Tekst źródłowy strony Fale/Impulsy, paczki i modulacje fal

<noinclude><!--
-->{{SkomplikowanaStronaStart<!--
      -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!--
-->}}</noinclude>

Dotychczas rozważaliśmy drgania, które były drganiami harmonicznymi o jednej tylko częstości &omega;. Dowiedzieliśmy, że superpozycja fal o jednakowych amplitudach, ale o prawie jednakowych częstościach kołowych prowadzi do zjawiska dudnień. Omówimy tutaj zjawisko dudnień powstałych z nakładania się wielu fal o zbliżonych amplitudach. Jak się okazuje, że fale mogą rozchodzić się z prędkością grupową niosąc ze sobą energię z tą właśnie prędkością.

== Prędkość grupowa ==
Sumę dwóch drgań harmonicznych o jednakowych amplitudach, ale dla różnych liczb falowych i częstotliwości kołowych, piszemy w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A\cos(\omega_1 t-k_1z)+A\cos(\omega_2 t-k_2z)\;</MATH>|6.1}}
Definicję częstotliwości modulowanej i liczby falowej modulowanej, a także ich odpowiedniki średnie rysujemy:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\omega_{mod}={{1}\over{2}}\left(\omega_1-\omega_2\right)\;</MATH>|6.2}}|2={{CentrujWzór|<MATH>k_{mod}={{1}\over{2}}\left(k_1-k_2\right)\;</MATH>|6.3}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\omega_{sr}={{1}\over{2}}\left(\omega_1+\omega_2\right)\;</MATH>|6.4}}|4={{CentrujWzór|<MATH>k_{sr}={{1}\over{2}}\left(k_1+k_2\right)\;</MATH>|6.5}}}}
Wykorzystując powyższe definicję średniej częstotliwości kołowej i średniej liczby dwóch fal o zbliżonych częstościach, możemy określić jako sumę {{LinkWzór|6.1}} w postaci zwartej z wyodrębnionymi amplitudami modulowanymi zależnych od częstotliwości i liczb falowych modulowanych, a także z wyodrębnioną częścią harmoniczną, która zależy od średniej częstotliwości i średniej liczby falowej, co te wszystkie wnioski określimy przez dwa poniższe wzory:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A_{mod}(z,t)\cos(\omega_{sr}t+k_{sr})\;</MATH>|6.6}}|2={{CentrujWzór|<MATH>A_{mod}=2A\cos(\omega_{mod}t-k_{mod}z)\;</MATH>|6.7}}}}
Funkcję fazową amplitudy {{LinkWzór|6.7}} można napisać  w  takiej postaci, która po zróżniczkowaniu obu jego stron dla tej funkcji stałej, w ten sposób otrzymujemy wzór, z którego możemy wyznaczyć prędkość rozchodzenia się modulacji:
{{CentrujWzór|<MATH>0=\omega_{mod}dt-k_{mod}dz\Rightarrow {{dz}\over{dt}}=v_{mod}={{\omega_{mod}}\over{k_{mod}}}={{\omega_1-\omega_2}\over{k_2-k_1}}\;</MATH>|6.8}}
Prędkość modulacji możemy rozłożyć w szereg Taylora, w ten sposób dowiadujemy się, że prędkość rozchodzenia się modulacji, która jest ilorazem różnicowym  częstotliwości kołowej i liczby falowej k, jest ona w przybliżeniu równa pochodnej zupełnej częstotliwości kołowej względem liczby falowej:
{{CentrujWzór|<MATH>v_{mod}={{\omega_2-\omega_1}\over{k_2-k_1}}={{d\omega}\over{dk}}+...\;</MATH>|6.9}}
Na podstawie tożsamości {{LinkWzór|6.9}} możemy określić prędkość grupową, którą nazywamy pochodną zupełną częstotliwości kołowej względem liczby falowej:
{{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}\;</MATH>|6.10}}

== Składanie się fal o prostokątnym rozkładzie widmowym ==
