Tekst źródłowy strony Fale/Dyfrakcja jako superpozycja bardzo dużej liczby fal

<noinclude><!--
-->{{SkomplikowanaStronaStart<!--
      -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!--
-->}}</noinclude>

Będziemy się tutaj zajmować zjawiskiem interferencji lub dyfrakcji. Zjawiskiem dyfrakcji nazywamy takie nakładanie się fal w wyniku superpozycji,  która powstaje na detektorze w przypadku dojścia tam fali wytworzonych przez dwa źródła lub dwie szczeliny, które natomiast są pobudzone do wytwarzania tychże fal przez pewne prawdziwe źródło  fal, jakie może być na przykład żarówka.

== Superpozycja nakładania się dwóch  lub więcej źródeł fal spójnych ==
Źródłami spójnymi w przypadku dwóch źródeł wytwarzających dwie fale, nazywamy falę, gdy różnica faz jest wielkością niezależną od czasu, co jest jedyne możliwe, gdy mamy doczynienia z falami o jednakowych częstotliwościach kołowych.
Interferencją konstruktywną nazywamy falę wyniku nakładania się maksimów lub minimum tychże fal. A wynik  interferencji dekonstruktywnej nazywamy takie nakładanie się dwóch fal, które powstaje wyniku nakładania się doliny pierwszej fali z grzbietem drugiej fali. Obraz interferencyjny nazywamy obraz, który powstaje w wyniku obszarów maksimum i minimum, który powstaje na detektorze. Jeśli będziemy rozpatrywać nakładanie się dwóch fal pochodzących od dalekich źródeł, wtedy mówimy, że detektor jest w dalekim polu źródeł.
{{Rysunek|Far field sources.jpeg|lk1|Dalekie pole dwóch źródeł, gdy odległość L{{Sub|1p}} przekracza znacznie mniej niż jedną długość fali|rozmiar=300px}}
Z rysunku obok wynika z definicji trójkąta prostokątnego:
{{CentrujWzór|<MATH>L_{2p}^2=L_{1P}^2+d^2\;</MATH>|9.1}}
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia znanego z algebry dla różnicy kwadratów, co można napisać wzór wynikający z {{LinkWzór|9.1}}:
{{CentrujWzór|<MATH>L_{2P}^2-L_{1P}^2=(L_{2p}-L_{1P})(L_{2P}+L_{1P})=d^2\;</MATH>|9.2}}
Interesuje nas przypadek, gdy L{{Sub|2P}} i L{{Sub|1P}} są prawie równe, ale ich różnica nie przekracza {{Formuła|<math>{{1}\over{2}}\lambda\;</MATH>}}, wtedy obliczenia {{LinkWzór|9.2}} można dokończyć przy naszych dysputach według schematu:
{{CentrujWzór|<MATH>d^2=(L_{2p}-L_{1P})(L_{2P}+L_{1P})={{1}\over{2}}\lambda(L_0+L_0)\;</math>|9.3}}
Patrząc na wzór {{LinkWzór|9.3}} można napisać, że przybliżenie dalekiego pola mamy, gdy iloczyn odległości do detektora od źródła fal przez długość fali światła jest równa w przybliżeniu kwadratowi odległości między dwoma źródłami, co piszemy:
{{CentrujWzór|<MATH>L_0\lambda\simeq d^2\;</math>|9.4}}
===Źródło pola elektromagnetycznego fali podłużnej===
Gdy fala jest wytwarzana przez oscylujący ładunek, która jak wiadomo porusza się z przyspieszeniem zależnych od czasu w postaci drgań harmonicznych tego ładunku, to fala elektromagnetyczna pola elektrycznego wykorzystując wzór {{LinkWzór|7.131|Fale_dwu-_i_trójwymiarowe_rozchodzące_się_w_przestrzeni}} jest napisana w zależności od czasu: 
{{CentrujWzór|<MATH>E(t)=-{{q\ddot{y}(t^')}\over{4\pi \epsilon_0 rc^2}}={{q\omega^2\cos(\omega t^'+\varphi)}\over{4\pi \epsilon_0 rc^2}}\;</MATH>|9.5}}
Widzimy na podstawie {{LinkWzór|9.5}} dla fali  pola elektrycznego, która jest falą z pewną  amplitudą, jest:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E(t)=A(r)\cos(\omega t^'+\varphi)=A(r)\cos\omega(t-{{r}\over{c}})\;</MATH>|9.6}}|2={{CentrujWzór|<MATH>A(r)={{\omega^2}qy_0\over{4\pi\epsilon_0 rc^2}}\;</MATH>|9.7}}}}
Jeśli mamy N źródeł, to koleino  oznaczamy natężenie fali pola elektrycznego przy pomocy wskaźnika jeden lub dwa, aż do N.

