Topologia ogólna/Przekształcenia ciągłe

Przekształcenia ciągłe

W tym rozdziale wprowadzamy definicje funkcji ciągłej, otwartej, domkniętej, homeomorfizmu; podajemy podstawowe własności takich przekształceń. Korzystając z pojęcia ciągłości konstruujemy produkt przestrzeni topologicznych oraz przestrzeń ilorazową.

Funkcje ciągłe

Definicja

Niech: $(X,{𝒪}_X)$, $(Y,{𝒪}_Y)$ będą przestrzeniami topologicznymi.

Funkcję $f:X\to Y$ nazywamy funkcją ciągłą, o ile ${\mathrm{\forall }}_{U\in {𝒪}_Y}{f}^{-1}(U)\in {𝒪}_X$.

Innymi słowy funkcja $f:X\to Y$ jest ciągła, jeśli przeciwobrazy zbiorów otwartych poprzez tę funkcję są zbiorami otwartymi.

Zauważmy, że ta sama funkcja $f:X\to Y$, w zależności od topologii na zbiorach $X$ i $Y$ może być lub nie być ciągła. O ile na zbiorach $X,Y$ są z góry ustalone pewne wybrane topologie, mówienie o ciągłości funkcji $f:X\to Y$ nie prowadzi do nieporozumień. Kiedy jednak na przykład rozważamy dwie różne topologie ${𝒪}_1,{𝒪}_2$ na zbiorze $X$, zapis $f:X\to X$ przestaje być jednoznaczny. W związku z tym zamiast mówić o funkcjach ciągłych działających między zbiorami, będziemy mówili raczej o odwzorowaniach ciągłych działających między przestrzeniami topologicznymi. Tam gdzie to konieczne będziemy pisali: $f:(X,{𝒪}_X)\to (Y,{𝒪}_Y)$ zamiast $f:X\to Y$.

Własności

Niech $(X,{𝒪}_X),(Y,{𝒪}_Y),(Z,{𝒪}_Z)$ będą przestrzeniami topologicznymi.

1. Jak wykazaliśmy w rozdziale 1. (podrozdział "funkcje ciągłe", [[../Przestrzenie metryczne#Własności_4|własność 3.]]), w przypadku gdy $X,Y$ są przestrzeniami metrycznymi, powyższa definicja jest pewne orównoważna definicji wyrażonej w języku ε-δ (a zatem i definicji ciągowej) ciągłości.
2. Jeśli $f:X\to Y$ i $g:Y\to Z$ są funkcjami ciągłymi, to funkcja $(g\circ f):X\to Z$ jest ciągła.

   Dowód:

   Weźmy dowolny zbiór $U\in {𝒪}_Z$. Musimy pokazać, że $(g\circ f{)}^{-1}(U)\in {𝒪}_X$. Zauważmy, że $(g\circ f{)}^{-1}(U)=f^{-1}(g^{-1}(U))$. Z ciągłości $g$ mamy $g^{-1}(U)\in {𝒪}_Y$. Zatem, z ciągłości $f$, $f^{-1}(g^{-1}(U))\in {𝒪}_X$. $◻$

3. Definicję ciągłości można równoważnie sformułować na wiele sposobów. W szczególności, równoważne są następujące warunki:
   1. $f:X\to Y$ jest ciągła,
   2. ${\mathrm{\forall }}_{F\in {ℱ}_Y}{f}^{-1}(F)\in {ℱ}_X$,
   3. Dla pewnej podbazy otwartej ${𝒫}_Y$ w $Y$: ${\mathrm{\forall }}_{U\in {𝒫}_Y}{f}^{-1}(P)\in {𝒪}_X$,
   4. Dla pewnej bazy otwartej ${ℬ}_Y$ w $Y$: ${\mathrm{\forall }}_{U\in {ℬ}_Y}{f}^{-1}(P)\in {𝒪}_X$,
   5. Dla pewnych systemów otoczeń $\{ℬ(x){\}}_{x\in X}$, $\{𝒢(y){\}}_{y\in Y}$ odpowiednio w $X$ i $Y$: ${\mathrm{\forall }}_{x\in X}{\mathrm{\forall }}_{G\in 𝒢(f(x))}{\mathrm{\exists }}_{B\in ℬ(x)}f(B)\subseteq G$.

      Dowód:

      [1.]$\leftrightarrow$[2.] ${\mathrm{\forall }}_{U\in {𝒪}_Y}{f}^{-1}(U)\in {𝒪}_X⟺$${\mathrm{\forall }}_{U\in {𝒪}_Y}X\setminus f^{-1}(U)\in {ℱ}_X⟺$${\mathrm{\forall }}_{U\in {𝒪}_Y}{f}^{-1}(Y\setminus U)\in {ℱ}_X⟺{\mathrm{\forall }}_{F\in {ℱ}_Y}{f}^{-1}(F)\in {ℱ}_X$

      [1.]$\to$[3.] Oczywiste, bo ${𝒫}_Y\subseteq {𝒪}_Y$.

      [3.]$\to$[4.] Elementy bazy ${ℬ}_Y$ są skończonymi przekrojami elementów podbazy ${𝒫}_Y$. Zatem ich przeciwobrazy są skończonymi przekrojami przeciwobrazów elementów ${𝒫}_Y$, więc z 3. są otwarte.

      [4.]$\to$[5.] Weźmy dowolne $x\in X$ i $G\in 𝒢(x)$. Zauważmy, że ponieważ ${ℬ}_Y$ jest bazą w $Y$, to $G=\bigcup _{i\in I}{B}_i$ dla pewnej rodziny $\{B_i{\}}_{i\in I}\subseteq {ℬ}_Y$. Zatem $f^{-1}(G)=f^{-1}(\bigcup _{i\in I}{B}_i)=\bigcup _{i\in I}{f}^{-1}(B_i)\in {𝒪}_X$. Ponadto $f(x)\in G$, zatem $x\in f^{-1}(G)$. $ℬ(x)$ jest bazą otoczeń $x$, zatem istnieje $B\in ℬ(x)$ takie, że $B\subseteq f^{-1}(G)$. Ponadto $f(B)\subseteq f(f^{-1}(G))\subseteq G$.

