Tekst źródłowy strony Matematyka dla liceum/Logika/Kwantyfikatory

<includeonly>= Kwantyfikatory =</includeonly>
{{Indeksuj|kwantyfikator}}
Kwantyfikatory umożliwiają zapisanie długich zdań w krótszej formie. Na przykład zdanie „kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest większy bądź równy {{math|0}}” możemy zapisać krócej <math> \forall_{x \in \mathbb{R}}\ x^2 \geq 0 </math>. Podobnie zdanie „sześcian każdej liczby całkowitej dodatniej jest większy od {{math|0}}”, możemy zapisać <math> \forall_{n \in \mathbb{Z_+}}\ n^3 > 0 </math> (zbiór liczb całkowitych dodatnich oznaczamy przez <math> \mathbb{Z_+}) </math>. Zdanie to przeczytamy „dla każdego {{math|x}} należącego do liczb całkowitych dodatnich, sześcian tej liczby jest większy od {{math|0}}”. Podamy teraz formalną definicję.

{{Indeksuj|kwantyfikator ogólny}}
{{Mat:Def|1=
'''Kwantyfikator ogólny''' oznaczamy przez <math> \forall_x </math>, mówi on, że dane stwierdzenie jest prawdziwe dla każdego {{math|x}}. Nazywany jest także '''kwantyfikatorem dużym''' lub '''kwantyfikatorem uniwersalnym'''.}}

Powróćmy teraz do pytania przedstawionego w poprzednim podrozdziale: jak zapisać za pomocą symboli matematycznych zdanie „każdy pies ma cztery łapy”? Jeśli zbiór wszystkich psów oznaczymy przez {{math|ZP}}, a liczbę łap psa {{math|p}} oznaczymy przez <math> \zeta(p) </math>, wówczas możemy napisać:
: <math> \forall_{p \in \mathbb{ZP}}\ \zeta(p) = 4 </math>.
Zdanie to przeczytamy tak: „dla każdego psa {{math|p}} należącego do zbioru wszystkich psów {{math|ZP}} liczba łap <math> \zeta(p) </math> wynosi {{math|4}}” lub bardziej po polsku „każdy pies ma cztery łapy”.

Czasami dane zdanie nie spełniają wszystkie liczby, lecz zaledwie jedna liczba np. istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat wynosi {{math|0}}. Jest to tylko jedna liczba -- samo {{math|0}}. Tak więc zdanie „istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat wynosi {{math|0}}” możemy zapisać za pomocą pewnego kwantyfikatora: <math>\exists_{x \in \mathbb{R}}\ x^2=0 </math>. Zdanie to przeczytamy „istnieje taka liczba {{math|x}} należąca do liczb rzeczywistych, że kwadrat tej liczby wynosi {{math|0}}”. Kwantyfikator ten (łatwo zauważyć, że został zapisany jako <math> \exist )</math> nazywany jest '''kwantyfikatorem szczegółowym'''. 

{{Indeksuj|kwantyfikator szczegółowy}}
{{Mat:Def|
'''Kwantyfikator szczegółowy''' oznaczamy przez <math> \exist_x </math>, mówi on, że istnieje takie ''x'', dla którego dane stwierdzenie jest prawdziwe. Nazywany jest także '''kwantyfikatorem małym''' lub '''kwantyfikatorem egzystencjalnym'''.}}

Innymi przykładami do których można zastosować kwantyfikator szczegółowy mogą być zdania:
* Istnieje liczba rzeczywista, która jest mniejsza od 10.
* Istnieje liczba całkowita, dodatnia, która jest podzielna przez 5.
* Istnieje liczba rzeczywista większa od 0.

A jak można napisać, że „są ludzie, którzy nie umieją liczyć”? Oznaczmy zbiór wszystkich ludzi jako {{math|L}} i zdanie {{math|q(l)}}, jako zdanie mówiące, że człowiek {{math|l}} umie liczyć. Teraz możemy napisać:
: <math> \exist_{l \in L}\ \neg q(l) </math>,
co przeczytamy nie uwzględniając kontekstu: „istnieje taki element {{math|l}} należący do zbioru {{math|L}}, że zdanie {{math|q(l)}}, nie jest prawdziwe”. Z kolei patrząc na kontekst możemy przeczytać: „istnieje taki człowiek {{math|l}} należący do zbioru wszystkich ludzi {{math|L}}, że człowiek ten nie umie liczyć” lub krócej „istnieją ludzie, którzy nie umieją liczyć”.

{{Indeksuj|kwantyfikator inne oznaczenia}}
{{Mat:Ciek|
Dosyć często '''kwantyfikator ogólny''' w polskich podręcznikach (w szczególności dla liceum) jest oznaczany przez <math> \bigwedge_x </math>(„dla każdego ''x''...”), a '''kwantyfikator szczegółowy''' przez <math> \bigvee_x </math>(„istnieje takie ''x'', że...”). Jednak te oznaczenia nie są stosowane w większości współczesnych książek. Natomiast używane przez nas oznaczenia kwantyfikatorów są międzynarodowe i pochodzą z języka angielskiego. <math>\forall</math> pochodzi od '''A'''ll (wszystkie), <math>\exist</math> od '''E'''xists (istnieje).}}

<noinclude>
{{Nawigacja|Matematyka dla liceum|
[[Matematyka dla liceum/Logika/Prawa rachunku zdań|Prawa rachunku zdań]]|
[[Matematyka dla liceum/Logika/Podsumowanie|Podsumowanie]]|
}}</noinclude>