Superpozycja N fal, których amplitudy są jednakowe, ale o częstościach kołowych równomiernie rozłożonych pomiędzy częstościami &omega;{{Sub|1}}, a &omega;{{Sub|2}}, których ta całkowita fala &psi;(t) jest zdefiniowana:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)=A\cos\omega_1t=A\cos(\omega_1t+\delta \omega)+A\cos(\omega_1t+2\delta\omega)+...+A\cos\omega_2t\;</MATH>|6.11}}
Wielkość &delta;&omega; jest tak zdefiniowana w taki sposób jako iloraz różnicy częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|2}} i &omega;{{Sub|1}} podzielonej przez N-1, co matematycznie:
{{CentrujWzór|<MATH>\delta\omega={{\omega_2-\omega_1}\over{N-1}}={{\Delta \omega}\over{N-1}}\;</MATH>|6.12}}
Najlepszym sposobem jest przestawienie sumy drgań harmonicznych {{LinkWzór|6.11}} przy pomocy funkcji eksponencjalnych, których częścią rzeczywistą jest ta nasza rozważana suma drgań harmonicznych {{LinkWzór|6.11}}, którego przestawienie jest:
{{CentrujWzór|<MATH>f(t)=e^{-i\omega_1t}+e^{-i(\omega_1t+2\delta\omega)}+...+e^{-i(\omega_1t+2\Delta\omega)}\;</math>|6.13}}
Funkcja {{LinkWzór|6.13}} jest szeregiem geometrycznym o ilorazie exp(-&delta;&omega;t), wtedy zapisujemy go w postaci zwartej:
{{CentrujWzór|<math>f(t)=e^{-i\omega_1 t}{{1-e^{-iN\delta\omega t}}\over{1-e^{-i\delta\omega t}}}={{e^{-{{1}\over{2}}N\delta\omega t}}\over{e^{-{{1}\over{2}}i\delta\omega t}}}{{e^{{{1}\over{2}}iN\delta\omega t}-e^{-{{1}\over{2}}iN\delta\omega t}}\over{e^{{{1}\over{2}}i\delta\omega t}-e^{-{{1}\over{2}}i\delta\omega t}}}=e^{-i\omega_1 t}e^{-{{1}\over{2}}i(N-1)\delta\omega}{{\sin{{1}\over{2}}N\delta \omega t}\over{\sin{{1}\over{2}}\delta \omega t}}=e^{-i(\omega_1+{{1}\over{2}}\Delta\omega)}{{\sin{{1}\over{2}}N\delta \omega t}\over{\sin{{1}\over{2}}\delta \omega t}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=e^{-i\omega_{sr}t}{{\sin{{1}\over{2}}N\delta \omega t}\over{\sin{{1}\over{2}}\delta \omega t}}\;</MATH>|6.14}}
Całkowita funkcja falowa zapisana w postaci zwartej {{LinkWzór|6.11}} jest częścią rzeczywistą obliczeń napisaną w punkcie {{LinkWzór|6.14}}, którą rysujemy w postaci funkcji zależnej od czasu "t", częstotliwości średniej drgań &omega;{{Sub|śr}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)=A\cos\omega_{sr}t{{\sin{{1}\over{2}}N\delta\omega t}\over{\sin{{1}\over{2}}\delta\omega t}}\;</MATH>|6.15}}
Amplituda fali &psi;(t), występująca we wzorze {{LinkWzór|6.15}} jest zależna od czasu  i jest napisana przy pomocy funkcji sinus, która występuje w mianowniku i liczniku, której licznik jest zależny od liczby przegród, jest wykreślona:
{{CentrujWzór|<MATH>A(t)={{\sin{{1}\over{2}}N\delta\omega t}\over{\sin{{1}\over{2}}\delta\omega t}}\;</MATH>|6.16}}
Gdy N=2, wtedy równość na funkcję &psi;(t) {{LinkWzór|6.15}}, którą definiujemy zamienieniając 1/2&omega;t przez zmienną x, wtedy mamy:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)=A{{\sin 2x}\over{\sin x}}\cos\omega_{sr}t=A{{2\sin x\cos x}\over{\sin x}}\cos\omega_{sr}=2A\cos x=2A\cos\omega_{mod} t\cos\omega_{sr}t\;</MATH>|6.17}}
Wzór na funkcję &psi;(t) dla N=2 otrzymaliśmy jak w punkcie {{LinkWzór|1.116|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}}, co jest zgodnie z naszymi oczekiwaniami.