=== Różnica faz spowodowana różnicą dróg optycznych ===
{{Rysunek|Interference as a result we put the two sources.jpeg|lk2|Interferencja w wyniku nakładamy się dwóch źródeł}}

Widzimy, że według rysunku obok różnica między promieniem r{{Sub|2}}, a r{{Sub|1}} jest równa &Delta;s, i jest wyrażona względem odległości dwóch szczelin i kąta pomiędzy poziomem, a promieniem pierwszym lub  drugim, bo ten kąt dla promienia pierwszego i drugiego jest jednakowy:
{{CentrujWzór|<MATH>\Delta s=d\sin\theta\;</MATH>|9.8}}
Różnica faz między promieniem drugim a pierwszym, bo promień drugi przebywa dłuższą drogę optyczną niż pierwszy, zapisujemy w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>{{\Delta\phi}\over{\Delta s}}={{2\pi}\over{\lambda}}\Rightarrow \Delta\phi=\Delta s{{2\pi}\over{\lambda}}=2\pi{{d\sin\theta}\over{\lambda}}\;</MATH>|9.9}}

=== Równanie interferencyjne dla dwóch szczelin ===
Weźmy sobie teraz sobie falę płaską wytwarzaną przez źródło pierwsze jak i drugie, która jest falą pola elektrycznego, przy założeniu, że te dwie fale wytwarzane są przez dwa źródła o takiej samej częstotliwości i przesunięciu fazowym,  dodajmy te dwie fale do siebie w wyniku superpozycji tychże fal daleko od źródła fal, otrzymujemy stąd wniosek:
{{CentrujWzór|<MATH>E(r,\theta,t)=E_1+E_2=A(r)\cos(\omega t-kr+\varphi)+A(r)\cos(\omega t-kr+\varphi-\Delta\phi)=2A(r)\cos(\omega t+\varphi-\Delta\phi)\cos \pi{{d\sin\theta}\over{\lambda}}\;</MATH>|9.10}}
Aby wystąpiły maksima fali w wyniku interferencji dwóch fal i w wyniku tego drugi czynnik musi być równy plus jeden lub minus jeden, co jest możliwe gdy:
{{CentrujWzór|<MATH>\pi{{d\sin\theta}\over{\lambda}}=m\pi\Rightarrow d\sin\theta=n\lambda\;</MATH>|9.11}}
Fala napisana wzorem {{LinkWzór|9.10}}, aby  przyjmowała wartość zero, czyli wtedy natężenie pola elektrycznego jest równe zero, to musi być spełnione:
{{CentrujWzór|<math> \pi{{d\sin\theta}\over{\lambda}}={{\pi}\over{2}}\left(2m+1\right)\Rightarrow d\sin\theta=\left(m+{{1}\over{2}}\right)\lambda\;</MATH>|9.12}}

=== Warunek spójności dwóch źródeł ===
{{Rysunek|Consistency multiple sources.jpeg|lk3|Spójność wielu źródeł|rozmiar=300px}}
Wykażemy tutaj, że jeśli mamy źródła fal a,b,c, to wtedy działa ono jako efektywne punktowe źródło światła, jeśli jest spełniony pewien warunek, który mamy zamiar wyprowadzić. Według rysunku obok możemy powiedzieć:
{{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta={{D}\over{L}}\;</MATH>|9.13}}
Wzór {{LinkWzór|9.13}} podstawiamy do {{LinkWzór|9.11}} dla n=1, w ten sposób otrzymujemy tożsamość:
{{CentrujWzór|<MATH>d{{D}\over{L}}=\lambda\Rightarrow dD=\lambda L\;</math>|9.14}}
W rzeczywistości d możemy być on wiele mniejsze niż to wynika z równania końcowego {{LinkWzór|9.14}}, zatem nasz warunek na spójność wielu źródeł piszemy:
{{CentrujWzór|<MATH>dD<<\lambda L\;</MATH>|9.15}}

=== Obraz pojedynczej szczeliny w obrazie dyfrakcyjnym ===
{{Rysunek|N antennas or N narrow slits, which oscillate in phase loads.jpeg|lk4|N anten Huygensa lub N wąskich szczelin, których ładunki oscylują z odpowiednią częstością kołową}}

