Tekst źródłowy strony Elektrodynamika klasyczna/Zasada wariacyjna w elektromagnetyzmie

<noinclude><!--
-->{{SkomplikowanaStronaStart<!--
      -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!--
-->}}</noinclude>

Będziemy tutaj wyprowadzać zasady elektromagnetyzmu z zasad wariacyjnych, na podstawie tego, aby funkcjonał S przyjmował wartość najmniejszą.

== Zasada wariacyjna a równania tensorowe elektromagnetyzmu z definicją czteroprądu ==
Gęstość Lagrangianu w elektromagnetyzmie definiujemy przy pomocy tensora pola elektromagnetycznego {{LinkWzór|26.9|Elektrodynamika_relatywistyczna}} i przy pomocy definicji czteroprądu objętościowego napisanej wedle schematu {{LinkWzór|26.5|Elektrodynamika_relatywistyczna}}. Zatem napiszmy dla obu sygntur tensora Minkowskiego szczególnej teorii względności (znak u góry sygnatura dodatnia, u dołu ujemna):
{{CentrujWzór|<MATH>\mathfrak{L}=-{{1}\over{4\mu_0}}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\mp J^{\mu}A_{\mu}\;</MAth>|27.1}}
Całką działania nazywamy wyrażenie zdefiniowane na podstawie definicji gęstości lagrangianu {{LinkWzór|27.1}} w postaci:
{{CentrujWzór|<math>S=\int d^4x\mathfrak{L}=\int d^4x\left[-{{1}\over{4\mu_0}}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\mp J^{\mu}A_{\mu}\right]\;</MATH>|27.2}}
Wariacji całki działania {{LinkWzór|27.2}} zakładamy, że ona jest równa zero, wtedy na podstawie tego powinniliśmy otrzymać tensorowe równanie Maxwella {{LinkWzór|26.12|Elektrodynamika_relatywistyczna}}, zatem sprawdźmy, czy o nam wyjdzie.
{{CentrujWzór|
<math>\delta S=\delta\int d^4x\left[-{{1}\over{4\mu_0}}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\mp J^{\mu}A_{\mu}\right]=
\int d^4 x\left[-{{1}\over{4\mu_0}}F^{\mu\nu}\delta F_{\mu\nu}-{{1}\over{4\mu_0}}F_{\mu\nu}\delta F^{\mu\nu}\mp J^{\mu}\delta A_{\mu}\right]\;</MATH>|27.3}}
W wariację funkcjonału S {{LinkWzór|27.2}}, czyli &delta;S {{LinkWzór|27.3}}, liczymy względem gęstości objętościowej czteroprądu {{LinkWzór|26.5|Elektrodynamika_relatywistyczna}} (J{{Sup|&mu;}}), czeropotencjału i tensora pola elektromagnetycznego. Idąc dalej wykorzystajmy wzór na tensor pola elektromagnetycznego wyznaczony w zależności od czteropotencjału, czyli wzoru {{LinkWzór|26.34|Elektrodynamika_relatywistyczna}}.
{{CentrujWzór|<MATH>\delta S=
\int d^4x\left[-{{1}\over{2\mu_0}}F_{\mu\nu}\delta F^{\mu\nu}\mp J^{\mu}\delta A_{\mu}\right]=
\int d^4x\left[-{{1}\over{2\mu_0}}F_{\mu\nu}\left[\partial^{\nu}\left(\delta A^{\mu}\right)-\partial^{\mu}\left(\delta A^{\nu}\right)\right]\mp J^{\mu}\delta A_{\mu}\right]\;</MAth>|27.4}}
W obliczeniach {{LinkWzór|27.4}} wykorzystujemy rozdzielność mnożenia względem dodawania, wiedząc że tensor pola elektromagnetycznego F{{Sup|&mu;&nu;}} {{LinkWzór|26.9|Elektrodynamika_relatywistyczna}} jest tensorem antysymetrycznym, tzn. przy zamianie wskaźników miejscami w tym wspomnianym tensorze przed tym tensorem pojawia się znak minus, czyli F{{Sup|&mu;&nu;}}=-F{{Sup|&nu;&mu;}}.