      [5.]$\to$[1.] Weźmy $U\in {𝒪}_Y$ dowolne. Dla dowolnego $x\in f^{-1}(U)$ istnieje (z otwartości $U$ i definicji systemu otoczeń) $G\in 𝒢(f(x))$ takie, że $G\subseteq U$. Z 5. istnieje zatem otoczenie otwarte $B\in ℬ(x)$ punktu $x$ takie, że $f(B)\subseteq G\subseteq U$. Stąd $B\subseteq f^{-1}(U)$, więc $x$ jest punktem wewnętrznyn $f^{-1}(U)$. Z dowolności $x$ otrzymujemy, że $f^{-1}(U)$ jest zbiorem otwartym. $◻$

W zadaniach do tego rozdziału Czytelnik odnajdzie inne charakteryzacje ciągłości.

Przykłady

1. Jeśli $(X,{𝒪}_X),(Y,{𝒪}_Y)$ są przestrzeniami topologicznymi i ustalimy pewien element $y\in Y$, to funkcja stała $f:X\to Y$ zadana: ${\mathrm{\forall }}_{x\in X}f(x)=y$ jest ciągła. Istotnie, $f^{-1}(U)=\{\begin{array}{c}\mathrm{\varnothing },y\in ̸U\\ X,y\in U\end{array}$, ale $\mathrm{\varnothing },X\in {𝒪}_X$.
2. Ćwiczenie: Przestrzeń topologiczna $(X,{𝒪}_X)$ jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej przestrzeni topologicznej $(Y,{𝒪}_Y)$ i każdej funkcji $f:X\to Y$ funkcja $f$ jest ciągła.
3. Ćwiczenie: Przestrzeń topologiczna $(X,{𝒪}_X)$ jest antydyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej przestrzeni topologicznej $(Y,{𝒪}_Y)$ i każdej funkcji $f:Y\to X$ funkcja $f$ jest ciągła.
4. Jeśli $(X,{𝒪}_X)$ jest przestrzenią topologiczną, $A\subseteq X$ i na $A$ ustalimy topologię podprzestrzeni, to naturalne włożenie $i:A\hookrightarrow X$ (tzn. funkcja zadana $f(a)=a$ dla każdego $a\in A$) jest ciągłe. Przeciwobrazem dowolnego zbioru otwartego jest jego przekrój ze zbiorem $A$, a zatem zbiór otwarty w $A$.

Funkcje otwarte i domknięte

Definicje

Niech: $(X,{𝒪}_X)$, $(Y,{𝒪}_Y)$ będą przestrzeniami topologicznymi.

Funkcję $f:X\to Y$ nazywamy otwartą, o ile ${\mathrm{\forall }}_{U\in {𝒪}_X}f(U)\in {𝒪}_Y$.

Funkcję $f:X\to Y$ nazywamy domkniętą, o ile ${\mathrm{\forall }}_{U\in {ℱ}_X}f(U)\in {ℱ}_Y$.

Zatem funkcje otwarte są to te odwzorowania, które przeprowadzają zbiory otwarte na zbiory otwarte. Podobnie, odwzorowania domknięte to te, które przeprowadzają zbiory domknięte na zbiory domknięte.

Zauważmy, że w powyższej definicji nie zakładamy, że $f$ jest odwzorowaniem ciągłym. Część jednak autorów żąda od odwzorowania otwartego (domkniętego) by było ciągłe.

Własności

Niech $(X,{𝒪}_X),(Y,{𝒪}_Y),(Z,{𝒪}_Z)$ będą przestrzeniami topologicznymi.

1. Jeśli $f:X\to Y$, $g:Y\to Z$ są przekształceniami otwartymi (domkniętymi), to $(g\circ f):X\to Z$ jest przekształceniem otwartym (domkniętym).
2. Jeśli $f:X\to Y$ jest bijekcją, to funkcja $f$ jest otwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięta.
3. Jeśli $f:X\to Y$ jest ciągłą bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja $f^{-1}:Y\to X$ odwrotna do $f$ jest otwartą (domkniętą) bijekcją.
4. Funkcja $f:X\to Y$ jest otwarta wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje baza $ℬ$ przestrzeni $X$ taka, że ${\mathrm{\forall }}_{U\in ℬ}f(U)\in {𝒪}_Y$.

• Ćwiczenie: Przeprowadzić dowody powyższych faktów.

Przykłady

1. Jeśli $X$ jest dowolną przestrzenią topologiczną, zaś $Y$ jest przestrzenią dyskretną, to każda funkcja $f:X\to Y$ jest otwarta i jest domknięta. Oczywiście funkcja ta na ogół nie jest ciągła.
2. Naturalne włożenie odcinka domkniętego $𝐈$ w przestrzeń $𝐄$ jest odwzorowaniem ciągłym, domkniętym, ale nie otwartym.

Homeomorfizmy

Definicje

Niech $(X,{𝒪}_X),(Y,{𝒪}_Y)$ będą przestrzeniami topologicznymi.

Homeomorfizmem z przestrzeni $X$ do przestrzeni $Y$ nazywamy każdą funkcję ciągłą $f:X\to Y$, odwracalną i taką, że funkcja $f^{-1}:Y\to X$ odwrotna do $f$ jest ciągła.

Zauważmy, że jeśli $f:X\to Y$ jest homeomorfizmem, to $f^{-1}:Y\to X$ jest również homeomorfizmem.

