Tekst źródłowy strony Fale/Fale w mechanice kwantowej i elektrodynamice klasycznej

<noinclude><!--
-->{{SkomplikowanaStronaStart<!--
      -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!--
-->}}</noinclude>

== Przykład cząsteczki amoniaki jako układ drgający w mechanice kwantowej ==
Rozważmy sobie cząsteczkę, w którym atomy wodoru H tworzą trójkąt równoboczny. Dla azotu N mamy dwa możliwe drgania, w których może on drgać na dwa sposoby odpowiadające dwom wahadłom a i b sprzężonym ze sobą. Jedno drganie jest po pierwszej stronie płaszczyzny H{{Sub|3}}, nazwijmy je przez "a", a drugie po drugiej stronie i nazwijmy je przez b. W mechanice klasycznej te położenia są położeniami równowagi trwałej, więc nie możliwe jest przejście z jednego  stanu do drugiego. W mechanice kwantowej wprowadza się sprzężenie pomiędzy tymi stanami pozwalający na przenikanie płaszczyzny bariery potencjału. Załóżmy, że cząstka początkowo znajdowała się w stanie "a" w chwili t=0, wtedy zachodziło by |&psi;{{Sub|a}}|{{Sup|2}}=1, |&psi;{{Sub|b}}|{{Sup|2}}=0, znaczy to, że prawdopodobieństwo, że cząstka drga w stanie "a" jest równe pewności, ale N nie drga w stanie "b" w tymże czasie. Prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w stanie "a" lub "b" możemy przestawić przez dwa równania poprzez czas "t":
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>|\psi_a|^2={{1}\over{2}}\left[1+\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>|\psi_b|^2={{1}\over{2}}\left[1-\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.2}}}}
*gdzie &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} są częstościami postaci drgań normalnych.
Równania {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}} są kolejno bardzo podobne do {{LinkWzór|1.133|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}} i do {{LinkWzór|1.134|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}}. Całkowite prawdopodobieństwo znalezienia  cząstki w stanie "a" lub "b" jest oczywiście równe jedności. Załóżmy, że cząstka w stanie 2 drga z nieco większą częstością &omega;{{Sub|2}}>&omega;{{Sub|1}} niż w stanie jeden, atom N znajdujący się w tym stanie, który jest stanem nietrwałym i wyniku promieniowania elektromagnetycznego przechodzi ze stanu 2 zwany stanem wzbudzonym do stany 1 zwany stanem stanem podstawowym. To promieniowanie można wykryć w wyniku jego częstości dudnień &nu;{{Sub|2}}-&nu;{{Sub|1}}, która ma wartość {{Formuła|<MATH>\nu_{mod}=\nu_2-\nu_1\simeq 2\cdot 10^{10}Hz\;</MATH>}}, co odpowiada to długości fali równą około 1,5 cm, która jest w stanie radarowym lub mikrofalowym. Jeśli przez cząsteczki amoniaku będziemy przepuszczać o tej częstości promieniowanie, to okazuje się, że niektóre z atomów azotu N przejdzie ze stanu podstawowego do wzbudzonego.

== Przykład układu sprzężonych ze sobą obojętnych mezonów ==
Bardzo interesującym przykładem jest układ sprzężonych ze sobą układu dwóch mezonów {{Formuła|<MATH>K^0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline{K}^0\;</MATH>}}, które zachowują się jak układ sprzężonych  ze sobą wahadeł, które jako sprężynki spełniają rolę piony &pi;, które każdy drogą słabego oddziaływania może oddziaływać z dwoma mezonami. Mamy tutaj dwa drgania proste zwanych mezonami {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}. W przypadku, gdy te dwie postacie drgań prostych nie rozpadają się na cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w jednych tych stanów z dwóch jest określone przez wzory {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}}. Jeśli weźmiemy przykład tłumienia drgań dla tych dwóch cząstek, co jest równoważne rozkładowi tych mezonów na inne cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w pierwszym lub drugim stanie, jest określane przez:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}+2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos(
\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.3}}|2={{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}-2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos(
\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.4}}}}

== Wyprowadzenie związku dyspersyjnego dla fal de Broglie'a ==
Funkcja falowa drgań harmonicznych o częstości &omega; przestawiamy jako funkcję eksponencjalną, której amplituda jest zależna od położenia z:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=Af(z)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.5}}
Jeśli ten związek podstawimy do równania mechaniki kwantowej zależnego od czasu,  w ten sposób uzyskamy zależność różniczkową na funkcję f(z):
{{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.6}}
Ze związku {{LinkWzór|10.6}} otrzymujemy natychmiast funkcję f(z), która jest kombinacją liniową funkcji sinus i kosinus, którym argumentem jest iloczyn liczby falowej i położenia  cząstki kwantowej, wtedy całą funkcję falową &psi;(z,t) {{LinkWzór|10.5}} możemy określić:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[A\sin kz+B\cos kz\right]e^{i\omega t}\;</MATH>|10.7}}
Jeśli jeszcze raz podstawimy {{LinkWzór|10.7}} do równania zależnego od czasu, wtedy otrzymujemy związek dyspersyjny częstotliwości kołowej  &omega; w zależności od liczby falowej k:
{{CentrujWzór|<MATH>\hbar\omega={{\hbar^2k^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.8}}
===Fale stojące na kwantowej strunie skrzypcowej===
Mając związek w postaci funkcji falowej {{LinkWzór|10.7}}, która na jej dwóch końcach ta funkcja nie przedstawia żadnych drgań, wtedy dla jednego końca z=0, otrzymujemy natychmiast B=0, mamy:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}A\sin kx\;</MATH>|10.9}} 
Ponieważ długość sprężynki jest skończona i wynosi L, to aby dla prawego końca funkcja {{LinkWzór|10.9}} była równa zero, to musi być na pewno spełniony związek:
{{CentrujWzór|<MATH>kL=n\pi\Rightarrow k=n{{\pi}\over{L}}\;</MATH>|10.10}}
Unormujmy funkcję {{LinkWzór|10.9}} do jedynki licząc całkę z kwadratu modułu {{LinkWzór|10.9}} wykorzystując warunki brzegowe {{LinkWzór|10.10}}:
{{CentrujWzór|<MATH>1=\int_0^L|\psi|^2dz=A^2\int_0^L\sin^2kz dz={{1}\over{2}}A^2\int_0^L\left[1-\cos 2kz\right]={{1}\over{2}}A^2\left[1-{{1}\over{2k}}\cos2kz\Bigg|_0^{n{{\pi}\over{L}}}\right]={{1}\over{2}}A^2L\;</MATH>|10.11}}
Ostateczną funkcję falową {{LinkWzór|10.9}} na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.11}} jest funkcja zależna od "z" przy warunkach brzegowych  {{LinkWzór|10.10}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\sqrt{{{2}\over{L}}}e^{i\omega t}\sin kz\;</MATH>|10.12}}
Związek dyspersyjny jaki rządzi równaniem {{LinkWzór|10.12}}, który wynika z {{LinkWzór|10.8}}, jest:
{{CentrujWzór|<MATH>\omega_n=\omega_0+{{\hbar k_n^2}\over{2m}}=\omega_0+{{\hbar\left(n\pi/L\right)^2}\over{2m}}\mbox{ dla } n=1,2,3,...,\mbox{ przy }\omega_0={{V}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.13}}

=== Kwantowy i klasyczny ośrodek niejednorodny ===
Rozważmy kwantowy ośrodek, w którym panuje niejednorodny potencjał zależny od z, czyli V(z), wtedy możemy napisać w analogii do {{LinkWzór|10.6}} wzór:
{{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V(z)-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.14}}
W mechanice klasycznej dla niejednorodnej struny {{LinkWzór|2.57|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}} równanie, w której w strunie wszędzie panuje takie same naprężenie równe T{{Sub|0}}(z)=T{{Sub|0}}, powstałe po podstawieniu funkcji falowej {{LinkWzór|10.5}}, jest:
{{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}=-{{\omega^2\rho(z)}\over{T_0}}f(z)\;</MATH>|10.15}}