Przy liczeniu funkcji {{LinkWzór|6.16}} dla t=0 należy się dokładnie przyjrzeć, bo licznik i mianownik tego wyrażenia jest równy zero, wtedy należy dokonać  zamiany zmiennych według <MATH>_{\theta={{1}\over{2}}\delta\omega t}\;</MATH>,  i obliczyć granicę wykorzystując wiadomości o granicach z analizy matematycznej.
{{CentrujWzór|<MATH>\lim_{\theta\rightarrow 0}{{\sin N\theta}\over{\theta}}=N\lim_{\theta\rightarrow 0}{{\sin N\theta}\over{N\theta}}=N\;</MATH>|6.18}}
Amplitudę {{LinkWzór|6.16}} możemy przestawić jako funkcję A(t) przy A=A(0)/N, dla którego tą wielkość piszemy:
{{CentrujWzór|<math>A(t)=A(0){{\sin{{1}\over{2}}N\delta\omega}\over{N\sin{{1}\over{2}}\delta\omega t}}\;</MATH>|6.19}}
Przejdźmy teraz do granicy, dla którego N jest bardzo duże, wtedy odstępy pomiędzy składowymi drgań harmonicznych &delta;&omega; są na tyle małe, że ich doświadczalnie nie możemy rozróżnić, wtedy mamy doczynienia z fizyką, a nie z matematyką. Amplitudę {{LinkWzór|6.16}} możemy napisać dla warunku &delta;&omega; bardzo małego i przy zachodzącej tożsamości {{LinkWzór|6.12}}:
{{CentrujWzór|<MATH>A(t)=A(0){{\sin {{1}\over{2}}N\delta\omega t}\over{N\sin{{1}\over{2}}\delta\omega}}=A(0){{\sin{{1}\over{2}}\Delta\omega t}\over{N{{1}\over{2}}\delta\omega t}}=A(0){{\sin{{1}\over{2}}\Delta \omega t}\over{{{1}\over{2}}\Delta\omega}}\;</MATH>|6.20}}
Wychylenie od stanu równowagi {{LinkWzór|6.11}} jako superpozycja N fal harmonicznych, przy wykorzystaniu {{LinkWzór|6.12}}, piszemy jako:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)={{A(0)}\over{\Delta\omega}}\left[\delta\omega\cos\omega_1 t+\delta\omega\cos(\omega_1+\delta\omega)t+...+\delta\omega\cos\omega_2 t\right]\;</MATH>|6.21}}
Równość {{LinkWzór|6.21}} możemy zapisać w postaci całkowej, przy założeniu, że &delta;&omega; jest bardzo małe, praktycznie zerowe, jako całkę od &omega;=&omega;{{Sub|1}}, aż do &omega;=&omega;{{Sub|2}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)={{A(0)}\over{\Delta\omega}}\int_{\omega_1}^{\omega_2}\cos\omega td\omega\;</MATH>|6.22}}

== Szereg Fouriera liczona względem czasu ==
Szeregiem Fouriera nazywamy takie wyrażenie, której każdą funkcję F(t) możemy rozłożyć  ten nasz szereg, którego postać jest zależna od współczynników B{{Sub|0}} i współczynników zależnych od n, czyli od A{{Sub|n}} i od B{{Sub|n}}:
{{CentrujWzór|<MATH>F(t)=B_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin n\omega t+\sum_{n=1}^{\infty} B_n \cos\omega_1 t\;</MATH>|6.23}}
Wówczas jak możemy udowodnić, że współczynniki A{{Sub|n}} i B{{Sub|n}} możemy napisać przy pomocy funkcji F(t), jak to robiliśmy też dla szeregu Fouriera zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|2.35|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}, tylko tam była definicja względem liczby falowej, a tutaj względem częstotliwości kołowej:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>B_0={{1}\over{T_1}}\int_{t_0}^{t_0+T_1}F(t)dt\;</MATH>|6.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_n={{2}\over{T_1}}\int_{t_0}^{t_0+T_1}F(t)\cos n\omega_ tdt\;</MATH>|6.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>A_n={{2}\over{T_1}}\int_{t_0}^{t_0+T_1}F(t)\sin n\omega_ tdt\;</MATH>|6.26}}}}

