Tekst źródłowy strony Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Pojęcie i własności logarytmu

== Logarytm ==
=== Pojęcie i własności logarytmu ===
{{Indeksuj|logarytm, definicja logarytmu}}
{{Mat:Def|
'''Logarytmem liczby dodatniej b przy podstawie a''', gdzie <math> a \in \mathbb{R}_+ \backslash \{1\} </math>, nazywamy wykładnik potęgi c, do której należy podnieść a, aby otrzymać b.
: <math> \log_a b=c \iff a^c=b </math>, dla <math>a>0</math> i <math>a \neq 1</math> i <math>b > 0</math>
: a jest podstawą logarytmu
: b jest liczbą logarytmowaną
: c jest wartością logarytmu 
}}
{{Indeksuj|własności logarytmu}}
Własności logarytmu:
* <math> a^{\log_a b} = b</math>
* <math> \log_a 1 = 0 </math>
* <math> \log_a a = 1 </math>
* <math> \log_a (mn) = \log_a m + \log_a n </math>
* <math> \log_a{m \over n} = \log_a m - log_a n</math>
* <math> \log_a{n^b} = b \log_a{n}</math>
* <math> \log_a b = \frac{ \log_c b}{ \log_c a } </math>
* <math>a > 1 \land \log_a b > \log_a c \iff b > c </math>
* <math>a < 1 \land \log_a b > \log_a c \iff b < c </math>
* warto dodać, że logarytm jest funkcją ciągłą


<big> '''Przykłady''' </big>

:<math>\log_{10} 100 = 2</math>
:<math>\log_{10} 10000 = 4 </math>
:<math> 100 < 1000 \quad 2 < 4 </math>

:<math> \log_{0.1}{0.01} = 2 </math>
:<math> \log_{0.1}{0.0001} = 4 </math>
:<math> 0.01 > 0.001 \quad 2 < 4</math>

:<math> \log_{10} 0.1 = -1 </math>
:<math> \log_{10} 0.01 = -2 </math>
:<math> 0.1 > 0.01 \quad -1 > -2 </math>

==== Logarytm naturalny i dziesiętny ====
{{Indeksuj|logarytm naturalny, logarytm dziesiętny}}
W praktyce najczęściej stosuje się logarytmy o podstawie 2, <math>e</math> oraz 10, stąd zapis:
* <math> \log_{10} a = \log a </math> - logarytm dziesiętny (alternatywnie Briggsa lub zwyczajny)
* <math> \log_e a = \ln a</math> - logarytm naturalny (którego podstawa <math>e = \lim_{n\to\infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n = 2.71828... </math>)
* <math> \log_{2} a = \lg a </math>

{{Uwaga|Oznaczenia <math>\log</math>, <math>\lg</math> oraz <math>\ln</math> mogą mieć inne niż powyższe znaczenie w literaturze obcojęzycznej, programach komputerowych i językach programowania!}}

==== Przybliżenia ====
{{Indeksuj|przybliżenia logarytmów}}
W obliczeniach chemicznych często przybliża się:
* <math> \log_{10} 2 \approx 0.3 </math>

<noinclude>
{{Nawigacja|Matematyka dla liceum|
[[Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie równań i nierówności wykładniczych|Rozwiązywanie równań i nierówności wykładniczych]]|
[[Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Funkcja logarytmiczna|Funkcja logarytmiczna]]|
}}</noinclude>