== Obszar zakazany w sensie klasycznym i przenikanie do niego cząstki kwantowej i klasycznej ==
Energia klasyczna całkowita cząstki krążącej pomiędzy barierami potencjału, która ta cząstka przez nie nie może przeniknąć jest określona przez:
{{CentrujWzór|<MATH>E={{p^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.16}}
Jeśli ona porusza się w przedziale o zerowym potencjale klasycznym i chce się przedostać do nieskończonego potencjału klasycznego, to cząstka w nim przebywająca ma energię kinetyczną ujemną, co jest pozbawione sensu fizycznego w mechanice fizycznej, ale nie w mechanice kwantowej. W fizyce klasycznej cząstka uderzająca w barierę potencjału zmienia swój pęd na przeciwny.
Związek dyspersyjny rządzący pomiędzy częstością kołową drgań cząstki kwantowej, a liczbą falową uzyskujemy podstawiając do {{LinkWzór|10.16}} zależności {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)+{{\hbar k^2}\over{2m}}\mbox{ dla }\omega>\omega_0\mbox{, gdzie: }\omega_0(z)={{V(z)}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.17}}
===Przechodzenie przez barierę potencjału a analogia z sprzężonymi wahadłami w mechanice klasycznej===
W mechanice klasycznej istnieje związek dyspersyjny dla małych liczb falowych dla nieciągłej struny {{LinkWzór|2.86|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{K^2a^2}\over{M}}k^2\mbox{  dla  }\omega^2>\omega_0^2\mbox{, gdzie }\omega_0^2={{g}\over{l}}\;</MATH>|10.18}}
Inny związek dla częstości reaktywnych, który jest przestawiony związkiem {{LinkWzór|3.96|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} dla małych współczynników wygaszania, jest:
{{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2-{{K^2a^2}\over{M}}\chi^2\;</MATH>|10.19}}
W mechanice kwantowej związek dyspersyjny dla fal eksponencjalnych możemy przedstawić przy pomocy związku zapisanego przy pomocy współczynnika wygaszania &chi;:
{{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)-{{\hbar\chi^2}\over{2m}}\mbox{, dla }\omega<\omega_0\;</MATH>|10.20}}

== Prędkość fazowa i grupowa według mechaniki klasycznej i szczególnej teorii względności ==
Biorąc związek słuszny w mechanice kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.17}}, to policzmy jego prędkość fazową i grupową poruszającej się cząstki w mechanice kwantowej falowej:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>v_f(k)={{\omega}\over{k}}={{\hbar k}\over{2m}}+{{V}\over{\hbar k}}={{1}\over{2}}p+{{V}\over{p}}\;</MATH>|10.21}}|2={{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{\hbar k}\over{m}}={{p}\over{m}}={{mv}\over{m}}=v\;</MATH>|10.22}}}}
Biorąc związek znany ze szczególnej teorii względności możemy zapisać związek  pomiędzy energią a pędem cząstki, to zależność dyspersyjna pomiędzy częstotliwością a liczbą falową przestawiamy według związku:
{{CentrujWzór|<MATH>\hbar^2\omega^2=(mc^2)^2+(\hbar ck)^2\;</MATH>|10.23}}
Prędkość grupową cząstki według mechaniki kwantowej relatywistycznej możemy przedstawić jako pochodna częstotliwości kołowej wynikającej z równania {{LinkWzór|10.23}} względem liczby falowej, to wszystko określamy poprzez:
{{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{c^2k}\over{\omega}}={{c^2p}\over{E}}={{c^2mv}\over{mc^2}}=v\;</MATH>|10.24}}
Widzimy, że według mechaniki kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.22}} i według mechaniki relatywistycznej {{LinkWzór|10.24}} prędkość grupowa jest równa prędkości cząstki.

== Wyprowadzenie równań falowych fal de Broglie'a według hamiltonianu klasycznego i relatywistycznego ==
Funkcję falową określmy dla fali o częstości kołowej &omega; i liczbie falowej "k"  jako fale biegnące w kierunku zgodnym z osią "z" i niezgodnym z tą osią przestawiamy:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)\;</MATH>|10.25}}
Policzmy teraz drugą pochodną wyrażenia {{LinkWzór|10.25}} względem czasu najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu częstotliwości kołowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t):
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-i\omega e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)=-i\omega\psi(z,t)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\omega^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.26}}
A teraz policzmy drugą pochodną funkcji falowej {{LinkWzór|10.26}}, ale najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu liczby falowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t):
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=e^{i\omega t}\left(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz}\right)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=-k^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.27}}
Będziemy tutaj korzystać ze wzoru na całkowitą energie układu  składającą się z jednej cząstki {{LinkWzór|10.16}} i podstawimy do niego wzór na energię równą {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i na pęd {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}, wtedy po podstawieniu do niego wzoru na częstotliwość kołową wynikającego z {{LinkWzór|10.26}} i na kwadrat liczby falowej wynikającego z {{LinkWzór|10.27}}, w ten sposób otrzymujemy równanie falowe mechaniki kwantowej klasycznej wychodząc z zasady zachowania energii dla mechaniki Newtona:
{{CentrujWzór|<MATH>i\hbar{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-{{\hbar^2}\over{2m}}{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t}}+V\psi(z,t)\;</MATH>|10.28}}
Powyższe równanie mechaniki falowej klasycznej jest spełnione dla V stałego, ale można go uogólnić dla pewnej niestałej funkcji potencjału zależną od z. To równanie tak uogólnione zwane jest jednowymiarowym równaniem Schrödingera. Mając wzór {{LinkWzór|10.23}}, który można go tak rozpisać w troszeczkę w innej postaci wykonując potęgowanie w jego drugim wyrazie, w ten sposób otrzymujemy równość mechaniki relatywistycznej kwantowej Kliena-Gordona:
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=c^2{{\psi^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}-{{m^2c^4}\over{\hbar^2}}\psi(z,t)\;</MATH>|10.29}}
Równanie falowe {{LinkWzór|10.28}} dla m=0 jest równaniem falowym opisujących fotony dla fal nieulegających dyspersji pędzących z prędkością równą "c".

== Promieniowanie elektromagnetyczne wysyłane przez jednowymiarowy atom w mechanice falowej ==
Weźmy sobie teraz elektron krążący w studni potencjału, którego funkcja falowa jest superpozycją dwóch stanów pierwszego podstawowego i pierwszego wzbudzonego:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\underbrace{A_1e^{-i\omega_1 t}\cos k_1 z}_{\psi_1(z,t)}+\underbrace{A_1e^{-i\omega_2 t}\sin k_2 z}_{\psi_2(z,t)}\mbox{, dla }k_1L=\pi\mbox{ i }k_2L=2\pi\;</MATH>|10.30}}
Wyznaczmy teraz kwadrat modułu wyrażenia {{LinkWzór|10.30}}, którego definicja znana jest z algebry, przedstawiony w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>|\psi(z,t)|^2=A_1^2\cos^2k_1z+A_2^2\sin^2k_2z+2A_1A_2\cos k_1z\sin k_2z\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.31}}
Policzmy teraz całkę kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.29}}, czyli funkcji {{LinkWzór|10.30}}, wykorzystując wzór na sinus i kosinusa podwojonego kąta, co według powyższych rozważań tą naszą całkę przedstawiamy:
{{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}|\psi|^2dz=(A_1^2+A_1^2){{L}\over{2}}\;</MATH>|10.32}}
Wyznaczmy teraz całkę z iloczynu funkcji "z" i kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.31}}, którą możemy przecałkować względem "z" i wyłączając przed nawias funkcję  niezależną od "z" i wykorzystując wzór na  sumę sinusów znanego ze szkoły średniej:
{{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z|\psi|^2dz=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z\left[\sin(k_2+k_1)z+\sin(k_2-k_1)z\right]dz=\;</MATH>{{Br}}<MATH>
=-A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\Bigg\{\left[z{{1}\over{k_1+k_2}}\cos(k_2+k_1)z+z{{1}\over{k_1-k_2}}\cos(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\left[{{1}\over{(k_1+k_2)^2}}\sin(k_2+k_1)z+{{1}\over{(k_2-k_1)^2}}\sin(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}\Bigg\}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[-{{2L^2}\over{9\pi^2}}+{{2L^2}\over{\pi^2}}\right]=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[{{-2L^2+18L^2}\over{9\pi^2}}\right]=
{{16L^2}\over{9\pi^2}}A_1A_2\cos(\omega_1-\omega_2)t
</MATH>|10.33}}
Całkowita średnia prędkość cząstki określamy przy pomocy wzorów {{LinkWzór|10.30}} i {{LinkWzór|10.31}}, która jak się przekonamy zależy od czasu "t" i różnicy częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} i amplitud A{{Sub|1}} i A{{Sub|2}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\overline{z}={{\int z|\psi|^2dz}\over{\int|\psi|^2dz}}={{32L^2}\over{9\pi^2}}{{A_1A_2}\over{A_1^2+A_2^2}}\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.34}}
Położenie elektronu krążącego, który ma ładunek q=-e oscyluje według wzoru {{LinkWzór|10.34}} z częstością dudnień &omega;{{Sub|2}}-&omega;{{Sub|1}}, który to wysyła promieniowanie w postaci lecących fotonów ze wspomnianą częstością kołową.

