Tekst źródłowy strony Matematyka dla liceum/Geometria analityczna/Okrąg i koło

Wprowadzamy następującą definicję okręgu:

Okrąg to figura geometryczna składająca się z wszystkich punktów których odległość od punktu S wynosi R. Punkt S nazywamy środkiem okręgu, a wartość R promieniem okręgu.

Analogicznie wprowadzamy definicję koła:

Koło to figura geometryczna składająca się z wszystkich punktów których odległość od punktu S wynosi R, lub jest mniejsza od R. Punkt S nazywamy środkiem koła, a wartość R promieniem koła.


Okrąg i koło można przedstawić w układzie współrzędnych jako rozwiązanie równania (okrąg) lub nierówności (koło).
Spróbujmy wyznaczyć '''równanie okręgu'''.
Niech punkt <math> S = (x_s, y_s) </math>
będzie środkiem okręgu, a <math>r > 0</math> jego promieniem.
Zgodnie z definicją okrąg to zbiór punktów odległych od <math> S </math> o <math> r </math>, zatem dla przykładowego punktu <math> P = (x, y) </math> możemy zdefiniować wektor <math> \overrightarrow{S P} = [x - x_s, y - y_s] </math>, którego długość będzie równa <math> r </math>. Czyli:

<math> \sqrt{ (x - x_s)^2 + (y - y_s)^2} = r</math>,

ponieważ obie strony równania są nieujemne możemy podnieść je równoważnie do kwadratu:

<math> (x - x_s)^2 + (y - y_s)^2 = r^2 </math>,

otrzymując równanie okręgu w postaci kanonicznej.

Wykonajmy podane działania:

<math> x^2 - 2x_s \cdot x + {x_s}^2 + y^2 - 2y_s \cdot y + {y_s}^2 = r^2</math>

Teraz podstawmy:

<math> a = -2*x_s, b = -2*y_s, c = {x_s}^2 + {y_s}^2 - r^2 </math>

i otrzymujemy:

<math> {x}^2 + y^2 + ax + by + c = 0 </math>

czyli równanie okręgu w postaci zredukowanej.

<noinclude>
{{Nawigacja|Matematyka dla liceum|
[[Matematyka dla liceum/Geometria analityczna/Odległość|Odległość]]|
[[Matematyka dla liceum/Geometria analityczna/Przecięcie prostej z okręgiem|Przecięcie prostej z okręgiem]]|
}}</noinclude>