Posłużmy się teraz konstrukcją Huygensa, którą zastępujemy falę od odległego źródła falą płaską, która pada  na N szczelin, w których mamy oscylujące ładunki, które wytwarzają fale kuliste, którego natężenie fali jest opisane w przestrzeni rzeczywistej, mamy:
{{CentrujWzór|<math>E=A(r)\cos(\omega t-kr_1)+A(r)\cos\omega t-kr_2)+...+A(r)\cos(\omega t-kr_N)\;</MATH>|9.16}}
Superpozycję fali zapisaną w punkcie {{LinkWzór|9.16}} możemy również zapisać w postaci zespolonej w przestrzeni zespolonej  przy pomocy eksponentów, którego  odpowiednik wspomnianego równania jest:
{{CentrujWzór|<MATH>E_c(r)=A(r)e^{-i\omega t}\left(e^{ikr_1}+e^{ikr_2}+...+e^{ikr_N}\right)\;</MATH>|9.17}}
Poszczególne odległości r{{Sub|1}}, r{{Sub|2}},..,r{{Sub|N}} piszemy w zależności od ilości  N szczelin, kąta padania &theta; i odległości między szczelinami:
{{CentrujWzór|<MATH>\begin{matrix}
r_2=r_1+d\sin\theta\\
r_3=r_1+2d\sin\theta\\
\cdots\\
r_N=r_1+(N-1)d\sin\theta\end{matrix}\;</MATH>|9.18}}
Wzory {{LinkWzór|9.18}} wsadzamy do tożsamości {{LinkWzór|9.17}}, stąd w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy;
{{CentrujWzór|<MATH>E_c=A(r)e^{i(\omega t-kr_1)}\left(1+e^{ik(r_2-r_1)}+e^{ik(r_3-r_1)}+...+e^{ik(r_{N-1}-r_1)}\right)=A(r)e^{i(\omega t-kr_1)}\left(1+e^{d\sin\theta}+e^{2d\sin\theta}+...+e^{(N-1)d\sin\theta}\right)</MATH>|9.19}}
Dalszym krokiem jest wykorzystanie wzoru na zwartą sumę szeregu geometrycznego, który ma iloraz {{Formuła|<MATH>q=e^{d\sin\theta}\;</math>}}, w ten sposób {{LinkWzór|9.19}} przyjmuje postać:
{{CentrujWzór|<MATH>E_c=A(r)e^{-i(\omega t-kr_1)}{{e^{iNkd\sin\theta}-1}\over{e^{idk\sin\theta}-1}}=A(r)e^{-i(\omega t-kr_1)}{{e^{i{{1}\over{2}}Ndk\sin\theta}}\over{e^{i{{1}\over{2}}dk\sin\theta}}}{{e^{i{{1}\over{2}}Ndk\sin\theta}-e^{-i{{1}\over{2}}Ndk\sin\theta}}\over{e^{i{{1}\over{2}}dk\sin\theta}-e^{-i{{1}\over{2}}dk\sin\theta}}}\;</MATH>{{Br}}<MATH>=
A(r)e^{-i(\omega t-kr_1)}e^{i{{1}\over{2}}k(N-1)d\sin\theta}{{\sin k{{1}\over{2}}Nd\sin\theta}\over{\sin k{{1}\over{2}}d\sin\theta}}=
A(r)e^{-i(\omega t-kr_1-{{1}\over{2}}k(N-1)d\sin\theta)}{{\sin k{{1}\over{2}}Nd\sin\theta}\over{\sin k{{1}\over{2}}d\sin\theta}}\;</MATH>|9.20}}

=== Przykład ciągły nieskończenie wielu szczelin na odległości D ===
Weźmy sobie N szczelin, których liczba jest nieskończona przy stałym D przy d dążących do zero, zatem w takim przypadku mamy prawo powiedzieć na podstawie wzoru {{LinkWzór|9.17}}, że wypadkową amplitudę piszemy jako:
{{CentrujWzór|<MATH>A(r,\theta)=A(r)\lim_{d\rightarrow 0}{{\sin k{{1}\over{2}}Nd\sin\theta}\over{\sin k{{1}\over{2}}d\sin\theta}}=
A(r)N\lim_{d\rightarrow 0}{{\sin {{1}\over{2}}kD\sin\theta}\over{{{1}\over{2}}kNd\sin \theta}}=A(r,0){{\sin{{1}\over{2}}kD\sin\theta}\over{{{1}\over{2}}D\sin\theta}}\;</MATH>|9.21}}
{{Rysunek|The amplitude of vibration and amplitude of the wave intensity.jpeg|lk5|Amplituda drgań i amplituda natężenia fali|rozmiar=300px}}
Całkowite przemieszczenie na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|9.21}} i na podstawie definicji naszego przemieszczenia {{LinkWzór|9.17}} jest określone:
{{CentrujWzór|<MATH>E_c(r,\theta)=A(r,0)e^{-i(\omega t-kr-{{1}\over{2}}kD\sin\theta)}{{\sin{{1}\over{2}}kD\sin\theta}\over{{{1}\over{2}}D\sin\theta}}\;</MATH>|9.22}}
Według obliczeń {{LinkWzór|9.22}} możemy obliczyć średni strumień energii, która tutaj po uśrednieniu po czasie mamy:
{{CentrujWzór|<MATH>I(r,\theta)=I_{max}{{\sin^2{{1}\over{2}}D\sin\theta}\over{{{1}\over{2}}D\sin\theta}}\;</MATH>|9.23}}