== Źródła spójne w czasie przy częstości dudnień optycznych ==
Zapiszmy teraz w postaci zespolonej całkowite zespolone natężenie fali, w której pierwsza fala jest napisana przy częstości kołowej &omega;{{Sub|1}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|1}}, a druga fala jest o częstości  &omega;{{Sub|2}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|2}}, które razem to przepisujemy dokonując superpozycję tychże fal:
{{CentrujWzór|<MATH>E_c(t)=E_1e^{i(\omega_1 t-\varphi_1)}+E_2e^{i(\omega_2 t-\varphi_2)}\;</MATH>|10.35}}
Każdą liczbę zespoloną możemy rozłożyć jako wektor w płaszczyźnie zespolonej, zatem długość wektora jako liczby zespolonej {{LinkWzór|10.35}} możemy przedstawić jako moduł z tej wielkości:
{{CentrujWzór|<MATH>|E_c(t)|^2=E_1^2+E_2^2+2E_1E_2\cos\left[(\omega_1-\omega_2)t+(\varphi_1-\varphi_2)\right]\;</MATH>|10.36}}
Średnią energię przedstawiamy jako wielkość uśrednianą w ciągu jednego okresu wielkości {{LinkWzór|10.36}} dla zespolonego natężenia fali {{LinkWzór|10.35}}, jak widzimy w tak otrzymanym wzorze na strumień energii występuje częstość dudnień równą &omega;{{Sub|1}}-&omega;{{Sub|2}}, która powinna przyjmować stosunkowo niską wartość. Czas koherencji, który jest odwrotnością szerokości pierwszej fali dla  zmieniającej się stałej fazowej w ciągu jednego okresu, której również amplitudy tychże drgań też się zmieniają w sposób przypadkowy, przedstawiamy:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>t_{1}(\mbox{koh})\simeq (\Delta \nu_1)^{-1}\;</MATH>|10.37}}|2={{CentrujWzór|<MATH>t_2(\mbox{koh})\simeq(\Delta\nu_2)^{-1}\;</MATH>|10.38}}}}
Aby można było zaobserwować dudnienia zapisane według &nu;{{Sub|1}}-&nu;{{Sub|2}}, to czasy (okresy) koherencji powinny być duże w porównaniu w porównaniu ze wspomnianą częstością dudnień, zatem aby eksperyment obserwacji tychże fal udał się, to czasy dudnień powinny spełniać następujące dwa warunki:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_1<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.39}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_2<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.40}}}}

== Czemu niebo jest jasne ==
W rozdziale [[Fale/Fale_dwu-_i_trójwymiarowe_rozchodzące_się_w_przestrzeni#Czemu_niebo_jest_niebieskawe|"Czemu niebo jest niebieskawe"]] rozpatrywaliśmy czemu niebo w dzień jest niebieskie, a wieczorem czerwone. A teraz rozpatrzmy czemu niebo jest jasne. Rozpatrzymy teraz rozumowanie, które mówi dlaczego niebo powinno być niewidzialne. Rozpatrzmy elektron znajdujący w cząsteczce, który wysyła promieniowanie we wszystkich kierunkach znajdujący się pierwszym atomie, a teraz weźmy sobie drugi atom, który jest w pół długości fali dalej od obserwatora, oba te cząsteczki są pobudzane tymi samymi przesunięciami fazowymi, i tymi samymi amplitudami, co w wyniku nakładania się tych dwóch fali daje nam zero w położeniu obserwatora. Dla rozpraszania pod kątem 90{{Sup|0}} możemy spełnić te żądania dla fazy i amplitudy tak by cząsteczce pierwszej odpowiadała cząsteczka druga. Dla  rozpraszania bliskiego mimo, że cząsteczki znajdujące od obserwatora są pobudzane o pół okresu wcześniej i są oddalone o półokresu dalej od obserwatora, ale one nie powodują one interferencji dekonstruktywnej. Biorąc pod uwagę, że sześcian zawiera {{Formuła|<MATH>4\cdot 10^6\;</MATH>}} cząsteczek, gęstość powietrza maleje wykładniczo wraz z wysokością, co powinno wystarczyć do zaistnienia interferencji dekonstruktywnej, ale to nie wystarcza, dlaczego? Powyższe przewidywania przeczą doświadczeniu, bo natężenie jest niemal takie jakie są wyniki rozpraszania na N cząsteczkach i napisane jest w postaci sumy natężeniem rozpraszania przez te cząsteczki, które są przyczynkami do tego natężenia. I nie wiadomo nadal dlaczego interferencja dekonstruktywna nie następuje. Jeśli obierzemy wodę zamiast powietrza interferencja dekonstruktywna następuje dla rozpraszania 90{{Sup|0}}. Wiązka z latarki przechodzi przez czystą wodę przy nieznacznej stracie natężenia, jeśli  pominąć nieznaczne rozszerzenia wiązki spowodowanej przez dyfrakcję. Rozproszenie przy 90{{Sup|0}} przy przejściu 10 m jest małe w porównaniu z powietrzem przy takiej samej wysokości. Przy tym rozproszeniu w wodzie dodaje się do siebie amplitudy  fali rozproszeniowej, a w przypadku powietrza ich natężenia, dlatego w wodzie występuje interferencja dekonstruktywna. Tajemnicza kryje się w tym, że cząsteczki wody są rozłożone równomierne i znajdzie się zawsze cząsteczka wody numer dwa,  wyniku której przewidziana interferencja jest dekonstruktywna, a w powietrzu na pierwszą cząsteczkę powietrza przypada średnio jedna ale druga cząsteczka powietrza,  czasem w cale, zatem to wyjaśnia dlaczego w powietrzu sumują się natężenia, a wodzie amplitudy. 