Przestrzenie $X,Y$ nazywamy homeomorficznymi, o ile istnieje homeomorfizm z $X$ do $Y$ (lub równoważnie, co wynika z powyższej uwagi, homeomorfizm z $Y$ do $X$). Fakt, że przestrzenie $X,Y$ są homeomorficzne, oznaczamy symbolem $X\simeq Y$.

Własnością topologiczną nazywamy każdą taką własność przestrzeni topologicznych, że dana przestrzeń posiada ją wtedy i tylko wtedy, gdy posiada ją każda przestrzeń z nią homeomorficzna. Topologia jako nauka zajmuje się badaniem własności topologicznych przestrzeni. Z topologicznego punktu widzenia przestrzenie homeomorficzne są nierozróżnialne.

Włożeniem nazywamy funkcję ciągłą $f:X\to Y$ będącą homeomorfizmem na obraz (tzn. $f$ traktowana jako funkcja $f:X\to f(X)$, gdzie na $f(X)$ ustalona jest topologia podprzestrzeni względem $Y$, jest homeomorfizmem).

Własności

Niech $(X,{𝒪}_X),(Y,{𝒪}_Y),(Z,{𝒪}_Z)$ będą przestrzeniami topologicznymi.

1. Jeśli $f:X\to Y$ i $g:Y\to Z$ są homeomorfizmami, to $(g\circ f):X\to Z$ jest homeomorfizmem.

   Dowód:

   Funkcja $(g\circ f)$ jest ciągłą bijekcją jako złożenie ciągłych bijekcji. Ponadto, $(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$. Ponieważ $f^{-1},g^{-1}$ są funkcjami ciągłymi, $(g\circ f{)}^{-1}$ jest ciągła jako ich złożenie. $◻$

2. Ciągła bijekcja $f:X\to Y$ jest homeomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją otwartą (funkcją domkniętą).

   Dowód:

   Dowód przeprowadzimy dla wersji twierdzenia mówiącej o funkcji otwartej. Dowód drugiej wersji jest analogiczny. Wprowadźmy oznaczenie: $g=f^{-1}:Y\to X$.

   [$\to$] Weźmy dowolny zbiór $U\in {𝒪}_X$. Ponieważ $f$ jest bijekcją oraz $g$ jest ciągłe, to $f(U)=g^{-1}(U)\in {𝒪}_Y$.

   [$\leftarrow$] Musimy pokazać, że $g$ jest ciągłe. Weźmy $U\in {𝒪}_X$. Mamy: $g^{-1}(U)=f(U)\in {𝒪}_Y$ z otwartości $f$. $◻$

3. Jeśli $f:X\to Y$ jest ciągłą injekcją i jest otwarta lub jest domknięta, to $f$ jest włożeniem.

   Dowód:

   Dowód przeprowadzimy dla odwzorowania otwartego. Oczywiście $f$ jest bijekcją na obraz. Ponieważ dla każdego $U\in {𝒪}_X$ z otwartości $f$ mamy $f(U)\in {𝒪}_Y$ oraz $f(U)\subseteq f(X)$, to $f(U)\in {𝒪}_{f(X)}$. Wobec tego $f:X\to f(X)$ jest otwartą bijekcją. Z ostatniego twierdzenia otrzymujemy, że $f:X\to f(X)$ jest homeomorfizmem. $◻$

   Ćwiczenie: Wykazać, że otwartość (domkniętość) ciągłej injekcji jest warunkiem dostatecznym, ale nie koniecznym na to, żeby injekcja ta była włożeniem.

Przykłady

1. Istnieją ciągłe bijekcje, które nie są homeomorfizmami. Rozważmy funkcję identycznościową $id:(ℝ,{𝒪}_d)\to (ℝ,{𝒪}_E)$, gdzie ${𝒪}_d$ oznacza topologię dyskretną na $ℝ$. Jest ona oczywiście ciągłą bijekcją. Jednak $i{d}^{-1}=id:(ℝ,{𝒪}_E)\to (ℝ,{𝒪}_d)$ nie jest ciągła, gdyż np. $\{0\}\in {𝒪}_d$, ale $\{0\}=i{d}^{-1}(\{0\})\in ̸{𝒪}_E$.
2. Homeomorficzne są dowolne dwa odcinki otwarte $(a;b),(c;d)\subseteq ℝ$ z topologiami standardowymi.

   Dowód:

   Nietrudno sprawdzić (ćwiczenie), że jest homeomorfizmem przekształcenie $f:(a;b)\to (c;d)$ zadane $f(x)=c+(x-a)\frac{d-c}{b-a}$ dla każdego $x\in (a;b)$. $◻$

3. Homeomorficzne są odcinek otwarty $(a;b)$ z topologią standardową i $𝐄$.

   Dowód:

   Odcinek $(a;b)$ jest homeomorficzny z odcinkiem $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$. Funkcja tangens $\mathrm{tg}:(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})\to ℝ$ jest homeomorfizmem. Z faktu, że złożenie homeomorfizmów jest homeomorfizmem, otrzymujemy tezę. $◻$

4. Ćwiczenie: Przestrzenie dyskretne (antydyskretne) $X,Y$ są homoeomorficzne dokładnie wtedy, gdy $|X|=|Y|$.
5. Ćwiczenie: Wykazać, że bycie przestrzenią: dyskretną (antydyskretną, skończoną, nieskończoną) jest własnością topologiczną.

Wprowadzanie topologii przez funkcje ciągłe

Minimalna topologia na dziedzinie

Niech $(Y,{𝒪}_Y)$ będzie przestrzenią topologiczną, $X$ zbiorem, zaś $f:X\to Y$ funkcją.

Wprowadzimy na zbiorze $X$ pewną topologię $𝒯$, przy której funkcja $f:(X,𝒯)\to (Y,{𝒪}_Y)$ będzie ciągła. Oczywiście, znalezienie jakiejkolwiek topologii na $X$ o tej własności nie jest trudne - wystarczy przyjąć $𝒯=2^X$. Nas jednak będzie interesowała najmniejsza topologia o tej własności. Zachodzi następujące twierdzenie:

$𝒯=\{f^{-1}(U):U\in {𝒪}_Y\}$ jest najmniejszą topologią na $X$ przy której $f:X\to Y$ jest funkcją ciągłą.