=== Nieoznaczoność liczby falowej i położenia i dyfrakcyjna kątowa szerokość wiązki ===
Patrząc na rysunek powyżej szerokość połówkowa wiązki nazywamy przedział, który rozciąga się od {{Formuła|<math>\theta=-{{1}\over{2}}{{\lambda}\over{D}}\;</MATH>}} do {{Formuła|<math>\theta={{1}\over{2}}{{\lambda}\over{D}}\;</MATH>}}  i jego wartość określona jest przez:
{{CentrujWzór|<MATH>\Delta\theta=\left({{1}\over{2}}{{\lambda}\over{D}}\right)-\left(-{{1}\over{2}}{{\lambda}\over{D}}\right)={{\lambda}\over{D}}\;</MATH>|9.24}}
Całkowita wartość liczby falowej jest tak określona, by jego kwadrat był {{Formuła|<math>k^2=k_x^2+k_y^2+k_z^2\;</MATH>}}, zdefiniujmy w nim współrzędne iksowe k{{Sub|x}}=k cos&theta;, a k{{Sub|z}}=kcos&theta; i na samym końcu k{{Sub|y}}, która jest równa zero, zatem stosując przybliżenie małych kątów, wtedy kosinus zastąpimy przez jedynkę, a sinus kąta przez sam kąt, wtedy współrzędną iksową liczby falowej możemy zapisać w przybliżeniu wedle sposobu:
{{CentrujWzór|<MATH>k_x=k\sin\theta\simeq k\theta\;</MATH>|9.25}}
Zatem nieoznaczoność liczby falowej i położenia w ostatecznych rozrachunkach, przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|9.23}} i {{LinkWzór|9.24}} zastępując D przez &Delta;x, jest:
{{CentrujWzór|<MATH>\Delta k_x\simeq d\Delta \theta\simeq k{{\lambda}\over{D}}={{2\pi}\over{D}}\Rightarrow \Delta k_xD\simeq 2\pi\Rightarrow\Delta k_x\Delta x\simeq 2\pi\;</MATH>|9.26}}
Można również udowodnić podobnie jak powyżej, że nieoznaczoności zachodzą również dla współrzędnej igrekowej i zetowej, a także dla częstotliwości kołowej, które możemy napisać jako związki:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta k_x\Delta x\geq 2\pi\;</math>|9.27}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta k_y\Delta y\geq 2\pi\;</math>|9.28}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\Delta k_z\Delta z\geq 2\pi\;</math>|9.29}}|4={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\omega\Delta t\geq 2\pi\;</MATH>|9.30}}}}

== Optyka geometryczna ==

=== Odbicie od płaszczyzny fali płaskiej ===
{{Rysunek|The_reflection_of_light.jpg|lk7|Obicie fali płaskiej od płaszczyzny|rozmiar=300px}}
Odległość dróg fazowych dwóch promieni padającej pierwszej względem promienia drugiego według rysunku obok możemy zapisać według:
{{CentrujWzór|<MATH>\Delta s=d\sin\alpha-d\sin\beta=d(\sin\alpha-\sin\beta)\;</MATH>|9.31}}
Różnica dróg fazowych między promieniem drugim a pierwszym, bo promień drugi przebywa dłuższą drogę optyczną niż pierwszy, możemy zapisać:
{{CentrujWzór|<MATH>{{\Delta \phi}\over{\Delta s}}={{2\pi}\over{\lambda}}\Rightarrow\Delta \phi={{2\pi}\over{\lambda}}(\sin\alpha-\sin\beta)\;</MATH>|9.32}}
Równanie fal materii pierwszego i drugiego promienia, uwzględniają przesunięcie fazowe tychże fal przed ugięciem fal, a także przesunięcie drugiej fali względem pierwszej po ugięciu, pisząc je wedle:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi_1=Ae^{-i(\omega t-ks+\delta_0)}\;</MAth>|9.33}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_2=Ae^{-i(\omega t-ks+\delta_0-\Delta\phi)}\;</MaTH>|9.34}}}}
Według zasady Huygensa musimy dodać fale {{LinkWzór|9.33}} do {{LinkWzór|9.34}}, które ulegają superpozycji w bardzo dużej odległości od kryształu, co można zapisać w przybliżeniu, że te dwie fale poruszają się po liniach prostych:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi=\psi_1+\psi_2=A\left(e^{-i\left(\omega t-ks+\delta_0\right)}+e^{-i\left(\omega t-ks+\delta_0-\Delta\phi\right)}\right)=
Ae^{-i\left(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}}\right)}\left(e^{i\left({{\Delta\phi}\over{2}}\right)}+e^{i\left(-{{\Delta\phi}\over{2}}\right)}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=
2Ae^{-i\left(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}}\right)}\cos\left({{\Delta\phi}\over{2}}\right)=2Ae^{-i\left(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}}\right)}\cos \left[{{\pi}\over{\lambda}}d\left(\sin\alpha-\sin\beta\right)\right]\;</MATH>|9.35}}
W wyrażeniu {{LinkWzór|9.58}} kosinus przyjmuje wartość jeden lub minus jeden, gdy wyrażeniu pod kosinusem jest {{Formuła|<MaTH>m\pi\;</MATH>}}, wtedy moduł wspomnianego wyrażenia przyjmuje wartość maksymalną, gdy zachodzi zależność:
{{CentrujWzór|<MATH>{{\pi}\over{\lambda}}d(\sin\alpha-\sin\beta)=m\pi\Rightarrow d(\sin\alpha-\sin\beta)=m\lambda\Rightarrow\sin\alpha-\sin\beta=m{{\lambda}\over{d}}\;</MATH>|9.36}}
Przyjmujemy, że &lambda;>d, wtedy {{Formuła|<MATH>m{{\lambda}\over{d}}>1\;</MATH>}}, ale ponieważ lewa strona równania jest zawsze mniejsza niż jeden, a prawa strona jest większa niż jeden dla m>0, co stąd wynika, że jedyną możliwością jest m=0, co na podstawie {{LinkWzór|9.36}} dostajemy &alpha;=&beta;. Otrzymujemy, ze promień odbicia jest równy promieniowi padania.

