Tekst źródłowy strony Algebra abstrakcyjna/Działania

=Działania=

===Działanie wewnętrzne===
Działaniem wewnętrznym (lub krócej działaniem) w zbiorze A nazywamy dowolne odwzorowanie produktu kartezjańskiego <math>A\times A</math> w zbiór A. Innymi słowy mówimy, że w zbiorze A określone jest działanie wewnętrzne, jeśli każdej parze uporządkowanej (a,b) elementów zbioru A przyporządkowany jest dokładnie jeden element zbioru A (zwany wynikiem działania na elementach a i b).

Jeżeli <math>*\colon A\times A\to A</math> jest działaniem wewnętrznym w A, to zazwyczaj wynik działania <math>*</math> na elementach a,b&isin;A oznaczamy przez: <math>a*b</math> (nie zaś przez <math>*(a,b)</math> ).

Dla oznaczenia działań wewnętrznych stosujemy często symbole: <math>*, +, \cdot</math>. W przypadku użycia symbolu <math>+</math> mówić możemy o notacji addytywnej (działanie nazywamy wówczas dodawaniem, zaś wynik - sumą); w przypadku użycia <math>\cdot</math> o multiplikatywnej (działanie nazywamy mnożeniem, zaś wynik iloczynem). Przy stosowaniu notacji multiplikatywnej często symbol działania pomija się, tzn. zamiast <math>a\cdot b</math> piszemy <math>ab</math>.

===Działanie zewnętrzne===
Niech A i F będą dowolnymi zbiorami niepustymi. Działaniem zewnętrznym w zbiorze A nazywamy dowolne odwzorowanie produktu kartezjańskiego FxA w zbiór A. Zbiór F nazywamy zbiorem operatorów.

===Działanie łączne===
Mówimy, że działanie <math>*</math> w zbiorze A jest łączne, jeśli dla dowolnych a,b,c&isin;A zachodzi równość <math>(a*b)*c=a*(b*c) \quad</math>.

===Działanie przemienne===
Mówimy, że działanie <math>*</math> w zbiorze A jest przemienne, jeśli dla dowolnych a,b&isin;A zachodzi równość <math>a*b=b*a \quad</math>.

Jeżeli dane działanie jest przemienne, to zazwyczaj oznaczamy je addytywnie.

===Działanie rozdzielne===
Niech w zbiorze A określone będą działania <math>*</math> oraz <math>+</math>. Mówimy, ze działanie <math>*</math> jest rozdzielne względem działania <math>+</math>, jeśli dla dowolnych <math>a,b,c\in A</math> zachodzą równości:
*<math>a*(b+c)=(a*b)+(a*c)</math> (rozdzielność lewostronna działania <math>*</math> względem działania <math>+</math>),

*<math>(a+b)*c=(a*c)+(b*c)</math> (rozdzielność prawostronna działania <math>*</math> względem działania <math>+</math>). 

===Element neutralny===
Mówimy, że element <math>e\in A</math> jest elementem neutralnym działania <math>*</math> określonego w A, jeśli dla każdego <math>a\in A</math> zachodzi równość <math>a*e=e*a=a</math>.

Element neutralny działania <math>*</math> w A, o ile istnieje, jest wyznaczony jednoznacznie. Gdyby bowiem <math>e,e'\in A</math> były elementami neutralnymi działania <math>*</math>, to: <math>e=e*e'</math>, bo e' jest elementem neutralnym oraz <math>e'=e*e'</math>, bo e jest elementem neutralnym, wobec czego: <math>e=e'</math>.

===Element odwrotny===
Niech działanie <math>*</math> w zbiorze A ma element neutralny e i niech a&isin;A. Każdy element b&isin;A spełniający równość <math>a*b=b*a=e</math> nazywamy elementem odwrotnym do a. Jeśli istnieje dokładnie jeden element odwrotny do a, to oznaczamy go symbolem <math>a^{-1}</math>. W notacji addytywnej element odwrotny do a nazywamy elementem przeciwnym do a i oznaczamy –a. Ponadto, zamiast pisać <math>a+(-b)</math> piszemy zazwyczaj <math>a-b</math>.

Jasne jest, że jeśli element b jest odwrotny do a, to element a jest odwrotny do b.

Ponadto, jeżeli działanie <math>*</math> w zbiorze A jest łączne, to element odwrotny do elementu <math>a\in A</math>, o ile istnieje, jest wyznaczony jednoznacznie. Gdyby bowiem <math>b,b'\in A</math> były odwrotne do a, to: <math>b'=b'*e=b'*(a*b)=(b'*a)*b=e*b=b</math>.

Element neutralny zawsze posiada element odwrotny. Jest nim on sam.

= Działania - przykłady =

=== Działania wewnętrzne ===
Niech X będzie dowolnym zbiorem. Przez <math>2^X</math> oznaczamy zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X. Działania <math>\cup:2^X\times 2^X\to 2^X</math> i <math>\cap:2^X\times 2^X\to 2^X</math> są działaniami wewnętrznymi w <math>2^X</math>. Działania te są łączne, przemienne i każde z nich jest rozdzielne względem drugiego. Elementem neutralnym względem działania <math>\cup</math> jest <math>\emptyset</math>. Elementem neutralnym względem działania <math>\cap</math> jest X.  Jedynymi elementami posiadającymi elementy odwrotne względem tych działań są ich elementy neutralne.

Niech <math>X=\{x\}</math> będzie zbiorem jednoelementowym. Jedynym działaniem wewnętrznym w X jest działanie przyporządkowujące parze elementów (x,x) element x. Jest to oczywiście działanie łączne, przemienne, z elementem neutralnym równym x i elementem odwrotnym do x równym x.

Niech X będzie dowolnym zbiorem. Przez <math>S(X)</math> oznaczmy zbiór wszystkich bijekcji z X na X. Jako działanie wewnętrzne w X przyjmijmy składanie funkcji. Jest to działanie łączne, nieprzemienne (o ile X jest co najmniej 3-elementowy). Elementem neutralnym jest funkcja identycznościowa na X. Elementem przeciwnym do danej funkcji jest jej funkcja odwrotna.

=== Działania zewnętrzne ===
Oznaczmy przez <math>\mathcal{U}</math> zbiór wszystkich skończonych podzbiorów zbioru liczb naturalnych, zaś przez <math>\mathcal{W}</math> zbiór wszystkich nieskończonych podzbiorów zbioru liczb naturalnych. Zdefiniujmy działanie <math>f:\mathcal{U}\times\mathcal{W}\to\mathcal{W}</math> następująco: dla <math>A\in\mathcal{U}</math> i <math>B\in\mathcal{W}</math> przyjmujemy: <math>f(A,B)=B\setminus A</math>. Funkcja <math>f</math> jest działaniem zewnętrznym w zbiorze <math>\mathcal{W}</math>.

<noinclude>
{{Nawigacja|Algebra abstrakcyjna|
|
[[Algebra abstrakcyjna/Struktury algebraiczne|Struktury algebraiczne]]|
}}</noinclude>