Weźmy sobie teraz obszar pierwszy i drugi znajdujący w tej samej odległości od słońca w przybliżeniu, ale obszar drugi znajduje się pół okresu dalej, a każdy z tych obszarów jest mały w porównaniu z długością fali światła monochromatycznego tutaj rozpatrywanego. Weźmy wszystkie cząsteczki znajdujące się w obszarze pierwszym, w którym każda cząsteczka wnosi przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze dwa przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2\;</MATH>}}, czyli całkowite natężenie pola w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>n_1\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze drugim jest {{Formuła|<MATH>n_2\vec{E}_2\;</MATH>}}, jeśli przyjmować będziemy falę biegnącą, który drugi obszar jest pół okresu dalej niż pierwszy, czyli powinno wtedy zachodzić {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2=-\vec{E}_1\;</MATH>}}, zatem całkowite natężenie fali docierające do obserwatora jest:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=n_1\vec{E}_1+n_2\vec{E}_2=(n_1-n_2)\vec{E}_1\;</MATH>|10.41}}
Pole wytwarzane przez jedną pobudzoną cząsteczkę jest opisywane przez funkcję:
{{CentrujWzór|<MATH>E_1=A_1\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.42}}
A całkowite natężenie fali wytarzanej przez cząsteczki w obszarze pierwszym i drugim jest opisywane poprzez wzór:
{{CentrujWzór|<MATH>E=A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.43}}
Biorąc natężenie fali wytwarzanej prze pojedynczą cząsteczkę {{LinkWzór|10.41}} i przez cząsteczki znajdujące się obszarze drugim {{LinkWzór|10.43}},  wstawiając to wszystko do wzoru na całkowite natężenie fali w punkcie obserwatora, po tak otrzymanej tożsamości i podzieleniu przez kosinus, otrzymujemy zależność pomiędzy amplitudami:
{{CentrujWzór|<MATH>A=(n_1-n_2)A_1\;</MATH>|10.44}}
We wzorze n{{Sub|1}} jest raz mniejsze, a za drugim większe od n{{Sub|2}}, a średnio rzecz mówiąc oba te wielkości średnio są sobie równe, wtedy średnio powinna występować interferencja dekonstruktywna pod kątem 90{{Sup|0}}. Całkowite natężenie fali obserwowanego przez naszego obserwatora jest wyrażona poprzez wzór:
{{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1\;</MATH>|10.45}}
Weźmy sobie, że liczba cząsteczek znajdujących się w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a w drugim obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy pierwszy czynnik występujący po prawej stronie pod średnią możemy przepisać wiedząc, że średnia wartość wartości n{{Sub|1}} jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a także średnia liczba cząsteczek n{{Sub|2}} jest równa {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy można napisać:
{{CentrujWzór|<MATH>(n_1-n_2)^2=[(n_1-\overline{n}_1)-(n_2-\overline{n}_2)]^2=(n_1-\overline{n}_2)^2+(n_2-\overline{n}_2)^2-2(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)\;</MATH>|10.46}}
Policzmy teraz średnią wartość trzeciego wyrażenia występującego w punkcie {{LinkWzór|10.46}}, która jak się przekonamy jest równa zero, a oto jego dowód:
{{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)}=\overline{(n_1-\overline{n}_1)}\overline{(n_2-\overline{n_2})}=(\overline{n}_1-\overline{n}_1)(\overline{n}_2-\overline{n}_2)=0\;</MATH>|10.47}}
Biorąc rozkład Poissona, w którym wartość oczekiwana jest równa wariancji, zatem na podstawie tego możemy napisać dwa wnioski wynikające z tego rozkładu:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.48}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.49}}}}
Biorąc wnioski {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, a także wniosek {{LinkWzór|10.46}} i {{LinkWzór|10.47}}, wtedy {{LinkWzór|10.45}} możemy zapisać do postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1=\overline{(n_1-\overline{n}_2)^2}+\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}+0=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_1=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.50}}
Dla wody warunki {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, które są dla powietrza, odpowiadają warunkom:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.51}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.52}}}}
Patrząc na warunek {{LinkWzór|10.50}}, który odpowiada ośrodkowi, który jest  powietrzem opisanym na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.51}} i {{LinkWzór|10.52}}, natomiast dla wody odpowiada warunek:
{{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1<<\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.53}}

== Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w ośrodkach materialnych ==

=== Równania Maxwella ===
{{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!--
        -->{{Wiersz|<!--
                -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|''' Różniczkowe prawa Maxwella dla materii ''':}}}}<!--
        -->}}{{Wiersz|<!--
                -->{{Komórka|{{Center|''' Pierwsze prawo Maxwella '''}}}}<!--
                -->{{Komórka|{{Center|''' Drugie prawo Maxwella '''}}}}<!--
                -->{{Komórka|{{Center|''' Trzecie prawo Maxwella '''}}}}<!--
                -->{{Komórka|{{Center|''' Czwarte prawo Maxwella '''}}}}<!--
        -->}}{{Wiersz|<!--
                -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{D}=\rho_{sw}</MATH>|10.54}}}}<!--
                -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.55}}}}<!--
                -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.56}}}}<!--
                -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{H}=\vec{J}_{sw}+{{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}</MATH>|10.57}}}}<!--
         -->}}{{Wiersz|<!--
               -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|''' Definicja pewnych wektorów w prowadzonych dla dowolnego ośrodka '''}}}}<!--
         -->}}{{Wiersz|<!--
              -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|''' Wektor indukcji elektrycznej '''}}}}<!--
              -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|''' Wektor natężenia pola magnetycznego '''}}}}<!--
         -->}}{{Wiersz|<!--
              -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}</MATH>|10.58}}}}<!--
              -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{H}={{1}\over{\mu_0}}\vec{B}-\vec{M}</MATH>|10.59}}}}<!--
         -->}}<!--
-->}}

=== Wprowadzenie do teorii o ośrodkach liniowo-izotropowych ===
Siła działający na ładunek q określamy poprzez wzór napisany przy pomocy natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=q\vec{E}+q\vec{v}\times\vec{B}\;</MATH>|10.60}}
Siły działająca na ładunki znajdujące się w ośrodku pochodzą od natężenia pola elektrycznego {{Formuła|<MATH>\vec{E}\;</MATH>}} i indukcji pola magnetycznego {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Ośrodek nazywamy izotropowym, jeśli polaryzacja {{Formuła|<MATH>\vec{P}\;</MATH>}} ma kierunek wzdłuż wektora <math>\vec{E}\;</MATH>, a magnetyzacja ma kierunek zgodny z wektorem indukcji magnetycznej {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Z powyższych warunków możemy wywnioskować wnioski, że jeśli polaryzacja jest równa zero, to natężenie pola też jest równe zero, a także jeśli magnetyzacja jest równa zero, to wektor indukcji jest równy zero. Ośrodek izotropowy jest taki, że jeśli iksowa składowa polaryzacji zależy tylko od iksowej składowej iksowej pola elektrycznego, a nie od igrekowego, ten związek tej zależności jest:
{{CentrujWzór|<MATH>P_x=\epsilon_0\chi E_x+\alpha E_x^2+\beta E_x^3+...\;</MATH>|10.61}}
Przy dostatecznie małych natężeniach pola elektrycznego w wyrażeniu {{LinkWzór|10.61}} możemy zaniedbać wyrazy wyższe niż liniowe.
Polaryzację i magnetyzację liniową możemy  przedstawić jako:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,y,z)=\epsilon_0\chi(z,y,z)E_x(x,y,z)\;</MATH>|10.62}}|2={{CentrujWzór|<MATH>M_x(z,y,z)=\chi_m(x,y,z)B_x(x,y,z)\;</MATH>|10.63}}}}
Przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane poprzez wzory {{LinkWzór|10.58}} i {{LinkWzór|10.59}} są napisane:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon E_x=\epsilon_0E_x+\epsilon_0\chi E_x\Rightarrow\epsilon=\epsilon_0(1+\chi)\;</MATH>|10.64}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\mu}}B_x={{1}\over{\mu_0}}B_x-\chi_mB_x\Rightarrow \mu=(1+\chi_m)\mu_0\;</MATH>|10.65}}}}
Względne przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane są na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.64}} i {{LinkWzór|10.65}}:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi\;</MATH>|10.66}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\mu_r=1+\chi_m\;</MATH>|10.67}}}}
Uogólnienie wniosku {{LinkWzór|10.62}} dla pól zależnych od czasu, w którym polaryzacja jest równoległa do natężenia pola elektrycznego dla pól rozprzestrzeniających się w czasie prowadzi do fałszywych wniosków, że powinno zachodzić dla częstości drgań fali elektrycznej &omega;:
{{CentrujWzór|<MATH>P_x(z,y,z,\omega t)=\epsilon_0\chi(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)\;</MATH>|10.68}}
W tym celu należy wprowadzić podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną, dzięki któremu możemy wprowadzić polaryzację iksową, którego definicja jest sumą iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elastyczną  i przez E{{Sub|x}} i iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elektryczną absorpcyjną i przez natężenia fali pola elektrycznego przesuniętego w fazie o 90{{Sup|0}}:
{{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,t,z,\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)+\epsilon_0\chi_{ab}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t-{{1}\over{2}}\pi)\;</MATH>|10.69}}
Natężenie fali elektromagnetycznej zmienia się według funkcji proporcjonalnej do kosinusa, tzn.:
{{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.70}}
wtedy polaryzację wyrażoną wzorem {{LinkWzór|10.69}} przy definicji natężenia iksowego fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.70}} możemy przepisać:
{{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}E_0\cos(\omega t+\varphi)+\epsilon_0\chi_{ab}E_0\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.71}}

