(\hat{l_z}+2\hat{s}_z)\;</MATH>|21.46}}
Równanie własne przy operatorze {{LinkWzór|21.46}} jest dobrze znane i rozwiązane jest podobne do tego, gdy nie ma spinowego momentu pędu wedle rozdziału [[Mechanika kwantowa/Doświadczenie Sterna-Gerlacha i efekt Zeemana|Doświadczenie Sterna-Gerlacha i efekt Zeemana]].
Energia własna operatora {{LinkWzór|21.46}} wraz zaburzeniem do tej energii przyjmuje postać:
{{CentrujWzór|<MATH>E=E^'+\delta E\;</MATH>|21.47}}
*gdzie {{Formuła|<MATH>E^'\;</MATH>}} jest to wartość własna dla równania własnego {{LinkWzór|21.46}}.
Energia własna hamiltonianu niezaburzonego jest zapisana:
{{CentrujWzór|<MATH>E^'=E_n+{{e \hbar B_z}\over{2m_e}}(m_l+2m_s)\;</MATH>|21.48}}
*Ale {{Formuła|<MATH>E_n\;</MATH>}} jest to dobrze znana energia rozpatrywana dla atomu wodoru bez uwzględniania jego spinu i bez oddziaływania spin-orbita.
A zaburzenie do energii, który należy dodać do wartości własnej hamiltonianu, która razem z tą poprawką jest opisywana przez hamiltonian zaburzony {{LinkWzór|21.47}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\delta E=D\langle nlm_lsm_s|\hat{l}\hat{s}|nlm_lsm_s\rangle\;</MATH>|21.49}}
Wyznaczmy więc to zaburzenie według wzoru {{LinkWzór|21.49}}, tak by wyznaczyć wzór {{LinkWzór|21.47}} na całkowitą energię zaburzonego hamiltonianu:
{{CentrujWzór|<MATH>\langle nlm_lsm_s|\hat{l}\hat{s}|nlm_lsm_s\rangle=
\sum_{j^'j}\langle lm_lsm_s|jm\rangle\langle lm_lsm_s|j^'m\rangle \langle nlsjm|\hat{l}\hat{s}|nlsj^'m\rangle=\sum_j{{\hbar^2}\over{2}}\left[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\right]{\langle lm_lsm_s|jm\rangle}^2=\;</MATH><BR><MATH>=(-1)^{m_s-{{1}\over{2}}}{{m_l}\over{2}}\hbar^2\;</MATH>|21.50}}
Wzór na całkowitą energię w silnym polu magnetycznym (założenie {{LinkWzór|21.42}}) przedstawia się:
{{CentrujWzór|<MATH>E=E_n+{{eB_z\hbar}\over{2m_e}}(m_l+2m_s)+(-1)^{m_s-{{1}\over{2}}}{{m_l}\over{2}}\hbar^2D\;</MATH>|21.51|Obramuj}}

=== Energia sprzężenia spin-orbita w przypadku słabego pola magnetycznego ===
Jeśli pole magnetyczne jest takie, że trzeci wyraz {{LinkWzór|21.40}} od drugiego wyrazu są takiego rzędu, że ten pierwszy jest o wiele mniejszy niż drugi: 
{{CentrujWzór|<MATH>{{e \hbar B_z}\over{2m_e}}<<|D|\hbar^2\;</MATH>|21.52}}
Powyżej wykorzystano, że momenty pędu, czy to spinowe, czy to orbitalnego momentu pędu są rzędu kreślonej stałej Plancka.
Widzimy, że pole magnetyczne jest na tyle słabe od oddziaływania spin-orbita, to Hamiltonian {{LinkWzór|21.40}} wraz zaburzeń zapisujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}=\hat{H}^'+\delta \hat{H}\;</MATH>|21.53}}
Pierwszy wyraz we wyrażeniu {{LinkWzór|21.53}} jest napisany wedle schematu:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}^'=\hat{H}_0+D\hat{l}\hat{s}\;</MATH>|21.54}}
Zaburzenie w {{LinkWzór|21.53}} (drugi wyraz) w całkowitym hamiltonianie zaburzonym jest równe:
{{CentrujWzór|<MATH>\delta\hat{H}={{eB_z}\over{2m_2}}(\hat{l}_z+2\hat{s}_z)\;</MATH>|21.55}}
Energia zaburzenia dla operatora zaburzonego {{LinkWzór|21.55}}, zapisujemy wedle wzoru {{LinkWzór|19.18|Rachunek_zaburzeń_dla_równania_Schrödingera_niezależnego_od_czasu}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\delta E=\langle nlsjm|\delta\hat{H}|nlsjm\rangle\;</MATH>|21.56}}
A całkowita energia układu jądra z elektronem jest równa energii jako wartości hamiltonianu niezaburzonego {{LinkWzór|21.54}} wraz zaburzeniem zdefiniowanym w punkcie {{LinkWzór|21.56}}.
{{CentrujWzór|<MATH>E=E^'+\delta E\;</MATH>|21.57}}
Wartość własna stanu niezaburzonego według poprawki obliczonej w {{LinkWzór|21.56}} cząstki ze spinem, gdy mamy oddziaływanie spinu z orbitą wedle wzoru {{LinkWzór|17.86|Kwantowy_oscylator_harmoniczny}}, mamy tutaj na myśli tylko samą poprawkę, tylko zamiast oscylatora harmonicznego tutaj mamy na myśli elektron krążący wokół jądra atomowego, ale poprawka jest ta sama.
{{CentrujWzór|<MATH>E^'=E_n+\hbar^2{{D}\over{2}}\left[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\right]\;</MATH>|21.58}}
Na podstawie wcześniej obliczonego średniej wartości zetowego momentu pędu {{Formuła|<MATH>\overline{\mu}_z\;</MATH>}} (spin i orbita) ale przedtem musimy wykorzystać definicję momentu magnetycznego {{LinkWzór|21.31}} ze współczynnikiem zdefiniowanej w sposób ogólny wedle wzoru {{LinkWzór|21.53}}, wtedy poprawka do energii własnej operatora energii, czyli wartości własnej zaburzenia hamiltonianu:
{{CentrujWzór|<MATH>\delta E={{em\hbar B_z}\over{2m_e}}\left[1+{{j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)}\over{2j(j+1)}}\right]\;</MATH>|21.59}}
Całkowita energia wraz z obliczonym zaburzeniem do energii hamiltonianu niezaburzonego {{LinkWzór|21.59}} jest równa:
{{CentrujWzór|<MATH>E=E_n+\hbar^2{{D}\over{2}}\left[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\right]+{{em\hbar B_z}\over{2m_e}}\left[1+{{j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)}\over{2j(j+1)}}\right]\;</MATH>|21.60|Obramuj}}

<noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>