== Przejście od szeregu Fouriera w jej postać całkową ==
Rozważmy kilka pierwszych wyrazów w szeregu Fouriera, tzn. A{{Sub|1}}sin&omega;{{Sub|1}}t+B{{Sub|1}}cos&omega;{{Sub|1}}t, A{{Sub|1}}sin&omega;{{Sub|1}}t+B{{Sub|1}}cos&omega;{{Sub|1}}t. Pierwsze wyrazy są tak małe w podanych wyrazach, że można je zaniedbać. Widzimy, że T{{Sub|1}}, która jest okresem. Sztucznie utworzona funkcja zależy od naszego okresu, więc ten okres możemy  zwiększać o dowolną wielokrotność, zatem okres T{{Sub|1}}  jest dowolny, to częstotliwość kołową &omega;{{Sub|1}}=2&pi;/T{{Sub|1}} możemy dowolnie zmniejszać. W gruncie rzeczy T{{Sub|1}} możemy wziąć na tyle duże by wyrazy A{{Sub|n}} i B{{Sub|n}} można było zaniedbać. Rozważmy n na tyle duże by nie można było zaniedbać współczynników A{{Sub|n}} , B{{Sub|n}}, wtedy szereg {{LinkWzór|6.23}} możemy zapisać biorąc jak na razie dla uproszczenia wyrazy z sinusami:
{{CentrujWzór|<MATH>F(t)=...+A_n\sin n\omega_1 t+A_{n+1}\sin(n\omega_1+\omega_1)t+...\;</MATH>|6.27}}
Obierzmy sobie teraz funkcję &omega; zmiennej n i &omega;{{Sub|1}}, która jest iloczynem liczby n i częstotliwości &omega;:
{{CentrujWzór|<MATH>\omega=n\omega_1\;</MATH>|6.28}}
Niech przyrost &delta;&omega; będzie taki, że różniczka z n jest ilorazem z delty częstotliwości kołowej &omega; przez częstotliwość &omega;{{Sub|1}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\delta\omega=\omega_1\delta n\Rightarrow \delta n={{\delta\omega}\over{\omega_1}}\;</MATH>|6.29}}
Załóżmy, że w pasmie n do n+&delta; n wszystkie współczynniki A{{Sub|n}} są sobie równe, wtedy wszystkie te wyrazy możemy przegrupować względem tychże współczynników, by później było można napisać:
{{CentrujWzór|<MATH>F(t)=....+\delta nA_n\sin n\omega_1 t+...=...+\delta\omega{{A_n}\over{\omega_1}}\sin\omega t+..\equiv...+\delta\omega A(\omega)\sin\omega t+..=\int_0^{\infty}A(\omega)\sin\omega t d\omega\;</math>|6.30}}
W końcu na podstawie obliczeń {{LinkWzór|6.30}} możemy napisać całkę Fouriera, którego postać piszemy względem współczynników  A(&omega;) i B(&omega;) (powyżej było przyjęte, że B(&omega;)=0, a poniżej jest dla różnego od zera dla ogólności), której ogólna postać naszej całki:
{{CentrujWzór|<MATH>F(t)=\int_0^{\infty}A(\omega)\sin\omega td\omega+\int_0^{\infty}B(\omega)\cos\omega t d\omega\;</MATH>|6.31}}
Na podstawie  definicji współczynnika A{{Sub|n}} {{LinkWzór|6.26}} i B{{Sub|n}}{{LinkWzór|6.25}}, a także z własności &omega;{{Sub|1}}T{{Sub|1}}=2&pi;, a także będziemy przyjmować  t{{Sub|0}}=-&infin;, a T{{Sub|0}}=&infin;, wtedy możemy napisać definicję współczynników A(&omega;) i B(&omega;) przy wcześniejszych poczynionych uwagach:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>A(\omega)={{A_n}\over{\omega_1}}={{1}\over{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\psi(t)\sin\omega tdt\;</MATH>|6.32}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B(\omega)={{B_n}\over{\omega_1}}={{1}\over{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\psi(t)\cos\omega tdt\;</MATH>|6.33}}}}