Dowód:

Wykażemy najpierw, że $𝒯$ jest topologią na $X$. Zauważmy, że $\mathrm{\varnothing }=f^{-1}(\mathrm{\varnothing }),X=f^{-1}(Y)\in 𝒯$. Dalej, przypuśćmy że rodzina $\{f^{-1}(U_i){\}}_{i\in I}\subseteq 𝒯$ (gdzie ${\mathrm{\forall }}_{i\in I}{U}_i\in {𝒪}_Y$). Wówczas, z własności przeciwobrazu i definicji topologii na $Y$: $\bigcup _{i\in I}{f}^{-1}(U_i)=f^{-1}(\bigcup _{i\in I}{U}_i)\in 𝒯$. Z podobnych przyczyn dla $f^{-1}(U),f^{-1}(V)\in 𝒯$ (gdzie $U,V\in {𝒪}_Y$ mamy: $f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V)=f^{-1}(U\cap V)\in 𝒯$. Zatem $𝒯$ jest topologią na $X$.

Jest jasne, że $f:(X,𝒯)\to (Y,𝒪)$ jest ciągła.

Zauważmy teraz, że jeśli ${𝒯}_1$ jest topologią na $X$ taką, że $f:(X,{𝒯}_1)\to (Y,{𝒪}_Y)$ jest ciągła, to z definicji ciągłości ${\mathrm{\forall }}_{U\in {𝒪}_Y}{f}^{-1}(U)\in {𝒯}_1$, zatem $𝒯\subseteq {𝒯}_1$. $◻$

Rozważmy teraz ogólniejszą wersję powyższego problemu.

Niech $\{(Y_i,{𝒪}_i){\}}_{i\in I}$ będzie rodziną przestrzeni topologicznych, $X$ zbiorem, zaś $\{f:X\to Y_i{\}}_{i\in I}$ rodziną funkcji.

Wówczas $𝒫=\bigcup _{i\in I}\{f_i^{-1}(U):U\in {𝒪}_i\}$ jest podbazą najmniejszej topologii $𝒯$ na $X$ takiej, że dla każdego $i\in I$ funkcja $f_i:(X,𝒯)\to (Y_i,{𝒪}_i)$ jest ciągła.

Dowód:

Wykażemy najpierw, że $𝒫$ jest podbazą pewnej topologii na $X$. Oznaczmy przez $ℬ$ rodzinę skończonych przekrojów elementów rodziny $𝒫$. Musimy pokazać, że $ℬ$ spełnia aksjomaty bazy. Zauważmy, że $X=f^{-1}(Y_i)$ dla dowolnego $i\in I$, zatem $X\in 𝒫\subseteq ℬ$. Zatem $\bigcup ℬ=X$. Weźmy teraz dowolne dwa elementy $B_1,B_2\in ℬ$. Z definicji $ℬ$ istnieją $P_1,P_2,\dots ,P_n,P_{n+1},\dots ,P_{n+m}\in 𝒫$ takie, że $B_1=\bigcap _{k=1}^n{P}_k$ i $B_2=\bigcap _{k=n+1}^{n+m}{P}_k$. Stąd $B_1\cap B_2=\bigcap _{k=1}^{n+m}{P}_k\in ℬ$. Zatem $ℬ$ jest bazą pewnej topologii na $X$.

Wystarczy teraz zauważyć, że jeśli ${𝒯}_1$ jest topologią na $X$ taką, że dla każdego $i\in I$ funkcja $f_i:(X,{𝒯}_1)\to (Y,𝒪)$ jest ciągła, to $𝒫\subseteq {𝒯}_1$. Stąd $𝒯\subseteq {𝒯}_1$, gdyż $𝒯$ jest najmniejszą topologią na $X$ zawierającą $𝒫$. $◻$

• Ćwiczenie: Wykazać, że przy oznaczeniach powyższego twierdzenia zbiór ${𝒫}^{*}=\bigcup _{i\in I}\{f^{-1}(P):P\in {𝐏}_i\}$, gdzie ${𝐏}_i$ jest podbazą przestrzeni $(Y_i,{𝒪}_i)$ dla każdego $i\in I$, jest podbazą topologii $𝒯$.

Maksymalna topologia na przeciwdziedzinie

Rozważymy teraz sytuację w pewnym sensie odwrotną do opisanej w poprzednim podrozdziale. Będziemy bowiem przy ustalonej topologii na dziedzinie funkcji wprowadzali topologię na jej przeciwdziedzinie tak, aby dana funkcja była ciągła. Chcemy ponadto, aby wprowadzona topologia była największa z możliwych.

Niech $(X,𝒪)$ będzie przestrzenią topologiczną, $Y$ zbiorem, zaś $f:X\to Y$ funkcją.

Wówczas $𝒯=\{U:f^{-1}(U)\in 𝒪\}$ jest największą topologią na $Y$ taką, że $f:(X,𝒪)\to (Y,𝒯)$ jest funkcją ciągłą.

Dowód:

Łatwo sprawdzamy, korzystając z własności przeciwobrazu, że $𝒯$ jest topologią na $Y$

Oczywiście $f:(X,𝒪)\to (Y,𝒯)$ jest ciągła.