=== Załamanie fali płaskiej ===
Odległość AB i DC możemy policzyć przy pomocy właściwości trójkąta równobocznego, które tutaj piszemy wzorami:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>AB=d\sin\alpha\;</MATH>|9.37}}|2={{CentrujWzór|<MATH>DC=d\sin\beta\;</MATH>|9.38}}}}
Różnica dróg między promieniem drugim a pierwszym, bo promień drugi przebywa dłuższą drogę optyczną niż pierwszy, możemy zapisać:
{{CentrujWzór|<math>\Delta \phi={{2\pi}\over{\lambda_1}}d\sin\alpha-{{2\pi}\over{\lambda_1}}d\sin\beta=\omega\left({{1}\over{v_1}}d\sin\alpha-{{1}\over{v_2}}d\sin\beta\right)={{\omega d}\over{c}}\left(n_1\sin\alpha-n_2\sin\beta\right)</MATH>|9.39}}
{{Rysunek|The phenomenon of refraction of light rays through a transparent isotropic incidence at the center.jpeg|lk8|Zjawisko załamania fali płaskiej|rozmiar=250px}}
Funkcje  falowe występujące w zjawisku załamania mają taki sam wygląd jak w zjawisku odbicia, czyli funkcje {{LinkWzór|9.33}} i {{LinkWzór|9.34}}, zatem złożenie tychże funkcji piszemy wedle:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi=\psi_1+\psi_2=A\left(e^{-i(\omega t-ks+\delta_0)}+e^{-i(\omega t-ks+\delta_0-\Delta\phi)}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=
Ae^{-i(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}})}\left(e^{i({{\Delta\phi}\over{2}})}+e^{i(-{{\Delta\phi}\over{2}})}\right)=
2Ae^{-i(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}})}\cos\left({{\Delta\phi}\over{2}}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=
2Ae^{-i(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}})}\cos\left[{{\omega d}\over{2c}}\left(n_1\sin\alpha-n_2\sin\beta\right)\right]\;</MATH>|9.40}}
W wyrażeniu {{LinkWzór|9.37}} kosinus przyjmuje wartość jeden lub minus jeden, gdy wyrażeniu pod kosinusem jest {{Formuła|<MaTH>m\pi\;</MATH>}}, wtedy moduł wspomnianego wyrażenia przyjmuje wartość maksymalną, gdy zachodzi zależność:
{{CentrujWzór|<MATH>{{\omega d}\over{2c}}\left(n_1\sin\alpha-n_2\sin\beta\right)=m\pi\Rightarrow n_1\sin\alpha-n_2\sin\beta=m\pi{{2c}\over{\omega d}}\;</MATH>|9.41}}
Dla dowolnie małego d występujące w tożsamości {{LinkWzór|9.41}} prawa jego strona jest dowolnie duża dla m>0, a lewa skończona jest skończona, zatem jedyną możliwością jest m=0, zatem co wynika ze wspomnianego równania wniosek:
{{CentrujWzór|<MATH>n_1\sin\alpha-n_2\sin\beta=0\Rightarrow n_1\sin\alpha=n_2\sin\beta\;</MATH>|9.42}}
Prawo opisane wzorem {{LinkWzór|9.40}} nazywamy prawem załamania Snelliusa.