=== Prosty model ośrodka izotropowego liniowego i wyznaczanie podatności elastycznej i magnetycznej ===
Rozważmy prosty model ośrodka liniowego i izotropowego, w której jądra są znacznie cięższe od rozważanego ładunku, który jest połączony z jądrem sprężyście o stałej sprężystości równą {{Formuła|<MATH>M\omega_0^2\;</MATH>}}. Ruch jądra jest pomijalny, wiec nie mamy magnetyzacji. Na ten ładunek działa siła tłumiąca jego ruch o stałej tłumienia równą {{Formuła|<MATH>M\Gamma\;</MATH>}}, zatem równanie ruchu ładunku q, na którą działa pole elektryczne o przebiegu kosinusoidalnej, jest:
{{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{x}=-M\omega_0^2x-M\Gamma\dot{x}+qE_x\;</MATH>|10.72}}
Natężenie fali pola elektrycznego, w zależności od częstotliwości występujące w równaniu {{LinkWzór|10.72}}, jest:
{{CentrujWzór|<MATH>E_x(\omega t)=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.73}}
Równanie ruchu położenia cząstki, który określamy poprzez amplitudę elastyczną E{{Sub|el}} i amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}}, piszemy:
{{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_{el}\cos(\omega t+\varphi)+A_{ab}\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.74}}
Amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}} i elastyczną A{{Sub|el}}, które już określaliśmy dla F{{Sub|0}}=qE{{Sub|0}} w punktach {{LinkWzór|3.29|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} i {{LinkWzór|3.30|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}}, które przepiszemy tutaj dla przejrzystości wykładu:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>A_{el}={{qE_0}\over{M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.75}}|2={{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.76}}}}
Ponieważ polaryzację definiujemy jako iloczyn koncentracji N, ładunku q i położenia tegoż ładunku {{LinkWzór|10.74}} przy definicji natężenia fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.73}}:
{{CentrujWzór|<MATH>P_x(t)=Nqx(t)=NqA_{el}\cos(\omega t+\varphi)+NqA_{ab}\sin(\omega t+\varphi)={{NqA_{el}}\over{E_0}}E_x(\omega t)+{{NqA_{ab}}\over{E_0}}E_x\left(\omega t-{{1}\over{2}}\pi\right)\;</MATH>|10.77}}
Możemy porównać wzory {{LinkWzór|10.71}} z {{LinkWzór|10.77}} na polaryzację iksową, wtedy dostajemy wzory na podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi_{el}={{Nq A_{el}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.78}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\chi_{ab}={{Nq A_{ab}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.79}}}}

=== Liczby zespolone w równaniach elektrodynamiki klasycznej i prowadzenie definicji podatności zespolonej ===
Równania elektrodynamiki klasycznej Maxwella nie zawierają w sobie liczb zespolonej, ale też jego rozwiązania, ale możemy prowadzić podatność elektryczną jako wielkość zespoloną jako:
{{CentrujWzór|<MATH>\chi=\chi_{el}+i\chi_{ab}\;</MATH>|10.80}}
Polaryzację zespoloną możemy przedstawić w zależności od natężenia pola elektrycznego zespolonego dla fali elektrycznej o częstotliwości kołowej &omega; wedle:
{{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi E_x(\omega t)\;</MATH>|10.81}}
Jeśli przedstawimy natężenie zespolone pola elektromagnetycznego w postaci wzoru zależnego od częstotliwości kołowej zapisywaną w konwencji używanej w mechanice kwantowej:
{{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}\;</MATH>|10.82}}
wtedy zapis polaryzacji zespolonej {{LinkWzór|10.81}} przy zastosowaniu definicji podatności elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} i wzoru na natężenie fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.82}} prowadzi do:
{{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=(\chi_{el}+i\chi_{ab})E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}+\chi_{ab}e^{-i{{\pi}\over{2}}}e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_{x}(\omega t)+\chi_{ab}E_{x}\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}\right)\;</MATH>|10.83}}
Część rzeczywista równania na polaryzację zespoloną {{LinkWzór|10.83}} jest w naszym przypadku polaryzacją elektryczną ośrodka, która jest taka sama jak wzór {{LinkWzór|10.71}}, wtedy definicja podatności zespolonej elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} jest definicją poprawną i zgadza się z naszymi rozważaniami.

=== Prosty model ośrodka liniowego izotropowego i jego zespolona stała dielektryczna ===
Względną zespoloną stałą dielektryczną możemy liczyć z bardzo podobnej  definicji do {{LinkWzór|10.66}}, przy definicji podatności elektrycznej równą {{LinkWzór|10.80}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\epsilon=1+\chi=1+{{Nq}\over{\epsilon_0M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}+i{{Nq}\over{\epsilon_0 M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.84}}

=== Rozwiązywanie ruchu ładunku q w ośrodku tłumionym o wymuszonym pod działaniem konsinosidalnej siły elektrycznej przy wprowadzeniu liczb zespolonych ===
Równanie ruchu danego ładunku w ośrodku przestawiamy analogicznie do {{LinkWzór|10.73}}, który jest przedstawiony w przestrzeni rzeczywistej, a tutaj przedstawimy je w przestrzeni zespolonej:
{{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}+\omega_0^2x={{q}\over{M}}E_0e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.85}}
Będziemy tutaj rozpatrywać ruch ładunków ośrodka, którego rozwiązanie przepuszczalne jest dla x=x{{Sub|0}}e{{Sup|-i&omega;t}}, wtedy podstawiając to do {{LinkWzór|10.85}} i pamiętając przy tym {{Formuła|<MATH>\dot{x}=-i\omega x\;</MATH>}}, i {{Formuła|<MATH>\ddot{x}=-\omega^2x\;</MATH>}}, wtedy powyższe równanie ruchu cząstki obdarzonej ładunkiem q w ośrodku jest:
{{CentrujWzór|<MATH>(-\omega^2-i\omega\Gamma+\omega^2_0) x={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow x(\omega t)={{q}\over{M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega)-i\omega\Gamma}}E_x(\omega t)\;</MATH>|10.86}}
Równanie {{LinkWzór|10.86}}, a właściwie jej część rzeczywista jest równoważna z rozwiązaniem {{LinkWzór|10.74}} przy definicji amplitudy elastycznej A{{Sub|el}} {{LinkWzór|10.75}} i absorpcyjnej A{{Sub|ab}} {{LinkWzór|10.86}}.
Stałą podatność piszemy w postaci wzoru wynikającą z {{LinkWzór|10.81}}, w której wykorzystamy definicję  polaryzacji elektrycznej {{LinkWzór|10.77}} do zapisania tej wielkości:
{{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{P_x}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nqx}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nq^2}\over{\epsilon_0E_x}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.87}}
Zespoloną względna przenikalność elektryczną liczmy ze wzoru {{LinkWzór|10.87}}, w ten sposób otrzymujemy analogiczny do {{LinkWzór|10.84}} wzór:
{{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi=1+{{Nq^2}\over{\epsilon_0M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.88}}
Jak można wykazać, wzór {{LinkWzór|10.88}} jest równoważny ze wzorem {{LinkWzór|10.84}}, co tutaj nie będziemy wykazywali, co jest trywialne.

