Szczególna teoria względności/Tensory w czasoprzestrzeni

Przestrzeń jest opisana n współrzędnymi, która wraz ze współrzędną czasową tworzą n+1 współrzędnych, co w rezultacie otrzymujemy n+1 wymiarowy wektor.

Czterowektor wielkości tensorowych

Jest to tensor jednowskaźnikowy, w którym mamy współrzędną czasową i trzy współrzędne przestrzenne, np. dla tensora kontrawariantnego Szablon:Formuła i kowariantnego Szablon:Formuła, mamy czterowektor kontrawariantny i kowariantny na podstawie definicji tensora metrycznego podwójnie kowariantnego dla czasoprzestrzeni prostokątnej Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

Tensor położenia w czasoprzestrzeni

Tensor położenia nazywamy zestaw współrzędnych tensora kontrawariantnego, w których pierwszą składową jest współrzędna czasowa, która jest iloczynem wartości prędkości światła i zwykłego czasu rzeczywistego. Dalsze trzy współrzędne N+1 wymiarowego tego wektora są to współrzędne przestrzenne, charakteryzujące położenie w przestrzeni.

Tensor położenia w czasoprzestrzeni nazywamy tensor kontrawariantny: Szablon:CentrujWzór

• gdzie pierwsza współrzędna Szablon:Formuła jest to współrzędna czasowa, a Szablon:Formuła jest to położenie w przestrzeni zwykłej.

Tensor prędkości w czasoprzestrzeni

Tensor prędkości w czasoprzestrzeni nazywamy pochodną zupełna tensora położenia xSzablon:Sup Szablon:LinkWzór względem interwału czasoprzestrzennego: Szablon:CentrujWzór

• gdzie ds jest to różniczka interwału czasoprzestrzennego, którego kwadrat jest napisany w punkcie Szablon:LinkWzór (przestrzeń nieprostokątna) i Szablon:LinkWzór (przestrzeń prostokątna) dla szczególnej teorii względności i Szablon:LinkWzór dla mechaniki Newtona.

Szczególna teoria względności

Wyznaczmy część czasową i przestrzenna n+1 wymiarowego tensora prędkości Szablon:LinkWzór wykorzystując przy tym definicję różniczki interwału czasoprzestrzennego, który dla skończonego czasu jest zapisana wzorem Szablon:LinkWzór: Szablon:ElastycznyWiersz Zbierając wnioski Szablon:LinkWzór (część czasowa n+1 wymiarowego tensora prędkości) i Szablon:LinkWzór (część przestrzenna tej samej wielkości), wtedy tensor prędkości możemy napisać: Szablon:CentrujWzór

Mechanika Newtona

Tensor prędkości w czasoprzestrzeni nazywamy pochodną zupełna tensora położenia xSzablon:Sup Szablon:LinkWzór względem interwału czasoprzestrzennego, jest w takiej samej postaci jak w punkcie Szablon:LinkWzór. Wyznaczmy część czasową i przestrzenna n+1 wymiarowego tensora prędkości Szablon:LinkWzór wykorzystując przy tym definicję różniczki interwału czasoprzestrzennego, który dla absolutnego czasu jest zapisana wzorem Szablon:LinkWzór: Szablon:ElastycznyWiersz Zbierając wnioski Szablon:LinkWzór (część czasowa n+1 wymiarowego tensora prędkości) i Szablon:LinkWzór (część przestrzenna tej samej wielkości), wtedy tensor prędkości możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Patrząc na Szablon:LinkWzór wielkości Szablon:Formuła i Szablon:Formuła są tensorami, ten pierwszy nazwijmy tensorem prędkości, a ten drugi wielkością wskaźnikową prędkości.

Interwał czasoprzestrzenny

Będziamy tutaj badali własności interwału czasoprzestrzennego.