=== Zasada Fermata a prawo odbicia ===
{{Rysunek|Fermat's principle and the law of reflection.jpeg|lk9|Zasada Fermata  prawo odbicia}}
Całkowity czas jaki promień leci na powierzchnię graniczną z punktu A, który pada na powierzchnię i odbija się od punktu B i leci do punktu  C, jest wyrażona przy stałych parametrach y{{Sub|1}}, y{{Sub|2}}:
{{CentrujWzór|<MATH>t={{1}\over{c}}\sqrt{y_1^2+x_1^2}+{{1}\over{c}}\sqrt{y_2^2+x_2^2}\;</math>|9.43}}
Zróżniczkujmy obie strony równości {{LinkWzór|9.43}} i przyrównajmy różniczkę czasu do zera, by otrzymać później prawo odbicia, wiedząc jednocześnie, że x{{Sub|1}}=L-x{{Sub|2}}.
{{CentrujWzór|<MATH>0=-{{x_1}\over{\sqrt{y_1^2+x_1^2}}}dx_2+{{x_2}\over{\sqrt{y_2^2+x_2^2}}}dx_2\;</MATH>|9.44}}
Ale ponieważ z definicji sinusów znanej z trygonometrii dla trójkąta prostokątnego możemy otrzymać wnioski:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{x_1}\over{\sqrt{y_1^2+x_1^2}}}=\sin\alpha\;</MATH>|9.45}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{x_2}\over{\sqrt{y_2^2+x_2^2}}}=\sin\beta\;</MATH>|9.46}}}}
Wykorzystując tożsamości trygonometryczne {{LinkWzór|9.45}} i {{LinkWzór|9.46}}, które podstawiamy do {{LinkWzór|9.44}}, otrzymujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>-\sin\alpha dx_2+\sin\beta dx_2=0\Rightarrow \sin\alpha=\sin\beta\;</MATH>|9.47}}
W końcowym wniosku w zasadzie Fermata {{LinkWzór|9.47}} wnioskujemy równość kątów &alpha; i &beta;, co jest treścią ostateczną zasady Fermata dla zjawiska odbicia.

=== Prawo załamania fali a zasada Fermata ===
{{Rysunek|The law of refraction and the wave of Fermat's principle.jpeg|lk10|Prawo załamania fali a zasada Fermata|rozmiar=150px}}

Całkowity czas jaki promień leci w pierwszym ośrodku o współczynniku załamania n{{Sub|1}} padający na powierzchnię graniczną pomiędzy dwoma ośrodkami z punktu A, który  załamuje się w punkcie punkcie B i leci do punktu  C w drugim ośrodku o współczynniku załamania n{{Sub|2}}, jest wyrażony przy pomocy stałych y{{Sub|1}}, y{{Sub|2}}:
{{CentrujWzór|<MATH>t={{1}\over{v_1}}\sqrt{y_1^2+x_1^2}+{{1}\over{v_2}}\sqrt{y_2^2+x_2^2}\;</math>|9.48}}
Zróżniczkujmy obie strony równości {{LinkWzór|9.48}} i przyrównajmy różniczkę czasu do zera, wtedy możemy otrzymać prawo załamania w dalszych niż poniżej dysputach, wiedząc jednocześnie, że x{{Sub|1}}=L-x{{Sub|2}}:
{{CentrujWzór|<MATH>0=-{{1}\over{v_1}}{{x_1}\over{\sqrt{y_1^2+x_1^2}}}dx_2+{{1}\over{v_1}}{{x_2}\over{\sqrt{y_2^2+x_2^2}}}dx_2\;</MATH>|9.49}}
Ale ponieważ z definicji sinusów znanej z trygonometrii dla trójkąta prostokątnego mamy wnioski:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{x_1}\over{\sqrt{y_1^2+x_1^2}}}=\sin\alpha\;</MATH>|9.50}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{x_2}\over{\sqrt{y_2^2+x_2^2}}}=\sin\beta\;</MATH>|9.51}}}}
Wykorzystując tożsamości trygonometryczne {{LinkWzór|9.50}} i {{LinkWzór|9.51}}, które podstawiamy do {{LinkWzór|9.49}}, w ten sposób otrzymujemy równość:
{{CentrujWzór|<MATH>0=-{{1}\over{v_1}}\sin\alpha+{{1}\over{v_2}}\sin\beta\Rightarrow {{c}\over{v_1}}\sin\alpha={{c}\over{v_2}}\sin\beta\Rightarrow n_1\sin\alpha=n_2\sin\beta\;</math>|9.52}}
Wzór końcowy wynikający z obliczeń {{LinkWzór|9.52}} jest tzw. prawem Snelliusa dla zjawiska załamania.