Nietrudno też wykazać, że $𝒯$ jest największą topologią o żądanej własności. Jeśli bowiem $V\in 2^X$ i $V\in ̸𝒯$, to $f^{-1}(V)\in ̸𝒪$. $◻$

• Ćwiczenie: Uzupełnić szczegóły dowodu.
• Ćwiczenie: Wykazać, że jeśli $\{(X_i,{𝒪}_i){\}}_{i\in I}$ jest rodziną przestrzeni topologicznych, $Y$ zbiorem, zaś $\{f_i:X_i\to Y{\}}_{i\in I}$ rodziną funkcji, to istnieje maksymalna topologia $𝒯$ na $Y$ przy której każda z funkcji $f_i:(X_i,{𝒪}_i)\to (Y,𝒯)$ jest ciągła.

Suma rozłączna przestrzeni topologicznych

Korzystając z ostatniego ćwiczenia zdefiniujemy koprodukt (lub inaczej: sumę rozłączną) rodziny przestrzeni topologicznych $\{X_i{\}}_{i\in I}$. Dla uproszczenia załóżmy, że przestrzenie należące do tej rodziny są parami rozłączne (w przeciwnym wypadku możemy dokonać urozłącznienia, dla każdego $i\in I$ biorąc zamiast przestrzeni $X_i$ jej homeomorficzną kopię, której elementy są parami $(x,i)\in X_i\times \{i\}$). Koproduktem rodziny $\{X_i{\}}_{i\in I}$ nazywamy wówczas przestrzeń $\bigcup _{i\in I}{X}_i$ z najbogatszą topologią taką, że włożenia $j_i:X_i\hookrightarrow \bigcup _{i\in I}{X}_i$, $j_i(x)=x$ są ciągłe dla wszystkich $i\in I$. Przestrzeń tą oznaczamy symbolem $\coprod _{i\in I}{X}_i$.

• Ćwiczenie: Wykazać, że zbiór $U\subseteq \coprod _{i\in I}{X}_i$ jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $i\in I$ zbiór $U\cap X_i$ jest otwarty w $X_i$.

Topologia Tichonowa

Definicja

W tym podrozdziale wprowadzimy pojęcie produktu rodziny przestrzeni topologicznych. Przypomnijmy najpierw pewne pojęcia teoriomnogościowe:

Produktem kartezjańskim rodziny zbiorów $\{X_i{\}}_{i\in I}$ nazywamy zbiór $\prod _{i\in I}{X}_i=\{f:I\to \bigcup _{i\in I}{X}_i:{\mathrm{\forall }}_{i\in I}f(i)\in X_i\}$.

Przy powyższych oznaczeniach rzutem na $j$-tą współrzędną (gdzie $j\in I$) nazywamy funkcję $p_j:\prod _{i\in I}{X}_i\to X_j$ zadaną $p_j(f)=f(j)$ dla każdego $f\in \prod _{i\in I}{X}_i$.

Przejdziemy teraz do właściwej definicji, korzystającej z twierdzenia o istnieniu minimalnej topologii na dziedzinie rodziny funkcji.

Produktem rodziny przestrzeni topologicznych $\{(X_i,{𝒪}_i){\}}_{i\in I}$ nazywamy przestrzeń topologiczną $(\prod _{i\in I}{X}_i,𝒯)$, gdzie $\prod _{i\in I}{X}_i$ jest produktem kartezjańskim rodziny zbiorów $\{X_i{\}}_{i\in I}$, zaś $𝒯$ jest minimalną topologią na $\prod _{i\in I}{X}_i$, przy której dla każdego $j\in I$ rzutowanie $p_j:(\prod _{i\in I}{X}_i,𝒯)\to (X_j,{𝒪}_j)$ jest funkcją ciągłą.

Powyżej zdefiniowaną topologię $𝒯$ nazywamy topologią Tichonowa lub topologią produktową.

Własności

Przyjmijmy oznaczenia z powyższej definicji.

Uwaga: W poniższych rozważaniach, w celu ich uproszczenia, utożsamiamy funkcję $f:A\to B$ ze zbiorem par uporządkowanych $\{(a,f(a)):a\in A\}$ (to znaczy "zapominamy" o dziedzinie i przeciwdziedzinie).

[Komentarz wędrowca: pragnę zwrócić uwagę na nieścisłość nomenklaturową: funkcje SĄ zbiorami takich właśnie par. Trójka złożona z funkcji $f$ i dwóch zbiorów $A$ i $B$, takich że $A\subseteq dm(f),rg(f)\subseteq B$ nazywa się odwzorowaniem. W całym dokumencie przewija się ten błąd (Adam Kolany). ]

1. Z twierdzenia o minimalnej topologii na dziedzinie wynika, że podbazą topologii produktowej $𝒯$ jest zbiór $𝒫=\{p_i^{-1}(U):i\in I\wedge U\in {𝒪}_i\}$.
2. Zauważmy, że dla każdych $i\in I,U\in {𝒪}_i$ zachodzi $p_i^{-1}(U)=\prod _{j\in I}{\alpha }_i^U(j)$, gdzie ${\alpha }_i^U(j)=\{\begin{array}{ccc}{X}_j& & ,j=i\\ U& & ,j=i\end{array}$ dla każdego $j\in I$.
   Intuicyjnie, $\prod _{j\in I}{\alpha }_i^U(j)$ jest produktem kartezjańskim rodziny zbiorów powstałej przez zastąpienie w rodzinie $\{X_j{\}}_{j\in I}$ $i$-go zbioru przez zbiór $U$ (otwarty w $X_i$).
3. Z powyższych rozważań wynika, że elementami bazy topologii produktowej są skończone iloczyny zbiorów postaci $\prod _{j\in I}{\alpha }_i^U(j)$. Jak nietrudno zauważyć, są to produkty kartezjańskie rodzin zbiorów powstałych przez zastąpienie w rodzinie $\{X_i{\}}_{i\in I}$ skończonej liczby przestrzeni $X_{i_1},X_{i_2},\dots ,X_{i_n}$ przez ich podzbiory otwarte $U_{i_1},U_{i_2},\dots ,U_{i_n}$.
4. Zauważmy jeszcze, że w przypadku gdy rozważana rodzina przestrzeni $\{(X_i,{𝒪}_i){\}}_{i\in I}$ jest skończona (przyjmijmy np. $I=\{1,2,\dots ,n\}$), to bazą topologii produktowej jest rodzina $ℬ=\{\prod _{i=1}^n{U}_i:{\mathrm{\forall }}_{i=1,\dots ,n}{U}_i\in {𝒪}_i\}$.
   Ćwiczenie: Wykazać, że w powyższym, skończonym przypadku bazą topologii Tichonowa jest zbiór ${ℬ}^{*}=\{\prod _{i=1}^n{B}_i:{\mathrm{\forall }}_{i=1,\dots ,n}{B}_i\in {𝐁}_i\}$, gdzie ${𝐁}_i$ jest bazą $(X_i,{𝒪}_i)$ dla każdego $i=1,2,\dots ,n$.
5. Dla każdego $j\in I$ rzutowanie $p_j:\prod _{i\in I}{X}_i\to X_j$ jest odwzorowaniem otwartym.