=== Równania elektrodynamiki klasycznej dla ośrodka liniowego izotropowego ===
{{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!--
      -->{{Wiersz|<!--
             -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|''' Prawa Maxwella dla ośrodka liniowego ''':}}}}<!--
      -->}}{{Wiersz|<!--
             -->{{Komórka|{{Center|''' Pierwsze prawo Maxwella '''}}}}<!--
             -->{{Komórka|{{Center|''' Drugie prawo Maxwella '''}}}}<!--
             -->{{Komórka|{{Center|''' Trzecie prawo Maxwella '''}}}}<!--
             -->{{Komórka|{{Center|''' Czwarte prawo Maxwella '''}}}}<!--
      -->}}{{Wiersz|<!--
             -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{E}={{1}\over{\epsilon}}\rho_{sw}</MATH>|10.89}}}}<!--
             -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.90}}}}<!--
             -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.91}}}}<!--
             -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{B}=\mu\vec{J}_{sw}+\epsilon\mu{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}</MATH>|10.92}}}}<!--
      -->}}<!--
-->}}
Będziemy tutaj rozpatrywali, gdy gęstość objętościowa i prąd objętościowy ładunku swobodnych są te wielkości równe zero, jeśli będziemy rozpatrywali fale elektromagnetyczne.

=== Równanie falowe ===
Mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.92}},  dalej po skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|10.91}}, w ostateczności otrzymujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{B})=\epsilon\mu{{\partial}\over{\partial t}}(\nabla\times\vec{E})=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.93}}
Podobne mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.91}}, dalej po skorzystaniu ze wzoru 
{{LinkWzór|10.92}}, otrzymujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{E})=-{{\partial}\over{\partial t}}\nabla\times\vec{B}=-\mu\epsilon{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.94}}
Będziemy tutaj wykorzystywali tożsamość, którą przepiszemy jako bez dowodu, którego przeprowadzenie jest bardzo łatwe.
{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\vec{C})=\nabla(\nabla\vec{C})-\nabla^2\vec{C}\;</MATH>|10.95}}
Jeśli skorzystamy z tożsamości {{LinkWzór|10.95}} do {{LinkWzór|10.93}} i {{LinkWzór|10.94}}, to w ten sposób otrzymujemy dwa równania falowe na natężenia pola elektrycznego i indukcję pola magnetycznego:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{E}=-\epsilon\mu{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t^2}}=0\;</MATH>|10.96}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{B}=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.97}}}}
Równania {{LinkWzór|10.96}} i {{LinkWzór|10.97}} są to równania  fali, których jest trzy dla fali pola elektrycznego i trzy dla fali pola magnetycznego, których razem mamy sześć równań dla fali pola elektromagnetycznego, które w ogólnym przypadku zapisujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\psi(x,y,z,t)-\epsilon\mu{{\partial^2\psi(x,y,z,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.98}}
dla którego kwadrat liczby falowej przepisujemy do postaci zależnej od względnej przenikalności dielektrycznej i względnej przenikalności magnetycznej:
{{CentrujWzór|<MATH>k_x^2+k_y^2+k_z^2={{\omega^2}\over{k^2}}\mu_r\epsilon_r\;</MATH>|10.99}}
Dla przenikalności elektrycznej względnej i przenikalność magnetycznej, które te dwie wielkości są zespolone, wtedy {{LinkWzór|10.99}} możemy zapisać w postaci kwadratu zespolonej liczby falowej dla rzeczywistej częstotliwości kołowej jako:
{{CentrujWzór|<math>\tilde{k}^2=\tilde{\mu}_r\tilde{\epsilon}_r{{\omega^2}\over{c^2}}\;</MATH>|10.100}}
Każdą falę możemy przedstawić w postaci zespolonej według wzoru:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right]e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.101}}
Dla fal elektromagnetycznych zachodzi bardzo podobny związek do {{LinkWzór|10.101}}, który tutaj dla naszego przypadku nie będziemy przepisywać dla zwięzłości wykładu.

=== Związek pomiędzy natężeniem pola elektrycznego i magnetycznego dla fali płaskiej elektromagnetycznej ===
Związek pomiędzy falami magnetycznymi i elektrycznymi na podstawie {{LinkWzór|10.91}} i {{LinkWzór|10.92}} dla iksowego pola elektrycznego i igrekowego pola magnetycznego przepisujemy w postaci dwóch równań:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial z}}=-\epsilon\mu{{\partial E_x}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.102}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial t}}=-{{\partial E_x}\over{\partial z}}\;</MATH>|10.103}}}}
Napiszmy teraz natężenie iksowe pola elektrycznego i magnetycznego w postaci równań fali biegnącej w kierunku osi z, jest ona superpozycją fali biegnącej w kierunku +z i w kierunku -z:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x(z,t)=\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.104}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_y(z,t)={{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.105}}}}
Równania {{LinkWzór|10.104}} i {{LinkWzór|10.105}} podstawiamy do {{LinkWzór|10.102}}, w ten sposób mamy tożsamość, którego postać po obu stronach jest jednakowa:
{{CentrujWzór|<MATH>{{n}\over{c}}(ikAe^{ikz}+ikBe^{-ikz})e^{-i\omega t}=-{{-\omega i}\over{v^2}}(Ae^{ikz}+Be^{-ikz})e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.106}}
Powyższą równość jest tożsamością, jak można było udowodnić przy definicji współczynnika załamania n=c/v, następnie przejdźmy do dowodu równości {{LinkWzór|10.103}}:
{{CentrujWzór|<MATH>-i\omega {{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}=-(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz})e^{-\omega t}\;</MATH>|10.107}}
Powyższa równość staje się tożsamością przy definicji współczynnika załamania n=c/v.

=== Współczynnik transmisji i odbicia ===
Natężenie pola elektrycznego padająca na granicę dwóch ośrodków, na której tej granicy fala padająca jest odbijana przy współczynniku odbicia R{{Sub|12}}, a także część tej fali przechodzi do drugiego ośrodka, którego to równania fali dla natężenia fali elektrycznej padającej i odbitej przedstawiamy:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x^{pad}=Ae^{i(k_1z-\omega t)}+AR_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.108}}|2={{CentrujWzór|<MATH>E_x^{odb}=AT_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.109}}}}
Dla pola magnetycznego zachodzą bardzo podobne związki do {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}} przy definicji współczynnika odbicia i transmisji:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>B_y^{pad}=n_2Ae^{i(k_1z-\omega t)}+An_2R_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.110}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_y^{odb}=An_2T_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.111}}}}
Ciągłość w punkcie z=0, daje nam, że suma współczynnika odbicia R{{Sub|12}} i jedynki jest równa współczynnikowi transmisji dla równań {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}}. A także w wyniku tożsamości {{Formuła|<MATH>H_y={{B_y}\over{\mu}}\;</MATH>}}, której natężenie pola magnetycznego jest wielkością ciągłą dla równań {{LinkWzór|10.101}} i {{LinkWzór|10.111}} dla tego samego "z",  możemy zapisać:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>1+R_{12}=T_{12}\;</MATH>|10.112}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{n_1}\over{\mu_1}}(1-R_{12})={{n_2}\over{\mu_2}}T_{12}\;</MATH>|10.113}}}}
Zdefiniujemy teraz impedancję charakterystyczną, która jest w zależności od przenikalności elektrycznej i magnetycznej ośrodka, którego początkowa definicja jest ilorazem przenikalności magnetycznej ośrodka przez współczynnik załamania:
{{CentrujWzór|<math>Z={{\mu}\over{n}}={{\mu v}\over{c}}={{\mu}\over{c}}\sqrt{{{1}\over{\mu\epsilon}}}={{1}\over{c}}\sqrt{{{\mu}\over{\epsilon}}}\;</MATH>|10.114}}
Jeśli wykorzystamy definicje impedancji {{LinkWzór|10.114}}, a także wykorzystamy do tego celu tożsamości {{LinkWzór|10.112}} i {{LinkWzór|10.113}}, w ten sposób możemy wyznaczyć wzór na współczynnik odbicia, dalej przepiszemy jego postać dla przenikalności magnetycznej równą jeden:
{{CentrujWzór|<MATH>Z_1^{-1}(1-R_{12})=Z_2^{-1}(1+R_{12})\Rightarrow Z_1^{-1}-Z_2^{-1}=(Z_2^{-1}+Z_1^{-1})R_{12}\Rightarrow R_{12}={{Z_2-Z_1}\over{Z_1+Z_2}}={{n_1-n_2}\over{n_
1+n_2}}\;</MATH>|10.115}}
Jeśli współczynnik załamania ośrodka pierwszego jest równy jedności, tzn. n{{Sub|1}}=1, wtedy współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.115}}, przy definicji impedancji {{LinkWzór|10.114}}, jest równy:
{{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}\;</MATH>|10.116}}
Jeśli w współczynniku odbicia R{{Sub|12}}podstawimy współczynnik załamania przez n=n{{Sub|R}}+in{{Sub|l}} dla  współczynnika załamania n{{Sub|1}} równy jeden i dla współczynnika załamania n{{Sub|2}} równą po prostu n. Wtedy można przedstawić R{{Sub|12}} i jego kwadrat modułu w jednej linijce:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}={{(1-n_R)-in_I}\over{(1+n_R)+in_I}}=|R_{12}|e^{i\varphi}\;</MATH>|10.117}}|2={{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(1-n_R)^2+n_I^2}\over{(1+n_R)^2+n_I^2}}\;</MATH>|10.118}}}}