=== Zwierciadło wklęsłe ===
{{Rysunek|Concave mirror into which fall the rays from the object.jpeg|lk11|Zwierciadło wklęsłe na który padają promienie od przedmiotu|rozmiar=300px}}
Rozważmy sobie teraz zwierciadło wklęsłe, zbadajmy jaki jest obraz danego przedmiotu występującego przed tym obiektem. Wysokość obrazu jest h i znajduje się w odległości od zwierciadła o x.  Od przedmiotu promień świetlny leci do zwierciadła względem poziomu pod kątem &alpha;, i do zwierciadła dociera ono na wysokość równą wysokości h{{Sub|x}} przedmiotu minus długość względem pionu na jaką promień się obniżył, która jest iloczynem odległości przedmiotu od zwierciadła pomnożonej przez kąt z jakim leci nasz promień względem poziomu:
{{CentrujWzór|<MATH>h_1=h_x-\alpha x\;</MATH>|9.53}}
Kąt &gamma; według rysunku obok określamy jako iloraz wysokości h{{Sub|1}} napisaną wzorem {{LinkWzór|9.15}} przez promień krzywizny zwierciadła R.
{{CentrujWzór|<MATH>{{h_1}\over{R}}=\gamma\Rightarrow\gamma={{h_x-\alpha x}\over{R}}\;</MATH>|9.54}}
Całkowity kąt &beta; jest równy sumie kata &alpha; i &gamma;, który jest kątem pomiędzy odcinkiem łączący R z promieniem świetlnym w punkcie granicznym zwierciadła, który się odbija od zwierciadła w tymże punkcie:
{{CentrujWzór|<MATH>\beta=\alpha+\gamma=\alpha+{{h-\alpha x}\over{R}}={{h_x+(R-x)\alpha}\over{R}}\;</MATH>|9.55}}
Nachylenie promienia odbitego od zwierciadła względem poziomu określamy jako sumę katów &beta; i &gamma;, który jest jednocześnie ilorazem sumy wysokości powstałego obrazu i wysokości nad osią główną zwierciadła, od której to wysokości odbija się promień świetlny wychodzący od przedmiotu:
{{CentrujWzór|<MATH>{{h_y+h_1}\over{y}}=\beta+\gamma\Rightarrow {{h_y+h_x-\alpha x}\over{y}}={{h_x+(R-x)\alpha}\over{R}}+{{h_x-\alpha x}\over{R}}\;</MATH>|9.56}}
Załóżmy, że mamy dwa wzory {{LinkWzór|9.56}}, dla różnych &alpha;, tzn. dla &alpha;{{Sub|1}} i &alpha;{{Sub|2}} i odejmijmy od siebie te wzory i tak otrzymane równanie podzielmy przez &alpha;{{Sub|1}}-&alpha;{{Sub|2}}, otrzymując w ten sposób tożsamość:
{{CentrujWzór|<MATH>-{{x}\over{y}}={{R-x}\over{R}}-{{x}\over{R}}\Rightarrow -{{x}\over{y}}={{R-2x}\over{R}}\Rightarrow -{{x}\over{y}}=1-{{2x}\over{R}}\Rightarrow{{1}\over{x}}+{{1}\over{y}}={{2}\over{R}}\;</MATH>|9.57}}
Na podstawie obliczeń przeprowadzonych  powyżej wzór na odległość ogniska od zwierciadła jest równa połowie promienia krzywizny zwierciadła, a także wzory na zwierciadło są w takim razie opisywane przez:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{x}}+{{1}\over{y}}={{1}\over{f}}\;</MATH>|9.58|Obramuj}}|2={{CentrujWzór|<MATH>f={{R}\over{2}}\;</MATH>|9.59|Obramuj}}}}
Wzór {{LinkWzór|9.58}} podstawiamy do {{LinkWzór|9.56}}, w ten sposób otrzymujemy następną tożsamość, z której napiszemy jak zmienia się wysokość obrazów względem ich odległości od zwierciadła, czyli wzór na powiększenie obrazu względem przedmiotu, który jest stosunkiem odległości obrazu i przedmiotu:
{{CentrujWzór|<math>\left(h_{y}+h_x-\alpha x\right){{1}\over{y}}=\alpha+{{2}\over{R}}\left(h_x-\alpha x\right)\Rightarrow
\left(h_{y}+h_x-\alpha x\right){{1}\over{y}}=\alpha+\left({{1}\over{x}}+{{1}\over{y}}\right)\left(h_x-\alpha x\right)
\Rightarrow{{h_y}\over{y}}=\alpha+{{1}\over{x}}(h_x-\alpha x)\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow{{h_y}\over{y}}={{h_x}\over{x}}\Rightarrow{{h_y}\over{h_x}}={{y}\over{x}}
</MATH>|9.60}}

