Tekst źródłowy strony Elektrodynamika klasyczna/Elementarne właściwości materii w polu elektrostatycznym

<noinclude><!--
-->{{SkomplikowanaStronaStart<!--
      -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!--
-->}}</noinclude>

Materię można podzielić na metale i izolatory (dielektryki), metale można potraktować jako nieskończony zbiór elektronów. W dielektrykach prawie każda cząsteczka ma pewien moment dipolowy, które mogą ustawiać się z zgodnie lub przeciwnie do pola elektrycznego. Jeśli potraktować dielektryk jak zbiór dipoli elektrycznych, to tutaj będziemy się zajmować się dipolami elektrycznymi w polu elektrycznym, czyli zajmować będziemy się właściwościami elementarnymi tychże obiektów.

== Indukowany moment dipolowy w polu elektrostatycznym ==
Każdy atom jest elektrycznie obojętny, a więc pola elektryczne nie powinno na niego działać, ale w każdym bądź razie atom to jest elektrycznie dodatnie jądro z elektronami krążących wokół niego, a więc posiada rozkład ładunku elektrycznego po ustaleniu równowagi między polem elektrycznym a atomem podczas działania na niego pola elektrycznego.
Napiszmy wzór mówiący jaki jest moment dipolowy materii w polu elektrycznym, gdy właściwości tej materii nie zależą od kierunku jakie to pole posiada w danym punkcie tego dielektryka.
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\alpha\vec{E}</MATH>|6.1}}
*skalarny współczynnik proporcjonalności &alpha; nazywamy ''' polaryzowalnością atomową '''.

Wzór {{LinkWzór|6.1}} nie zależy od kierunku natężenia pola elektrycznego, ale w rzeczywistości tak nie jest, wtedy w takim przypadku, to moment dipolowy elektryczny wyrażony jest wzorem w zależności do prostopadłego kierunku wyróżnionego, lub nawet też do równoległego:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\alpha_{\bot}\vec{E}_{\bot}+\alpha_{||}\vec{E}_{||}</MATH>|6.2}}
* gdzie parametry {{Formuła|<MATH>\alpha_{\bot}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\alpha_{||}\;</math>}} są to wielkości stałe, lub bardzie ogólnie można zapisać zależność {{LinkWzór|6.2}} w sposób:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\hat{\alpha}\vec{E}</MATH>|6.3}}
* gdzie: {{Formuła|<MATH>\hat{\alpha}</MATH>}} jest tensorem polaryzowalności atomowej.
Co rozpisując wzór {{LinkWzór|6.3}}, stosując tensor polaryzowalności atomowej, jako ogólnie niediagonalnej macierzy:
{{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix}p_x\\p_y\\p_z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\alpha_{xx}&\alpha_{xy}&\alpha_{xz}\\
\alpha_{yx}&\alpha_{yy}&\alpha_{yz}\\
\alpha_{zx}&\alpha_{zy}&\alpha_{zz}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E_x\\E_y\\E_z\end{bmatrix}</Math>|6.4}}

Elementy macierzy {{Formuła|<MATH>\hat{\alpha}</math>}}, zależą od bazy trójwymiarowej, w której wyrażone jest  polaryzowalność atomowa. Widzimy, że wedle wzoru {{LinkWzór|6.4}} wektor momentu dipolowego nie jest w ogólności równoległy do kierunku pola elektrycznego działająca na dipol elektryczny.
Można wyrażać powyższą macierz {{Formuła|<MATH>\hat{\alpha}</MaTH>}} w bazie wektorów własnych, wtedy ta macierz ma tylko diagonalne elementy, a pozadiagonalne elementy znikają.

== Całkowity moment sił oraz siła działające na dipol elektryczny w jednorodnym lub niejednorodnym polu elektrycznym ==
{{Rysunek|Dipol elektryczny.jpg|ide|Ilustracja dipola elektrycznego}}
Dipol elektryczny jest to obiekt niepunktowy, a więc może posiadać pewien moment siły w polu elektrycznym działających na niego.
Moment siły możemy rozłożyć względem środka dipola elektrycznego na dwa składniki. Pierwszy składnik jest opisany dla ładunku q, a drugi dla -q, zatem całkowity moment dipolowy jest opisany:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\left(\vec{r}_+\times\vec{F}_-\right)+\left(\vec{r}_+\times\vec{F}_+\right)=
\left[\left(-{{\vec{d}}\over{2}}\right)\times\left(-q\vec{E}\right)\right]+\left[\left({{\vec{d}}\over{2}}\right)\times\left(q\vec{E}\right)\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=q\vec{d}\times\vec{E}=\vec{p}\times\vec{E}</MATH>|6.5}}
Powyżej skorzystano z definicji wektora momentu dipolowego, który jest funkcją ładunku bezwzględnej wartości na obu jego końcach osobno i wektora {{Formuła|<MATH>\vec{d}\;</MATH>}} łączącego ładunek ujemny z dodatnim.
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=q\vec{d}</MATH>|6.6}}

Udowodniono, że moment siły działający na ciało na podstawie {{LinkWzór|6.5}} jest równy:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{p}\times\vec{E}</MATH>|6.7}}