   Dowód:

   Wystarczy wykazać (z własności odwzorwań otwartych), że $p_j(B)\in {𝒪}_i$ dla zbiorów $B$ należących do bazy topologii produktowej. Z postaci zbiorów bazowych opisanej w 2. oraz definicji rzutowania wynika, że $p_j(B)=X_j$ lub $p_j(B)=U$ dla pewnego $U\in {𝒪}_j$. Dowód jest zakończony. $◻$

Przykłady

1. Produkt dowolnej rodziny przestrzeni antydyskretnych jest przestrzenią antydyskretną.
2. Produkt rodziny przestrzeni dyskretnych o mocy większej niż $1$ jest przestrzenią dyskretną wtedy i tylko wtedy, gdy jest to rodzina skończona.
3. Rozważmy przestrzenie skończone: $X=(\{0,1\},\{\mathrm{\varnothing },\{0\},\{0,1\}\})$ i $Y=(\{a,b\},\{\mathrm{\varnothing },\{a\},\{b\},\{a,b\}\})$. Wówczas na $X\times Y$ topologią Tichonowa jest zbiór: $\{\mathrm{\varnothing },X\times Y,\{(0,a)\},\{(0,b)\},\{(0,a),(0,b)\},\{(0,a),(1,a)\},\{(0,b),(1,b)\}\}$.
4. Przez $X^{\kappa }$, gdzie $\kappa$ jest liczbą kardynalną zaś $X$ przestrzenią topologiczną, rozumiemy przestrzeń $\prod _{i\in \kappa }X$ (to znaczy produkt $\kappa$ kopii przestrzeni $X$) z topologią produktową.

   Niech $\kappa \ge {\mathrm{\aleph }}_0$.

   • Dla $X=\{0,1\}$ z topologią dyskretną przestrzeń $X^{\kappa }$ nazywamy kostką Cantora o ciężarze $\kappa$.
   • Dla $X=\{0,1\}$ z topologią $\{\mathrm{\varnothing },\{0\},\{0,1\}\}$ przestrzeń $X^{\kappa }$ nazywamy kostką Aleskandrowa o ciężarze $\kappa$. Przestrzeń $X$ z tego przykładu nazywamy przestrzenią Sierpińskiego.
   • Dla $X=𝐈$ przestrzeń $X^{\kappa }$ nazywamy kostką Tichonowa o ciężarze $\kappa$.

Topologia ilorazowa

Definicja

Niech będą dane przestrzeń topologiczna $(X,𝒪)$ i relacja równoważności $\equiv \subseteq X\times X$.

Funkcją ilorazową nazywamy funkcję $\eta :X\to X/\equiv$ zadaną: $\eta (x)=[x{]}_{\equiv }$ dla każdego $x\in X$, gdzie $X/\equiv$ oznacza zbiór ilorazowy, zaś $[x{]}_{\equiv }\in X/\equiv$ klasę abstrakcji elementu $x\in X$ względem relacji $\equiv$.

Topologią ilorazową na zbiorze ilorazowym $X/\equiv$ nazywamy najbogatszą topologię ${𝒪}_{X/\equiv }$ na tym zbiorze, przy której funkcja ilorazowa $\eta :X\to X/\equiv$ jest ciągła. Przestrzeń $(X/\equiv ,{𝒪}_{X/\equiv })$ nazywamy przestrzenią ilorazową przestrzeni $X$ względem relacji $\equiv$.

Jeżeli $A\subseteq X$, to istnieje najmniejsza relacja równoważności ${\equiv }_A\subseteq X\times X$ taka, że $x{\equiv }_{A}y$ dla każdych $x,y\in A$. Przestrzeń ilorazową względem tej relacji oznaczać będziemy przez $(X/A,{𝒪}_{X/A})$. Intuicyjnie, przestrzeń ta powstaje poprzez "sklejenie" wszystkich punktów zbioru $A$ w jeden punkt.

Ogólniej, odwzorowaniem ilorazowym nazywamy każdą ciągłą surjekcję $q:X\to Y$ taką, że topologia na $Y$ jest najbogatszą topologią, przy której $q$ jest ciągła.

Własności

[Komentarz wędrowca: uprasza się Autora o uporządkowanie oznaczeń. Ni przypiął ni przyłatał w następującym niżej tekście pojawia się tu i ówdzie funkcja $p$. Pewno ma to być $q$, ale może lepiej, zeby autor sam to poprawił?? (A.Kolany)]

1. Niech będą dane przestrzeń $X$ i relacja równoważności $\equiv$ na tej przestrzeni. $\eta :X\to X/\equiv$ niech będzie odwzorowaniem ilorazowym. Wówczas dla każdej przestrzeni $Y$ i funkcji ciągłej $g:X\to Y$ takiej, że $g(x)=g(y)$ o ile $x\equiv y$, istnieje dokładnie jedna funkcja ciągła $g^{\prime }:X/\equiv \to Y$ taka, że $g^{\prime }\circ \eta =g$.