== Całki Fouriera dla tłumionego oscylatora tłumionego ==
Wychylenie od stanu równowagi dla tłumionego oscylatora od stanu równowagi przy zerowym przesunięciu fazowym przyjmuje postać:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)=e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega_1t\;</MATH>|6.34}}
Wtedy patrząc na tożsamość {{LinkWzór|3.10|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} możemy napisać tożsamość wiążąca częstotliwość drgań tłumionych &omega;{{Sub|1}} względem drgań harmonicznych podstawowych i współczynnika tłumionego, z którego skorzystamy w dalszym kroku obliczeń.
Policzmy tutaj dwie całki poniższe, które będą nam bardzo potrzebne w dalszych rozważaniach:
{{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\infty}e^{-ax}\sin bxdx=-{{1}\over{a}}e^{-ax}\sin bx\Bigg|_0^{\infty}+{{b}\over{a}}\int_0^{\infty}e^{-ax}\cos bx=-{{b}\over{a^2}}e^{-ax}\cos bx\Bigg|_0^{\infty}-{{b^2}\over{a^2}}\int_0^{\infty}e^{-ax}\sin bx\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\int_0^{\infty}e^{-ax}\sin bx dx={{b}\over{b^2+a^2}}\;</MATH>|6.35}}
Dalej policzmy drugą z kolei całkę:
{{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\infty}e^{-ax}\cos bx dx=-{{1}\over{a}}e^{-ax}\cos bx\Bigg|_0^{\infty}-{{b}\over{a}}\int_0^{\infty}e^{-ax}\sin bx=
{{1}\over{a}}+e^{-ax}\sin bx\Bigg|_0^{\infty}-{{b^2}\over{a^2}}\int e^{ax}\cos bx\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\int_0^{\infty}e^{-ax}\cos bx dx={{a}\over{b^2+a^2}}\;</MATH>|6.36}}
Policzmy teraz współczynnik A(&omega;) według wzoru {{LinkWzór|6.32}} występującego jako współczynnik we wzorze {{LinkWzór|6.31}} korzystując przy tym z tożsamości fizycznej {{LinkWzór|6.36}}:
{{CentrujWzór|<MATH>2\pi A(\omega)=2\int_{\infty}^{\infty}\psi(t)\sin\omega t dt=\int_0^{\infty}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}2\cos\omega_1 t\sin\omega t dt=\int_0^{\infty}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}[\sin(\omega+\omega_1)t+\sin(\omega-\omega_1)t]dt=\;</MATH>{{Br}}<math>=
{{\omega+\omega_1}\over{(\omega+\omega_1)^2+\left({{1}\over{2}}\Gamma\right)^2}}+{{\omega-\omega_1}\over{(\omega-\omega_1)^2+\left({{1}\over{2}}\Gamma\right)^2}}={{\omega+\omega_1}\over{\omega^2+\omega_0^2+2\omega\omega_1}}+{{\omega-\omega_1}\over{\omega^2+\omega_0^2-2\omega\omega_1}}=\;</math>{{Br}}<math>={{(\omega+\omega_1)(\omega^2+\omega_0^2-2\omega\omega_1)+(\omega-\omega_1)(\omega^2+\omega_0^2+2\omega\omega_1)}\over{\omega^4+\omega^2\omega_0^2-2\omega^3\omega_1+\omega^2\omega^2_0+\omega^4_0-2\omega\omega_1\omega_0^2+2\omega^3\omega_1+2\omega_0^2\omega\omega_1-4\omega^2\omega_1^2}}={{2\omega(\omega^2+\omega_0^2)-4\omega_1^2\omega}\over{\omega^4+2\omega_0^2\omega^2-4\omega^2\omega_0^2+\omega_0^4+\Gamma^2\omega^2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{2\omega(\omega^2-\omega_0^2)+\omega\Gamma^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}</math>|6.37}} 