{{CentrujWzór|<MAth>\delta S=
\int d^4x\left[-{{1}\over{2\mu_0}}\left[F_{\mu\nu}\partial^{\nu}\left(\delta A^{\mu}\right)-F_{\mu\nu}\partial ^{\mu}\left(\delta A^{\nu}\right)\right]\mp J^{\mu}\delta A_{\mu}\right]=\int d^4x\left[-{{1}\over{\mu_0}}F_{\mu\nu}\partial^{\nu}\left(\delta A^{\mu}\right)\mp J^{\mu}\delta A_{\mu}\right]\;</MATh>|27.5}}
Następnym krokiem jest wykorzystanie definicji pochodnej iloczynu dwóch funkcji do pierwszego wyrazu w obliczeniach {{LinkWzór|27.5}}, zatem w takim przypadku dostajemy równość:
{{CentrujWzór|<MATH>\delta S=
\int d^4x\left[-{{1}\over{\mu_0}}\partial ^{\nu}\left(F_{\mu\nu}\delta A^{\mu}\right)+{{1}\over{\mu_0}}\partial^{\nu}F_{\mu\nu} \delta A^{\mu}\mp J^{\mu}\delta A_{\mu}\right]\;</Math>|27.6}}
Dalszym krokiem jest rozdzielenie w wariacji {{LinkWzór|27.6}} na dwie osobne całki z twierdzenia na całkę sumy dwóch wyrażeń podcałkowych jako sumę całek, w których występują te wyrażenia podcałkowe,  wtedy mamy wniosek:
{{CentrujWzór|<MATh>\delta S=
-{{1}\over{\mu_0}}\int d^4x\partial^{\nu}\left(F_{\mu\nu}\delta A^{\mu}\right)+\int d^4x\left({{1}\over{\mu_0}}\partial_{\nu}F^{\mu\nu}\delta A_{\mu}\mp J^{\mu}\delta A_{\mu}\right)\;</MatH>|27.7}}
Pierwsza całka w obliczeniach {{LinkWzór|27.7}} jest zawsze równa zero, ponieważ można go rozpisać względem całkowania po zmiennej x{{Sup|&mu;}}, i zakładamy, że wariancja czteropotencjału na końcach x{{Sup|&mu;}}{{Sub|2}} i x{{Sup|&mu;}}{{Sub|1}} jest równa zero, co możemy powiedzieć, że: 
{{CentrujWzór|<math>\int d^{4}x\partial^{\nu}\left(F_{\mu\nu}\delta A^{\mu}\right)=\int dx^3F_{\mu\nu}\delta A^{\mu}\bigg|^{x^{\nu}_2}_{x^{\nu}_1}=0\;</Math>|27.8}}
Jeśli wykorzystamy nasz warunek {{LinkWzór|27.8}} do wariacji &delta;S {{LinkWzór|27.7}}, zatem to samo wyrażenie możemy przepisać po wyzerowaniu się według przeprowadzonego naszego dowodu powyżej, zatem tą naszą wspomnianą tożsamość piszemy w postaci:
{{CentrujWzór|<Math>\delta S=\int d^4x\left({{1}\over{\mu_0}}\partial _{\nu}F^{\mu\nu}\mp J^{\mu}\right)\delta A_{\mu}\;</MATH>|27.9}}
Aby wariancja funkcjonału {{LinkWzór|27.9}} była równa zero dla dowolnej wariacji wielkości czteropotencjału A{{Sub|&mu;}}, to wyrażenie podcałkowe w ostatnim wniosku powinno być równa zero, zatem na tej podstawie powinna zachodzić tożsamość:
{{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\mu_0}}\partial _{\nu}F^{\mu\nu}\mp J^{\mu}=0\Rightarrow \partial _{\nu}F^{\mu\nu}=\pm\mu_0J^{\mu}\Rightarrow {F^{\mu\nu}}_{,\nu}=\pm \mu_0J^{\mu}\;</MATH>|27.10}}
Widzimy, że równanie {{LinkWzór|27.10}} jest równoważne z równaniem {{LinkWzór|26.12|Elektrodynamika_relatywistyczna}}, zatem gęstość lagrangianu {{LinkWzór|27.1}} jest poprawnym Lagrangianem, czyli wzór {{LinkWzór|27.10}} jest poprawnym wzorem tensorowym z definicją tensora pola elektromagnetycznego napisanego wzorem {{LinkWzór|26.34|Elektrodynamika relatywistyczna}}.