   Dowód:

   Przyjmijmy $g^{\prime }([x])=g(x)$ dla $[x]\in X/\equiv$. Definicja ta jest niezależna od wyboru reprezentanta klasy $[x]$, gdyż z założenia $g(x)=g(y)$ dla każdego $y\in [x]$. Funkcja $g^{\prime }$ jest zatem dobrze określona. Spełnia ona warunek $g^{\prime }\circ \eta =g$ i nietrudno zauważyć, że jest jedyną funkcją go spełniającą. Wykażmy ciągłość $g^{\prime }$. Niech $U\subseteq Y$ będzie zbiorem otwartym. Z definicji $g^{\prime }$ wynika, że ${\eta }^{-1}g{\text{'}}^{-1}(U)=g^{-1}(U)$. Zbiór $g^{-1}(U)$ jest otwarty z ciągłości funkcji $g$. Wystarczy teraz zauważyć, że z definicji topologii na $X/\equiv$ wynika, że $V\subseteq X/\equiv$ jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy ${\eta }^{-1}(V)$ jest otwarty w $X$. Wobec tego $g{\text{'}}^{-1}(U)$ jest otwarty, zatem $g^{\prime }$ jest funkcją ciągłą. $◻$

2. Niech $q:X\to Y$ będzie ciągłą surjekcją. Jeśli $q$ jest odwzorowaniem otwartym lub odwzorowaniem domkniętym, to jest odwzorowaniem ilorazowym.

   Dowód:

   Musimy wykazać, że dowolny podzbiór $U\subseteq Y$ jest otwarty o ile $p^{-1}(U)$ jest otwarty. Przypuśćmy zatem, że $p^{-1}(U)$ jest otwarty. Jeśli $p$ jest odwzorowaniem otwartym, to $p(p^{-1}(U))$ jest również otwarty. Ale $p$ jest surjekcją, więc $p(p^{-1}(U))=U$. Jeśli $p$ jest odwzorowaniem domkniętym, to $p(X\setminus p^{-1}(U))$ jest zbiorem domkniętym. Ale $p(X\setminus p^{-1}(U))=p(p^{-1}(Y\setminus U))=Y\setminus U$. $◻$

3. Niech $q:X\to Y$ będzie odwzorowaniem ilorazowym. Na $X$ określmy relację równoważności: $x\equiv y$ wtedy i tylko wtedy, gdy $q(x)=q(y)$. Wówczas przestrzenie $Y$ i $X/\equiv$ są homeomorficzne.

   Dowód:

   Przez $\eta :X\to X/\equiv$ oznaczmy odwzorowanie ilorazowe. Zdefiniujmy funkcję $h:X/\equiv \to Y$ wzorem $h([x])=p(x)$. Z definicji relacji $\equiv$ wynika, że jest ona dobrze określona. Ponadto $h$ jest surjekcją, gdyż $p$ jest surjekcją. Wykażmy różnowartościowość $h$. Przypuśćmy, że $h([x])=h([y])$, to znaczy $p(x)=p(y)$, co z kolei z definicji $\equiv$ oznacza, że $x\equiv y$, czyli $[x]=[y]$. Pozostaje wykazać ciągłość i otwartość $h$. Nietrudno zauważyć, że dla $U\subseteq Y$ mamy ${\eta }^{-1}(h^{-1}(U))=p^{-1}(U)$. Z ciągłości $p$ zbiór ten jest otwarty, o ile $U$ jest zbiorem otwartym, zatem z definicji topologii ilorazowej zbiór $h^{-1}(U)$ jest otwarty. Analogicznie, korzystając z faktu, że $p^{-1}(h(V))={\eta }^{-1}(V)$ dla $V\subset X/\equiv$ otrzymujemy, że $h$ jest otwarte, co kończy dowód. $◻$

4. Surjekcja $q:X\to Y$ jest odwzorowaniem ilorazowym wtedy i tylko wtedy, gdy posiada następującą własność: dla każdej przestrzeni topologicznej $Z$ i odwzorowania $h:Y\to Z$ odwzorowanie $h$ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowanie $h\circ q$ jest ciągłe.

   Dowód:

   [$\to$] Pokażmy, że jeśli $q$ jest odwzorowaniem ilorazowym, to własność powyższa zachodzi. Weźmy dowolne odwzorowanie $h:Y\to Z$. Przypuśćmy, że $h\circ q$ jest ciągłe. Niech $U\subseteq Z$ będzie zbiorem otwartym. Z ciągłości $h\circ q$ zbiór $(h\circ q{)}^{-1}(U)$ jest otwarty, ale $(h\circ q{)}^{-1}(U)=q^{-1}(h^{-1}(U))$. Ponieważ $q$ jest odwzorowaniem ilorazowym, oznacza to, że zbiór $h^{-1}(U)$ jest otwarty. Stąd $h$ jest ciągłe. Z drugiej strony, jeśli $h$ jest ciągłe, to $h\circ q$ jest ciągłe jako złożenie odwzorowań ciągłych.

   [$\leftarrow$] Wykażmy teraz, że jeśli własność powyższa zachodzi, to $q$ jest odwzorowaniem ilorazowym. Wykażmy najpierw ciągłość $q$. Gdyby istniało $U\subseteq Y$ otwarte i takie, że $q^{-1}(U)$ nie byłoby otwarte, to dla odwzorowania identycznościowego $h=\mathrm{id}:Y\to Y$ otrzymalibyśmy sprzeczność z założeniem, bowiem tak zdefiniowane $h$ jest ciągłe, zaś $h\circ q=q$ nie jest ciągłe. Przypuśćmy teraz, że topologia na $Y$ nie jest maksymalną topologią, przy której $q$ jest ciągłe. Oznacza to, że istnieje zbiór $A\subseteq Y$ taki, że $p^{-1}(A)$ jest otwarty, zaś $A$ nie jest otwarty. Niech $Z$ będzie przestrzenią dwupunktową Sierpińskiego (tzn. $Z=(\{0,1\},\{\mathrm{\varnothing },\{1\},\{0,1\}\})$). Zdefiniujmy $h:Y\to Z$ wzorem: $h(y)=\{\begin{array}{cc}1& \text{dla }y\in A\\ 0& \text{dla }y\in ̸A\end{array}$. Wówczas $h\circ q$ jest funkcją ciągłą, zaś $h$ nie jest ciągłe.$◻$

• Ćwiczenie: Wykazać, że ostatnie z powyższych twierdzeń nie zachodzi, jeśli o $q$ nie założymy, że jest surjekcją.