=== Soczewka dwuwypukła ===
Narysujmy soczewkę dwuwypukłą o promieniach krzywizny R{{Sub|1}} i R{{Sub|2}}, i przedmiot będący po jego lewej stronie, a przedmiot po jego prawej strony, ale ten obiekt jest po przeciwnej stronie niż przedmiot. Na podstawie rysunku obok wyprowadzimy wzór soczewki i soczewkowy, a także wzór na powiększenie obrazu względem wielkości przedmiotu.
{{Rysunek|Biconvex lens, the image and its inverted image.jpeg|lk12|Soczewka wypukła,przedmiot i jego obraz. Powyższą soczewkę oznaczyliśmy jako grubą, by było tam łatwiej zaznaczyć kąty, ale mając na myśli w rzeczywistości jako soczewkę cienką.|rozmiar=600px|pozycja=center}}
W poniższych obliczeniach skorzystaliśmy z małości kątów, tzn. dla których zachodzi tg&alpha;&asymp;sin&alpha;&asymp;&alpha;, a także z warunku ze soczewka jest cienka ze wzoru h{{Sub|1}}&asymp;h{{Sub|3}}.
Wysokość na jaką pada promień pochodzący od przedmiotu z wysokości h{{Sub|x}}. który leci na soczewkę jest sumą wysokości przedmiotu i długości jaką światło leciało pod kątem do góry.
{{CentrujWzór|<MATH>h_1=h_x+h_2=h_x+x\alpha\;</MATH>|9.61}}
Wyznaczmy teraz kąt z jaką promień pochodzący z przedmiotu pada na soczewkę z jego lewej strony względem R{{Sub|1}}, który przedstawiamy jako sumę kąta promienia lecącego z przedmiotu względem poziomu i nachylenia promienia krzywizny względem poziomu:
{{CentrujWzór|<MATH>\gamma=\alpha+\beta=\alpha+{{h_1}\over{R_1}}=\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\;</MATH>|9.62}}
Kąt pod jakim promień świetlny wszedł do wnętrza w soczewce względem promienia krzywizny R{{Sub|1}} jest określany za pomocą prawa Snelliusa dla małych kątów padania i odbicia:
{{CentrujWzór|<MATH>\omega n_2=\gamma n_1\Rightarrow \omega={{n_1}\over{n_2}}\gamma={{n_1}\over{n_2}}\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\right)\;</MATH>|9.63}}
Kąt pod jakim pada promień z wnętrza na granicę soczewki względem R{{Sub|2}}, która chce wylecieć na zewnątrz jej jest określana z definicji dowolnego trójkąta, że suma kątów jest równa 180 stopni:
{{CentrujWzór|<MATH>\pi=\omega+\psi+\theta\Rightarrow\psi=\pi-\omega-\theta\Rightarrow\psi=\pi-{{n_1}\over{n_2}}\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\right)-\pi+\beta+\eta=-{{n_1}\over{n_2}}\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\right)+{{h_2}\over{R_1}}+{{h_1}\over{R_2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=
-{{n_1}\over{n_2}}\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\right)+(h_x+x\alpha)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;</MATH>|9.64}}
Kąt pod jakim wyszedł promień świetlny z soczewki względem R{{Sub|2}} jest opisany przez wzór wynikający z prawa załamania {{LinkWzór|9.49}} dla małych katów padania i załamania:
{{CentrujWzór|<MATH>\tau n_1=n_2\psi\rightarrow \tau={{n_2}\over{n_1}}\psi=-\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\right)+{{n_2}\over{n_1}}(h_x+x\alpha)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;</MATH>|9.65}}
Kąt pod jakim promień wyszedł z soczewki względem poziomu z oczywistych powodów piszemy przez wzór:
{{CentrujWzór|<MATH>\phi=\tau-\nu=\tau-{{h_3}\over{R_1}}=\tau-{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}=-\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_2}}\right)+{{n_2}\over{n_1}}(h_x+x\alpha)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)-{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow
\phi=-\alpha+(h_x+x\alpha)\left({{n_2}\over{n_1}}-1\right)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;</MATH>|9.66}}
Kąt pomiędzy promienień wchodzący w obraz a poziomem jest wyrażony poprzez iloraz wysokości jakiej promień musi przebyć do obrazu pod kątem przez odległość obrazu od soczewki:
{{CentrujWzór|<MATH>{{h_3+h_y}\over{y}}=\phi\Rightarrow {{h_x+x\alpha+h_y}\over{y}}=-\alpha+(h_x+x\alpha)\left({{n_2}\over{n_1}}-1\right)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;</MATH>|9.67}}
Weźmy sobie dwa promienie, które wylatują z  przedmiotu na wysokości h{{Sub|x}} pod kątami: &alpha;{{Sub|1}} i &alpha;{{Sub|2}}, tworzymy w ten sposób dwa równania {{LinkWzór|9.67}}, które odejmiemy je od siebie i dzieląc tak powstały wzór przez &alpha;{{Sub|1}}-&alpha;{{Sub|2}}, otrzymujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>{{x}\over{y}}=-1+x\left({{n_2}\over{n_1}}-1\right)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;</MATH>|9.68}}
Z obliczeń {{LinkWzór|9.68}} otrzymujemy równanie soczewki i równanie soczewkowe, czyli które przepisujemy przy pomocy dwóch wzorów, oznaczając przez "f" długość ogniskowej soczewki:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{x}}+{{1}\over{y}}={{1}\over{f}}\;</MATH>|9.69}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{f}}=\left({{n_2}\over{n_1}}-1\right)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;</math>|9.70}}}}
Tożsamość {{LinkWzór|9.69}} podstawiamy w miejsce {{LinkWzór|9.70}} we wzorze {{LinkWzór|9.67}}, bo one oznaczają to samo, w ten sposób możemy otrzymać równość, z którego wynika, że powiększenie obrazu jest stosunkiem położenia obrazu "y" i położenia przedmiotu "x" względem soczewki:
{{CentrujWzór|<math>{{h_x+x\alpha+h_y}\over{y}}=-\alpha+(h_x+x\alpha)\left({{1}\over{x}}+{{1}\over{y}}\right)\Rightarrow
{{h_x+x\alpha}\over{y}}+{{h_y}\over{y}}=-\alpha+{{h_x}\over{x}}+\alpha+{{h_x+\alpha x}\over{y}}\Rightarrow{{h_y}\over{h_x}}={{y}\over{x}}\;</MATH>|9.70a}}

<noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>