=== Uproszczony prosty model przewodnika dyspersyjnego w przypadku stałego pola elektrycznego iksowego ===
Weźmy sobie uproszczony model przewodnika, w którym każdy elektron już nie oddziaływuje z jądrem na w sposób sprężysty, na te ładunki w przewodniku działa siła pochodząca od pola elektrycznego,  jego równanie ruchu jest: 
{{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.119}}
Weźmy teraz stacjonarne pola elektryczne, to {{LinkWzór|10.119}} możemy rozwiązać   dokonując w nim podstawienia {{Formuła|<MATH>\dot{x}=s\;</MATH>}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\dot{s}+\Gamma s={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow {{d}\over{dt}}\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)+\Gamma\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)=0\Rightarrow s={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\Rightarrow\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\;</MATH>|10.120}}
Jeśli przyjmować będziemy przykład dużego tłumienia w przewodniku, wtedy wyrażenie {{LinkWzór|10.120}} możemy przepisać w sposób przybliżony:
{{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\;</MATH>|10.121}}

=== Absorpcyjny oporowy obszar częstości, przenikalność i przewodność elektryczna ===
Wyobraźmy sobie elektron, który oddziałuje z polem o charakterze fali, dla &Gamma;>>&omega;, wtedy na podstawie tego współczynnik elastyczny A{{Sub|el}} jest równy zero, wtedy współczynnik absorpcyjny przybiera postać:
{{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{\Gamma^2\omega^2}}={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\;</MATH>|10.122}}
Pochodna cząstkowa położenia ładunku q określimy jako pochodna zupełna położenia elektronu {{LinkWzór|10.73}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}(t)=A_{ab}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M\Gamma}}\cos(\omega t+\varphi)={{qE_x}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.123}}
Gęstość prądu elektrycznego, z którego wyprowadzimy różniczkowe prawo Ohma, definiujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq {{qE_x}\over{M\Gamma}}=\sigma E_x\mbox{ gdzie: }\sigma={{Nq^2}\over{\Gamma M}}\mbox{, dla } \omega<<\Gamma\;</MATH>|10.124}}
Do tego problemu podejdźmy teraz z innej strony rozpatrując, że pole elektryczne drga i zapiszemy go w postaci eksponencjalnej, wtedy gęstość prądu elektrycznego możemy przepisać w formie:
{{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq(-i\omega x)=-i\omega(Nqx)=-i\omega P_x=-i\omega \chi \epsilon_0 E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.125}}
Z posługiwania się tożsamością {{LinkWzór|10.125}} możemy wywnioskować, że przewodność elektryczną definiujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}(\omega)=-i\omega\chi\epsilon_0=-i\omega\epsilon_0(\chi_{el}+i\chi_{ab})=\omega\epsilon_0\chi_{ab}-i\omega\epsilon_0\chi_{el}\;</MATH>|10.126}}
Zamiast posługiwania się powyższym wzorem na przewodność elektryczną, tzn.  jej częścią rzeczywistą i urojoną, można się posługiwać zespolonymi wielkościami, dla których zespoloną podatność elektryczną i zespoloną przewodność elektryczną dla zerowania się częstotliwości drgań podstawowych piszemy przy wykorzystaniu {{LinkWzór|10.87}}:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{-\omega^2-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.127}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=-i\omega\epsilon_0\chi(\omega)={{Nq^2}\over{M}}{{i\omega}\over{\omega^2+i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.128}}}}
Gdy wybierzemy przykład &omega;<<&Gamma;, wtedy zespoloną podatność elektryczną {{LinkWzór|10.127}} i zespoloną przewodność elektryczną {{LinkWzór|10.128}} piszemy:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi=i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.129}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}={{Nq^2}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.130}}}}
Wyznaczmy teraz współczynnik  załamania światła, który możemy przedstawić z zależności od podatności elektrycznej, gdy współczynnik przenikalności magnetycznej względny wynosi jeden:
{{CentrujWzór|<MATH>n^2={{c^2}\over{v^2}}=c\mu\epsilon=c^2\mu_r\mu_0\epsilon_0\epsilon_r=\mu_r\epsilon_r\simeq 1+\chi=1+i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}=1+i{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}\mbox{, gdzie:}\omega^2_{pl}={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}\;</MATH>|10.131}}

==== Rozrzedzony ośrodek oporowy ====
Dla rozrzedzonego ośrodka oporowego, zachodzą warunki, z których będziemy skorzystać:
{{CentrujWzór|<MATH>\omega_{pl}<<\Gamma\mbox{, }{{\omega_{pl}^2}\over{\Gamma}}<<\omega<<\Gamma\;</MATH>|10.132}}
wtedy współczynnik załamania światła {{LinkWzór|10.131}} jest napisany:
{{CentrujWzór|<MATH>n=\sqrt{1+i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}}\simeq 1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.133}}
Przy liczeniu współczynnika załamania pomijaliśmy wyrazy wyższego rzędu. Policzmy zespoloną liczbę falową wykorzystując {{LinkWzór|10.133}} przy użyciu definicji kwadratu &omega;{{Sub|pl}} i definicji przewodności elektrycznej &sigma; {{LinkWzór|10.124}}:
{{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}={{\omega}\over{c}}\left(1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)={{\omega}\over{c}}+i{{\omega}\over{2c}}{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{c\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+i{{1}\over{2}}{{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.134}}
Część urojona liczby falowej {{LinkWzór|10.134}} powoduje, że fala zanika wraz zwiększającą odległością zetową "z", ta część funkcji falowej dana jest przez e{{Sup|-Im(k)z}}, natężanie opisywanej fali jest wprost proporcjonalne do kwadratu tej części wspomnianej, czyli do e{{Sup|-2Im(k)z}}. Odległość zaniku natężenia fali elektromagnetycznej, określamy przez d=(2Im(k)){{Sup|-1}}, gdzie {{Formuła|<MATH>d\;</MATH>}}  jest takie, że funkcja indukcji pola magnetycznego i natężenia pola elektrycznego zmiejsza się {{Formuła|<MATH>e\;</MATH>}} razy względem zmiennej {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}}, piszemy przy pomocy współczynnika przewodności:
{{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2\operatorname{Im}(k)={{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\Rightarrow {{\rho_{res}}\over{d}}={{1}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.135}}
Mając współczynnik załamania zapisanego wzorem {{LinkWzór|10.133}}, wtedy kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}} określamy poprzez:
{{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_I^2}\over{2^2+n_I^2}}\simeq {{n_I^2}\over{4}}<<1\;</MATH>|10.136}}
Do końcowego wzoru na współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.136}} podstawiamy cześć zespoloną wyrażenia {{LinkWzór|10.133}}, otrzymujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{1}\over{16}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^2={{1}\over{16}}\left({{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0\omega}}\right)^2=
{{1}\over{16}}\left({{c}\over{d\omega}}\right)^2=\left({{\not{\lambda}}\over{4d}}\right)^2<<1\;</MATH>|10.137}}

