Tekst źródłowy strony Analiza matematyczna/Ciągi i szeregi liczbowe/Przykład 1

<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}</math>

Wyrażenie pod znakiem sumy rozkładamy na ułamki proste:

<math>\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}</math>

Stąd po rozwinięciu wyrażenia na sumę częściową szeregu otrzymujemy:

<math>S_n = \frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} + ... \frac{1}{(n-1)\cdot n} + \frac{1}{n\cdot(n+1)} = </math>

<math>= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}</math>

Sąsiednie wyrazy redukują się, zatem otrzymujemy ostatecznie:

<math>S_n = 1-\frac{1}{n+1}</math>

W granicy do nieskończoności otrzymujemy:

<math>\lim_{n \to \infty} S_n = 1</math>

Stąd mamy wniosek, że dany szereg jest zbieżny do sumy:

<math>S=1</math>