Przykłady

1. Przestrzeń $𝐈/\{0,1\}$ jest homeomorficzna z przestrzenią ${𝐒}^1$.
   Wykażmy prawdziwość tego stwierdzenia. Ponieważ ${𝐒}^1\subseteq {ℝ}^2$, zaś ${ℝ}^2$ jest w naturalny sposób homeomorficzne z $ℂ$, możemy utożsamiać ${𝐒}^1$ ze zbiorem $\{z\in ℂ;|z|=1\}$. Rozważmy odwzorowanie ciągłe $\exp :𝐈\to {𝐒}^1\subseteq ℂ$ zadane wzorem $\exp (t)=e^{2\pi it}=\cos (2\pi t)+i\sin (2\pi t)$. Ponieważ $\exp (0)=\exp (1)=1$, indukuje ono odwzorowanie ciągłe ${\exp }^{\prime }:𝐈/\{0,1\}\to {𝐒}^1$. Nietrudno sprawdzić, że ${\exp }^{\prime }$ jest bijekcją. Weźmy zbiór $U\subseteq 𝐈/\{0,1\}$ otwarty w topologii ilorazowej na $𝐈/\{0,1\}$. Mamy: ${\exp }^{\prime }(U)=\exp ({\eta }^{-1}(U))$, gdzie $\eta :𝐈\to 𝐈/\{0,1\}$ jest odwzorowaniem ilorazowym. Pokażemy, że dla każdego punktu $s\in {\exp }^{\prime }(U)$ istnieje jego otoczenie otwarte $U_s\subseteq {\exp }^{\prime }(U)$. Będzie to oznaczało, że zbiór ${\exp }^{\prime }(U)$ jest otwarty, co wobec dowolności $U$ wykaże otwartość odwzorowania ${\exp }^{\prime }$. Niech zatem $s\in {\exp }^{\prime }(U)$ oraz $[t]=\exp {\text{'}}^{-1}(s)\in U$. Ponieważ $\eta$ jest ciągłe, ${\eta }^{-1}(U)$ jest otwarte w $𝐈$. Jeśli zatem $[t]=[1]$, to $t\in {\eta }^{-1}(U)$ i istnieje $ϵ$ takie, że $V_{[t]}=(t-ϵ;t+ϵ)\subseteq {\eta }^{-1}(U)$. Jeśli zaś $[t]=[1]$, to $0,1\in {\eta }^{-1}(U)$ oraz istnieje $ϵ$ takie, że $V_{[t]}=[0;ϵ)\cup (1-ϵ;1]\subseteq {\eta }^{-1}(U)$. W obu wypadkach nietrudno pokazać, że $U_s=\exp (V_{[t]})\subseteq \exp ({\eta }^{-1}(U))={\exp }^{\prime }(U)$ jest otwarte w ${𝐒}^1$.
2. Przestrzeń ${𝐈}^n/\mathrm{Fr}{𝐈}^n$ jest homeomorficzna z przestrzenią ${𝐒}^n$. Intuicyjnie fakt ten nie jest trudny do przyjęcia, formalny dowód pozostawiamy jako ćwiczenie dla Czytelnika. Jego wykonanie może okazać się łatwiejsze po ukończeniu lektury dalszych rozdziałów.
3. Rozważmy przestrzeń $X=𝐈\times 𝐈$ oraz najmniejsze relacje równoważności ${\equiv }_1,{\equiv }_2,{\equiv }_3$ takie, że:
   • $(0,t){\equiv }_1(1,t)$ oraz $(t,0){\equiv }_1(t,1)$,
   • $(0,t){\equiv }_2(1,1-t)$ oraz $(t,0){\equiv }_2(t,1)$,
   • $(0,t){\equiv }_3(1,1-t)$ dla każdego $t\in 𝐈$.

   Przestrzeń $X/{\equiv }_1$ nazywamy torusem 2-wymiarowym, $X/{\equiv }_2$ butelką Kleina, zaś $X/{\equiv }_3$ wstęgą Mōbiusa.

4. Niech będzie dana przestrzeń topologiczna $X$. Stożkiem nad tą przestrzenią nazywamy przestrzeń $X\times 𝐈/X\times \{1\}$, zaś zawieszeniem $X$ nazywamy przestrzeń $X\times 𝐈/\equiv$, gdzie $\equiv$ jest najmniejszą relacją równoważności na $X\times 𝐈$ taką, że $(x,1)\equiv (x^{\prime },1)$ oraz $(x,0)\equiv (x^{\prime },0)$ dla każdych $x,x^{\prime }\in X$.
5. W przestrzeni $X={ℝ}^n\setminus \{0\}$ rozważmy relację $\equiv$ taką, że $(t_1,\dots ,t_n)\equiv (s_1,\dots ,s_n)$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje $\lambda \in ℝ$ takie, że $s_i=\lambda t_i$ dla każdego $i=1,\dots ,n$. Przestrzeń $X/\equiv$ nazywamy $n-1$-wymiarową rzeczywistą przestrzenią rzutową i oznaczamy $ℝ{𝐏}^{n-1}$.

>> Zadania Szablon:Nawigacja