Dalszym krokiem jest policzenie B(&omega;) według wzoru {{LinkWzór|6.33}} występujące jako współczynnik we {{LinkWzór|6.31}} wykorzystując przy tym z tożsamości fizycznej {{LinkWzór|6.34}}:
{{CentrujWzór|<MATH>2\pi B(\omega)=2\int_{\infty}^{\infty}\psi(t)\cos\omega t dt=\int_0^{\infty}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}2\cos\omega_1 t\cos\omega t dt=\int_0^{\infty}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma}[\cos(\omega+\omega_1)t+\cos(\omega-\omega_1)t]dt=\;</MATH>{{Br}}<math>=
{{{{1}\over{2}}\Gamma}\over{(\omega+\omega_1)^2+\left({{1}\over{2}}\Gamma\right)^2}}+{{{{1}\over{2}}\Gamma}\over{(\omega-\omega_1)^2+\left({{1}\over{2}}\Gamma\right)^2}}={{{{1}\over{2}}\Gamma}\over{\omega^2+\omega_0^2+2\omega\omega_1}}+{{{{1}\over{2}}\Gamma}\over{\omega^2+\omega_0^2-2\omega\omega_1}}=\;</math>{{Br}}<math>={{{{1}\over{2}}\Gamma(\omega^2+\omega_0^2-2\omega\omega_1)+{{1}\over{2}}\Gamma(\omega^2+\omega_0^2+2\omega\omega_1)}\over{\omega^4+\omega^2\omega_0^2-2\omega^3\omega_1+\omega^2\omega^2_0+\omega^4_0-2\omega\omega_1\omega_0^2+2\omega^3\omega_1+2\omega_0^2\omega\omega_1-4\omega^2\omega_1^2}}={{\Gamma(\omega^2+\omega_0^2)}\over{\omega^4+2\omega_0^2\omega^2-4\omega^2\omega_0^2+\omega_0^4+\Gamma^2\omega^2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{\Gamma(\omega^2+\omega_0^2)}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}</math>|6.38}}
Wyznaczmy wielkość I(&omega;), która jest sumą kwadratów wielkości 2&pi;A(&omega;){{LinkWzór|6.38}} i 2&pi;B(&omega;){{LinkWzór|6.38}}:
{{CentrujWzór|<MATH>I(\omega)=[2\pi A(\omega)]^2+[2\pi B(\omega)]^2=\left({{2\omega(\omega^2-\omega_0^2)+\omega\Gamma^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\right)^2+\left({{\Gamma(\omega^2+\omega_0^2)}\over{(\omega_0^2-\omega)^2+\Gamma^2\omega^2}}\right)^2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>
={{4\omega^2(\omega^2-\omega_0^2)^2+\omega^2\Gamma^4+4\omega^2\Gamma^2(\omega^2-\omega_0^2)+\Gamma^2(\omega^2+\omega_0^2)^2}\over{\left((\omega_0^2-\omega)^2+\Gamma^2\omega^2\right)^2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=
{{4\omega^2(\omega^2-\omega_0^2)^2+\omega^2\Gamma^4+4\omega^4\Gamma^2-4\omega^2\omega_0^2\Gamma^2+\Gamma^2\omega^4+\Gamma^2\omega_0^4+2\Gamma^2\omega^2\omega_0^2}\over{\left((\omega_0^2-\omega)^2+\Gamma^2\omega^2\right)^2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=
{{4\omega^2\left[(\omega^2-\omega^2_0)^2+\Gamma^2\omega^2\right]+\Gamma^2\left[\omega^2\Gamma^2+(\omega^2-\omega_0^2)^2\right]}\over{\left((\omega_0^2-\omega)^2+\Gamma^2\omega^2\right)^2}}={{4\omega^2+\Gamma^2}\over{(\omega^2-\omega^2_0)^2+\Gamma^2\omega^2}}
</MATH>|6.39}}

== Całka Fouriera dla fal biegnących w ośrodku dyspersyjnym jednorodnym ==