== Lagrangian relatywistyczny pola elektromagnetostatycznego ==
Lagrangian w elektrodynamice relatywistycznej definiujemy przy pomocy potencjału skalarnego &phi; i wektorowego {{Formuła|<Math>\vec{A}\;</MATH>}} przy prędkości cząstki równym {{Formuła|<MATH>\vec{v}\;</mAth>}} przy rozpatrywanej cząstce o ładunku o wartości q, przedstawiamy według:
{{CentrujWzór|<MATH>L=-m_0c^2\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}-q\varphi+q\vec{v}\vec{A}\;</MATH>|27.11}}
Pęd uogólniony w elektrodynamice jest napisany jako pochodna cząstkowa Lagrangianu {{LinkWzór|27.11}} względem wektora prędkości, mamy:
{{CentrujWzór|<maTH>\vec{p}={{\partial L}\over{\partial\vec{v}}}={{m_0\vec{v}}\over{\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}+q\vec{A}=m\vec{v}+q\vec{A}\;</MATH>|27.12}}
Pęd uogólniony w polu elektromagnetycznym jest równy sumie pędu klasycznego znanej ze szczególnej teorii względności i iloczynowi ładunku cząstki i potencjału wektorowego tego pola. Zatem dochodzimy do wniosku, że ten  pęd to nie jest zwykły iloczyn masy relatywistycznej i prędkości cząstki, zachodzi tak tylko w polu bez potencjału wektorowego.
Równanie wariacyjne Eulera-Lagrange'a dla lagrangianu {{LinkWzór|27.11}} jest dokładnie takie same w {{LinkWzór|5.12|Teoria funkcji lagrangianu|Szczególna teoria względności|STW}}. W tym wzorze w pierwszym wyrazie pod pochodną zupełną względem czasu występuje pęd uogólniony cząstki {{LinkWzór|27.12}}. Zatem rozważając prawie tak samo jak w tym rozdziale, w którym znajduje się ostatnio wspomniany wzór, wtedy dochodzimy do wzoru na równanie ruchu cząstki punktowej {{LinkWzór|5.21|Teoria funkcji lagrangianu|Szczególna teoria względności|STW}}, tylko po lewej stronie wzoru występuje nie siła klasyczna Newtona według drugiej zasady dynamiki Newtona, tylko siła relatywistyczna Einsteina. Co kończy dowód, że z zasady najmniejszego działania przy definicji Lagragianu {{LinkWzór|27.11}} wynika dobrze nam znane równanie ruchu.

== Lagrangian relatywistyczny cząstki, w przybliżeniu małych prędkości, dla pola elektromagnetostatycznego ==
Lagrangian relatywistyczny cząstki punktowej o ładunku q {{LinkWzór|27.11}} dla prędkości o wiele mniejszej od prędkości światła, czyli wtedy zachodzi {{Formuła|<MATH>{{v}\over{c}}<<1\;</MATH>}}, wtedy na podstawie tego pierwiastek w nim występujący można rozwinąć w szereg Taylora, wtedy dla tego przybliżenia dostajemy:
{{CentrujWzór|<math>L=-m_0c^2\left(1-{{v^2}\over{2c^2}}+...\right)-q\varphi+q\vec{v}\vec{A}\simeq-m_0c^2+{{1}\over{2}}m_0\vec{v}\vec{v}-q\varphi+q\vec{v}\vec{A}\;</MATH>|27.13}}
W wyrażeniu przybliżonym {{LinkWzór|27.13}} w stosunku do jej odpowiednika klasycznego {{LinkWzór|1.122b|Teoria funkcji lagrangianu|Szczególna teoria względności|STW}} różni się o stałą -m{{Sub|0}}c{{Sup|2}}, która w tym przypadku nie odgrywa żadnej roli, ponieważ w równaniu Eulera-Lagrange'a {{LinkWzór|5.12|Teoria funkcji lagrangianu|Szczególna teoria względności|STW}} występują pochodne cząstkowe i ta stała według twierdzenia o pochodnej sumy nic nie wnosi we końcowym wniosku.