Gdy mamy pole jednorodne, którego otacza nasz dipol, to siła działający na środek masy dipola jest równa zero, a jeśli jest niejednorodne dla względnie małych dipoli, to ta siła jest wyrażona:
{{CentrujWzór|<math>\vec{F}=\vec{F}_++\vec{F}_-=q\vec{E}_{+}+(-q)\vec{E}_{-}=q\left(\vec{E}_+-\vec{E}_-\right)=q\delta \vec{E}=q\left(\vec{d}\cdot\operatorname{div}\right)\vec{E}=q\left(\vec{d}\cdot\nabla\right)\vec{E}=\left[\left(q\vec{d}\right)\cdot\nabla\right]\vec{E}=\left(\vec{p}\cdot\nabla\right)\vec{E}</MATH>|6.8}}
A zatem wypadkowa siła działająca na środek masy dipola elektrycznego jest równa:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\left(\vec{p}\cdot\nabla\right)\vec{E}</MATH>|6.9}}
Jest ona funkcją momentu dipolowego dipola elektrycznego oraz zależy od zmiany pola elektrycznego na obu końcach tego obiektu.
Prowadząc bardziej bardziej ogólne rozważania, to całkowity moment siły działający na dipol w polu niejednorodnym jest równy:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\left(\vec{p}\times\vec{E}\right)+\left(\vec{r}\times\vec{F}\right)</MATH>|6.10}}

W polu jednorodnym drugi człon znika, bo zmiana siły działający na dipol elektryczny jest równa zero, bo: {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0</MATH>}} wedle tożsamości {{LinkWzór|6.9}}.

== Energia dowolnego dipola ==
Infinitezymalna praca wykonana przez dipol elektryczny, na które działa pole elektryczne o momencie siły {{Formuła|<MATH>\vec{N}\;</MATH>}}{{LinkWzór|6.7}} przy obrocie jego o kąt radialny {{Formuła|<Math>d\vec{\alpha}\;</MATH>}} jest napisana:
{{CentrujWzór|<MaTH>dW=\vec{N}\cdot d\vec{\alpha}</MATH>|6.11}}

Wiedząc, że definicję momentu siły {{Formuła|<MATH>\vec{N}</math>}} dla dipola elektrycznego jest wyrażona wedle {{LinkWzór|6.7}}, dla naszego dipola, oraz kierunek zmiany kąta jest równoległy do wektora momentu siły działającego na dipol, dla pola jednorodnego wartość infinitezymalnej pracy wykonanej przez siły pola elektrycznego {{LinkWzór|6.11}} przy obrocie jego od kąta &alpha;{{Sub|1}}=&pi;/2 do &alpha;{{Sub|2}} przedstawia się:
{{CentrujWzór|<MATH>U=\int\vec{N}\cdot d\vec{\alpha}=\int\left(\vec{p}\times\vec{E}\right)d\vec{\alpha}=\int p E\sin\alpha d\alpha=-pE\cos\alpha|^{\alpha_2}_{\alpha_1={{\pi}\over{2}}}=-pE\sin\alpha_1=-\vec{p}\cdot\vec{E}</MATH>|6.12}}

A więc energia dipola elektrycznego, która znajdujący się polu elektrycznym jednorodnym, jest równa:
{{CentrujWzór|<MATH>U=-\vec{p}\cdot\vec{E}</MATH>|6.13}}
Energia dipola elektrycznego zależy od natężenia pola elektrycznego jednorodnego i od wektora momentu dipolowego dipola elektrycznego. Energia dipola elektrycznego jest równa zero, gdy kąt pomiędzy wektorem momentu dipolowego, a wektorem natężenia pola elektrycznego jest kątem prostym.

== Wpływ pola elektrycznego na polaryzację dielektryka ==
Dla układów, których polaryzacja jest taka sama w całej objętości V, to moment dipolowy ciała spolaryzowanego w zależności od pola elektrycznego jakie istnieje w tym ciele wyraża się wzorem {{LinkWzór|6.3}}. Jeśli nieskończenie małą polaryzowalnością atomową w ciele spolaryzowanym w danym punkcie oznaczymy jako {{Formuła|<MATH>d\hat{\alpha}\;</MATH>}}, to można powiedzieć, że infinitezymalny moment dipolowy małej cząstki materii ciała spolaryzowanego w danym punkcie w zależności od natężenia pola elektrycznego jakie w nim istnieją jest napisana:
{{CentrujWzór|<MATH>d\vec{p}=d\hat{\alpha}\vec{E}</MATH>|6.14}}
Polaryzacją elektryczną nazywamy stosunek nieskończenie małego momentu dipolowego znajdującego się infinitezymalnej objętości przez tą właśnie objętość, którą definiujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{P}={{d\vec{p}}\over{dV}}\;</MATH>|6.15}}
Aby policzyć polaryzację elektryczną ośrodka należy do wzoru na definicję polaryzacji elektrycznej {{LinkWzór|6.15}} podstawić nieskończenie małą wielkość momentu dipolowego małej cząstki ciała spolaryzowanego {{LinkWzór|6.14}}, wtedy dostajemy:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{P}={{d\hat{\alpha}}\over{dV}}\vec{E}\Rightarrow \vec{P}=\hat{\beta}\vec{E}</MATH>|6.16}}
Można w ogólności powiedzieć, że wektor polaryzacji nie jest równoległy do wektora natężenia pola elektrycznego. Gdy zachodzi:{{Formuła|<MATH>\hat{\beta}=\hat{I}\beta</MATH>}}, wtedy mamy że:{{Formuła|<MATH>\vec{P}||\vec{E}</MATH>}}, czyli wtedy polaryzacja jest równoległa do natężenia pola elektrycznego panującego w danym punkcie.

<noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>