Całka Fouriera dla fal biegnących w ośrodku dyspersyjnym jednorodnym dla fal dyspersyjnych dla z=0 piszemy w postaci zależnej od częstotliwości kołowej:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(0,t)=\int_{0}^{\infty}\left[A(\omega)\sin\omega t+B(\omega)\cos\omega t\right]d\omega\;</MATH>|6.40}}
Dla k&ne;0 całkę Fouriera możemy przestawić w zależności od liczby falowej, która z kolei zależy od liczby falowej dla fal biegnących, co można uzyskać zamieniając zmienną "t" na primowane, i podstawiając dalej za t' w tożsamości {{LinkWzór|6.40}} wyrażenie t-z/v i pamiętając, że &psi;(0,t')=&psi;(z,t):
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\int_{0}^{\infty}\left[A(\omega)\sin\omega \left(t-{{z}\over{v}}\right)+B(\omega)\cos\omega\left(t-{{z}\over{v}}\right)\right]d\omega\;</MATH>|6.41}}
Wykorzystajmy definicję prędkości fazowej, którego definicja jest podana w punkcie {{LinkWzór|4.11|Opis_fal_biegnących}}, wtedy równość {{LinkWzór|6.41}} dla liczby falowej zależnej od częstotliwości kołowej możemy przepisać do:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\int_{0}^{\infty}\left[A(\omega)\sin(\omega t-k(\omega)z)+B(\omega)\cos(\omega t-k(\omega)z)\right]d\omega\;</MATH>|6.42}}

== Klasyczne równanie falowe a fale ulegające dyspersji ==
Załóżmy, że mamy wychylenie od stanu równowagi, którego równanie piszemy przy pomocy częstotliwości drgań &omega;, liczby falowej zależnej od częstotliwości kołowej k(&omega;): 
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A\cos[\omega t-k(\omega)z]\;</math>|6.43}}
Równanie  falowe różniczkowe, którego rozwiązaniem jest {{LinkWzór|6.43}}, jest w postaci zależnej od prędkości fazowej, którego z kolei zależy od częstotliwości kołowej, możemy otrzymać licząc drugie pochodne wychylenia naszego przemieszczenia względem czasu i położenia:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\omega^2A\cos[\omega t-k(\omega)z]\;</MATH>|6.44}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=-k^2A\cos[\omega t-k(\omega)z]\;</MATH>|6.45}}}}
Równości {{LinkWzór|6.44}} i {{LinkWzór|6.45}} porównujemy je względem siebie, w ten sposób otrzymujemy wzór na równanie falowe zależne od drugich pochodnych przemieszczenia &psi; względem czasu i położenia "z":
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=\left({{\omega}\over{k}}\right)^2{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}\;</MATH>|6.46}}
Do równości {{LinkWzór|6.46}} wykorzystamy definicję prędkości fazowej {{LinkWzór|4.11|Opis_fal_biegnących}}, w ten sposób otrzymujemy równanie różniczkowe, które jest zależne od prędkości fazowej, a która z kolei zależy od częstotliwości kołowej lub mówiąc równoważnie od liczby falowej, bo we związku dyspersyjnym częstotliwość jest zależna od liczby falowej:
{{CentrujWzór|<math>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=v^2(\omega){{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}\;</MATH>|6.47}}

<noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>