== Relatywistyczny hamiltonian dla pola elektromagnetostatycznego ==
Wyznaczmy relatywistyczny hamiltoniam dla cząstki w polu elektromagnetostatycznym, korzystając z definicji hamiltonianu dla cząstki relatywistycznej i Lagrangianu relatywistycznego {{LinkWzór|27.11}}, a także z definicji pędu uogólnionego {{LinkWzór|27.12}} dla pola elektromagnetostatycznego:
{{CentrujWzór|<MATH>H=\vec{p}\vec{v}-L=(m\vec{v}+q\vec{A})\vec{v}+m_0c^2\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}+q\varphi-q\vec{v}\vec{A}=m\vec{v}\vec{v}+q\vec{A}\vec{v}+m_0c^2\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}+q\varphi={{m_0}\over{\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}v^2+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+m_0c^2\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}+q\varphi={{m_0}\over{\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}\left(v^2+c^2\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)\right)+q\varphi={{m_0}\over{\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}\left(v^2+c^2-v^2\right)+q\varphi={{m_0c^2}\over{\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}+q\varphi=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=mc^2+q\varphi\Rightarrow H=mc^2+q\varphi</MAth>|27.14}}
Widzimy, że wedle końcowych obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|27.14}} hamiltonian ładunku punktowego, to jest po prostu jego energia mechaniczna (całkowita), która jest sumą całkowitej energii relatywistycznej cząstki mc{{Sup|2}} i jego energii potencjalnej q&phi;.

== Lagrangian a czterowektor potencjału i różniczki zmiany położenia cząstki w czasoprzestrzeni ==
Wykorzystując definicję czteropotencjału kowariantnego {{LinkWzór|26.33|Elektrodynamika_relatywistyczna}} i definicję położenia w czterowymiarowej czasoprzestrzeni, a także definicję różniczki interwału czasoprzestrzennego w szczególnej teorii względności, wtedy definicję Lagrangianu {{LinkWzór|27.11}} możemy zapisać w równoważnej postaci:
{{CentrujWzór|<Math>L=-m_0c^2{{ds}\over{cdt}}-q\left({{\varphi}\over{c}},-\vec{A}\right)\left({{cdt}\over{dt}},{{dx^i}\over{dt}}\right)=
-m_0c^2{{ds}\over{cdt}}\mp qA_{\mu}{{dx^{\mu}}\over{dt}}\;</MATH>|27.15}}
Wedle przekazów z obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|27.15}} iloczyn wspomnianego Lagrangianu L i różniczki czasu, w której badamy ruch badanej cząstki jest wyrażony:
{{CentrujWzór|<MATH>Ldt=-m_0cds\mp qA_{\mu}dx^{\mu}\;</MATH>|27.16}}
Całka działania Lagrangianu {{LinkWzór|27.15}}  jest całką naszego Lagrangianu względem czasu i na podstawie wzoru {{LinkWzór|27.16}} jest równa jego przedstawieniu:
{{CentrujWzór|<MATH>S=\int Ldt=\int\left(-m_0cds\mp qA_{\mu}dx^{\mu}\right)\;</MATH>|27.17}}