==== Gęsty ośrodek oporowy ====
W przypadku gęstego ośrodka oporowego zachodzą warunki, z których będziemy korzystali:
{{CentrujWzór|<MATH>\omega<<\Gamma\mbox{, }\omega<<\omega_{pl}\mbox{, }\omega\Gamma<<\omega_{pl}^2\;</MATH>|10.138}}
Biorąc wzór na współczynnik załamania n {{LinkWzór|10.133}}  skorzystamy tutaj z tożsamości,  którą można udowodnić korzystając z wiadomości z algebry, tj. {{Formuła|<MATH>\left(e^{i{{1}\over{2}}\pi}\right)^{{{1}\over{2}}}=e^{i{{1}\over{4}}\pi}\;</MATH>}}, co odpowiada {{Formuła|<MATH>2^{-{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>}}, by potem było można oczywiście powiedzieć:
{{CentrujWzór|<MATH>n=\left(i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\left({{\omega_{pl}^2}\over{2\omega \Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=|n|{{1+i}\over{\sqrt{2}}}\;</MATH>|10.139}}
Zespoloną liczbę falową, na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.139}} i przy skorzystaniu {{LinkWzór|10.131}}, możemy przedstawić w postaci zależnej od współczynnika przewodności elektrycznej:
{{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\sigma_{ps}}\over{2\epsilon_0c}}\right)^{{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>|10.140}}
Mając zdefiniowany zespolony współczynnik załamania {{LinkWzór|10.139}} możemy policzyć kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}}:
{{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_R^2+1-2n_R+n_I^2}\over{n_R^2+1+2n_R+n_I^2}}\simeq{{|n|^2-2n_R}\over{|n|^2+2n_R}}={{|n|^2-\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}={{|n|^2+\sqrt{2}|n|-2\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|+\sqrt{2}}}\simeq 1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|}}=1-2\sqrt{2}\left({{\omega\Gamma}\over{\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.141}}
Ponieważ energia fali padającej do ośrodka  jest wprost proporcjonalna do kwadratu funkcji falowej, zatem współczynnik "d" przedstawiający zanik  natężenia fali wkraczający w ośrodek jest opisywany poprzez wzór w przedstawieniu:
{{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2k_I=2\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}\Rightarrow
d=\sqrt{{{c}\over{\omega}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega^2_{pl}}}\right)^{{{1}\over{2}}}=
\not{\lambda}\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\not{\lambda}\sqrt{{{\omega\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}}<<\not{\lambda}\;</MATH>|10.142}}
Jak widzimy z powyższych rozważań środek oporowy rozrzedzony jest w zasadzie czarnym, co daje niemal zupełną  absorpcję docierającego do niego światła. A przeciwnie ośrodek oporowy gesty zachowuje się jak dyskretny skupiony opór falowy, który daje niemal stukrotne odbicie.

=== Całkowicie elastyczny obszar częstości ===
Weźmy sobie równanie {{LinkWzór|10.114}} przy definicji położenia danego przez funkcję eksponencjalną  e{{Sup|-i&omega;t}}:
{{CentrujWzór|<MATH>-i\omega\dot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.143}}
Rozwiązanie równania {{LinkWzór|10.119}} w postaci funkcji prędkości dla &omega;>>&Gamma; jest funkcją zależną od E{{Sub|x}}, częstotliwości kołowej &omega;, masy  ładunku i ładunku o wartości "q":
{{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{M(-i\omega+\Gamma)}}\simeq {{q}\over{-i\omega M}}E_x={{iq}\over{\omega M}}E_x\;</MATH>|10.144}}
Jak widzimy cząstki, dla której prędkość względem siły jest przesunięta o &plusmn;90{{Sup|0}}, wtedy praca wykonywana nad ładunkiem jest równa zero.
Gęstość prądu elektrycznego określamy przy pomocy definicji prędkości zdefiniowaną w punkcie {{LinkWzór|10.144}}:
{{CentrujWzór|<MATH>J=Nq\dot{x}=i{{Nq^2}\over{\omega M}}E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.145}}
Przestawimy teraz w jednej linijce jaka jest definicja przewodności elektrycznej według {{LinkWzór|10.145}} (która jest liczbą zespoloną) i  kwadrat współczynnika załamania, patrząc na równanie {{LinkWzór|10.126}}:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=i{{Nq^2}\over{\omega M}}\;</MATH>|10.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>n^2=1+\chi=1+{{\sigma(\omega)}\over{-i\omega\epsilon_0}}=1-{{Nq^2}\over{\epsilon_0\omega^2M}}=1-{{\omega^2_{pl}}\over{\omega^2}}\;</MATH>|10.147}}}}

==== Przedział dla częstości dyspersyjnych ====
Obszar częstości dyspersyjnej możemy zdefiniować warunkami:
{{CentrujWzór|<MATH>\Gamma <<\omega_0\leq\omega\;</MATH>|10.148}}
Na podstawie warunku dyspersyjnego dla kwadratu współczynnika załamania {{LinkWzór|10.147}} można powiedzieć, że ona mieści się w przedziale od zera do jedynki, stąd wynika, że sam współczynnik załamania też leży w tym samym przedziale:
{{CentrujWzór|<MATH>0\leq n^2\leq 1\Rightarrow 0\leq n\leq 1\;</MATH>|10.149}}
Widzimy na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.149}}, że współczynnik n jest rzeczywisty. Ten ośrodek spełniającej {{LinkWzór|10.149}} jest ośrodkiem przezroczystym, który nie ma wcale absorpcji, a względne natężenie światła jest opisywane poprzez współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.118}}.

==== Przedział dla częstości reaktywnych ====
Obszar częstości reaktywnej możemy zdefiniować warunkami:
{{CentrujWzór|<MATH>\Gamma<<\omega\leq\omega_{pl}\;</MATH>|10.150}}
wtedy na podstawie {{LinkWzór|10.147}} i {{LinkWzór|10.150}} zachodzi warunek:
{{CentrujWzór|<MATH>-{{{\omega_{pl}}^2}\over{\Gamma^2}}<<n^2\leq 0\;</MATH>|10.151}}
Współczynnik załamania dla częstości kołowych reaktywnych na podstawie {{LinkWzór|10.151}} możemy przepisać, ale nie tym razem dla kwadratu, ale dla samego współczynnika załamania, w zależności od  częstotliwości kołowej fali:
{{CentrujWzór|<MATH>n=i|n|=i\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega^2}}-1\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.152}}
Policzmy czemu jest równa zespolona liczba falowa, której przedstawienie w zależności od współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}} podamy w postaci urojonej w zależności od częstotliwości kołowej, modułu współczynnika załamania i prędkości światła:
{{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=i|n|{{\omega}\over{c}}=i|k|\;</MATH>|10.153}}
Patrząc na {{LinkWzór|10.153}}, to całkowite natężenie fali w ośrodku reaktywnym jest przestawiane przy pomocy funkcji eksponencjalnych oraz względem sinusa i kosinus (bo eksponens z liczby urojonej możemy rozłożyć na jej część rzeczywistą przy pomocy kosinusa i na część urojoną przy pomocy sinusa) przy pomocy czasu:
{{CentrujWzór|<MATH>E_x=\left(Ae^{-|k|x}+Be^{|k|x}\right)e^{-i\omega t}\;</math>|10.154}}
Policzmy teraz kwadrat modułu współczynnik odbicia przy pomocy współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}}, która  jest ona wyrażona przy pomocy liczby stojącej przy jednostce urojonej i bez części rzeczywistej:
{{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{1+n^2_I}\over{1+n^2_I}}=1\;</MATH>|10.155}}

<noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>