== Równanie ruchu w czteroprzestrzeni Minkowskiego ==
Zasada najmniejszego działania stwierdza, że względem funkcjonału {{LinkWzór|27.17}}, wariacja tegoż obiektu jest równa zero, tzn.:
{{CentrujWzór|<MATH>\delta S=\delta \int_a^b\left(-m_0cds\mp qA_{\mu}dx^{\mu}\right)=0\;</MATH>|27.18}}
Z definicji różniczki wariacji {{Formuła|<MATh>ds=\sqrt{dx_{\mu}dx^{\mu}}\;</MAth>}} wariację {{LinkWzór|27.18}} po jego działaniu na wnętrze jego nawiasu, stwierdzamy, że na pewno zachodzi:
{{CentrujWzór|<MATH>\delta S=\int_a^b\left(\mp m_0c{{dx_{\mu}d\delta x^{\mu}}\over{ds}}\mp qA_{\mu}d\delta x^{\mu}\mp q\delta A_{\mu}dx^{\mu}\right)=0\Rightarrow 
\mp\int_a^b\left(m_0c{{dx_{\mu}d\delta x^{\mu}}\over{ds}}+qA_{\mu}d\delta x^{\mu}+ q\delta A_{\mu}dx^{\mu}\right)=0\;</MATH>|27.19}}
We wzorze {{LinkWzór|27.19}} stosujemy definicję kowariantnego czterowektora prędkości {{Formuła|<MaTH>u_{\mu}={{dx_{\mu}}\over{ds}}\;</MATH>}}, a także całkujemy przez części jego pierwszy i drugi wyraz, dalej grupując odpowiednio wyrazy, otrzymujemy:
{{CentrujWzór|<mAth>\int_a^b\left(m_0cdu_{\mu}\delta x^{\mu}+q\delta x^{\mu}dA_{\mu}-q\delta A_{\mu}dx^{\mu}\right)-\left(m_0cu_{\mu}+qA_{\mu}\right)\delta x^{\mu}\Bigg|_a^b=0\;</MATH>|27.20}}
Drugi wyraz w {{LinkWzór|27.20}} jest równy zero, bo przy wariowaniu całki należy uwzględnić, że współrzędne mają ustalone wartości na końcach przedziału całkowania. Dalej należy uwzględnić tożsamości:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\delta A_{\mu}=A_{\mu,\nu}\delta x^{\nu}\;</MATH>|27.21}}|2={{CentrujWzór|<math>dA_{\mu}=A_{\mu,\nu}dx^{\nu}\;</MATH>|27.22}}}}
Jeśli podstawimy tożsamości {{LinkWzór|27.21}} i {{LinkWzór|27.22}} do {{LinkWzór|27.20}}, to otrzymamy do tego ostatniego równoważny wzór:
{{CentrujWzór|<MATH>\int_a^b\left(m_0cdu_{\mu}\delta x^{\mu}+qA_{\mu,\nu}\delta x^{\mu}dx^{\nu}-qA_{\mu,\nu}dx^{\mu}\delta x^{\nu}\right)=0\;</MatH>|27.23}}
Ponieważ we wzorze {{LinkWzór|27.23}} wskaźniki &mu; i &nu; są wskaźnikami niemymi, więc w trzecim jego wyrazie pod całką {{LinkWzór|27.23}} zamieniamy miejscami te wskaźniki, a także dla wyrazu drugiego i trzeciego stosujemy wzór {{Formuła|<mATH>dx^{\mu}=u^{\mu}ds\;</MATH>}} wynikająca z defiicji kontrawariannej czteroprędkości, zatem na podstawie wyżej wymienionej tożsamości otrzymujemy wzór:
{{CentrujWzór|<MATH>\int_a^b\left[m_0c{{du_{\mu}}\over{ds}}-q\left(A_{\nu,\mu}-A_{\mu,\nu}\right)u^{\nu}\right]\delta x^{\mu}ds=0\;</MATH>|27.24}}
Ponieważ we wzorze {{LinkWzór|27.24}} rozpatrujemy dowolne wariacje zmiennej {{Sup|&mu;}}, dla której cała całka jest równa zero, wtedy wyrażenie podcałkowe musi być zawsze być równa  zero, zatem:
{{CentrujWzór|<math>m_0c{{du_{\mu}}\over{ds}}-q\left(A_{\nu,\mu}-A_{\mu,\nu}\right)u^{\nu}=0\;</MATH>|27.25}}
Wykorzystujemy definicję tensora pola elektromagnetycznego podwójnie kowariantnego przy pomocy kowariantnego czteropotencjału {{LinkWzór|26.33|Elektrodynamika_relatywistyczna}}, czyli tożsamości fizycznej równoważnej do {{LinkWzór|26.34|Elektrodynamika_relatywistyczna}}, wtedy wzór {{LinkWzór|27.25}} przyjmuje bardziej uproszczoną postać:
{{CentrujWzór|<math>m_0c{{du_{\mu}}\over{ds}}=qF_{\nu\mu}u^{\nu}\Rightarrow m_0c{{du^{\mu}}\over{ds}}=qF^{\nu\mu}u_{\nu}\;</MATH>|27.25a}}
Jeśli wprowadzimy definicję czteropędu w szczególnej teorii względności we wzorze {{LinkWzór|27.25a}} i wykorzystamy definicję czterosiły znanej w szczególnej teorii względności i także wykorzystamy, że tensor pola elektromagnetycznego {{LinkWzór|26.9|Elektrodynamika_relatywistyczna}} jest tensorem antysymetrycznym, wtedy mamy wniosek:
{{CentrujWzór|<math>{{dp^{\mu}}\over{ds}}=qF^{\nu\mu}u_{\nu}\Rightarrow K^{\mu}=-qF^{\mu\nu}u_{\nu}\;</math>|27.26}}
Ten sam wzór co {{LinkWzór|27.26}}, który otrzymaliśmy z zasady wariacyjnej, napisaliśmy w punkcie {{LinkWzór|26.61|Elektrodynamika_relatywistyczna}}, którego zgodność ze szczególną teorią względności i z definicja siły Lorentza {{LinkWzór|8.3|Magnetostatyka}} udowodniliśmy wykorzystując definicję tensora pola elektromagnetycznego {{LinkWzór|26.9|Elektrodynamika_relatywistyczna}}. Zatem te dwie metody prowadzą do takiej samej definicji czterowektora siły K{{Sup|&mu;}}.

<noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>