Szczególna teoria względności

Interwał czasoprzestrzenny definiujemy przy pomocy definicji tensora metrycznego Minkowskiego Szablon:LinkWzór i przy definicji n+1 wymiarowego wektora położenia Szablon:LinkWzór, zatem wzór Szablon:LinkWzór jest wyrażony: Szablon:CentrujWzór Jeśli wykorzystamy definicję n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie Szablon:LinkWzór, to końcową tożsamość wynikową Szablon:LinkWzór przepisujemy: Szablon:CentrujWzór Co Szablon:LinkWzór i z własności tensorów metrycznych, a w szczególnym przypadku tensora metrycznego Minkowskiego ηSzablon:Sub, w którym to powyższe równanie jest z kolei równoważne równaniu: Szablon:CentrujWzór

Mechanika Newtona

Interwał czasoprzestrzenny wynikający z definicji interwału czasoprzestrzennego Szablon:LinkWzór w szczególnej teorii względności przy Szablon:Formuła, które spełnia mechanika Newtona, jest Szablon:LinkWzór znając definicję tensora prędkości Szablon:LinkWzór przepiszmy: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór w mechanice Newtona część czasowa tensora prędkości jest równe jeden, a wielkość wskaźnikowa czasowa też jest równa prędkości światła Szablon:Formuła, co jest zgodne tez dla tej samej teorii ze wzorem Szablon:LinkWzór.

Tensor pędu w czasoprzestrzeni

Tensorem pędu nazywamy wielkość zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości Szablon:LinkWzór, masy spoczynkowej badanego ciała mSzablon:Sub i prędkości światła w próżni: Szablon:CentrujWzór

Szczególna teoria względności

Jeśli wykorzystamy formę przedstawiania n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie Szablon:LinkWzór, wtedy jej cześć czasowa przy wykorzystaniu definicji energii relatywistycznej E=mcSzablon:Sup jest zdefiniowana poniżej i jest ona równa energii relatywistycznej danego ciała E podzielonej przez prędkość fal elektromagnetycznych w próżni c. Szablon:CentrujWzór I dalej wyznaczmy dla naszego tensora pędu części przestrzenne, tzn. dla i=x,y,z, ..., zatem wtedy dochodzimy do wniosku na podstawie obliczeń poniżej, że cześć przestrzenna tensora pędu jest to po prostu zwykły pęd relatywistyczny, czyli wielkość, która jest iloczynem masy relatywistycznej ciała i jego prędkości przestrzennej v[{Sup|i}}: Szablon:CentrujWzór Pierwsza składowa n+1 wymiarowego wektora pędu jest energią ciała z dokładnością do odwrotności prędkości światła, czyli Szablon:LinkWzór, i dalsze składowe są współrzędnymi zwykłego pędu relatywistycznego Szablon:LinkWzór, zatem w takim przypadku tensor pędu w czasoprzestrzeni Minkowskiego definiujemy: Szablon:CentrujWzór

Mechanika Newtona

Jeśli wykorzystamy formę przedstawiania n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie Szablon:LinkWzór, wtedy jej cześć czasowa przy wykorzystaniu definicji energii relatywistycznej E=mcSzablon:Sup jest zdefiniowana poniżej i jest ona równa energii spoczynkowej danego ciała E podzielonej przez prędkość fal elektromagnetycznych w próżni c. Szablon:CentrujWzór I dalej wyznaczmy dla naszego tensora pędu części przestrzenne, tzn. dla i=x,y,z, ..., zatem wtedy dochodzimy do wniosku na podstawie obliczeń poniżej, że cześć przestrzenna tensora pędu jest to po prostu zwykły pęd relatywistyczny, czyli wielkość, która jest iloczynem masy relatywistycznej ciała i jego prędkości przestrzennej v[{Sup|i}}: Szablon:CentrujWzór Pierwsza składowa n+1 wymiarowego wektora pędu jest energią spoczynkową ciała z dokładnością do odwrotności prędkości światła, czyli Szablon:LinkWzór, i dalsze składowe są współrzędnymi zwykłego pędu relatywistycznego Szablon:LinkWzór, zatem w takim przypadku tensor pędu w czasoprzestrzeni Minkowskiego definiujemy: Szablon:CentrujWzór

Transformacja tensora pędu z jednego układu odniesienia do drugiego

Będziemy się tutaj zajmowali transformacją tensora pędu, wektora pędu i energii relatywistycznej w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona.

Szczególna teoria względności

Napiszmy wzór na transformację z jednego układu współrzędnych do drugiego tensora pędu Szablon:LinkWzór, zatem transformacja z jednego układu odniesienia do drugiego wykorzystując macierz transformacji Szablon:LinkWzór przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Stąd wzór na transformację energii i pędu przybiera wynikającą z Szablon:LinkWzór postać: Szablon:ElastycznyWiersz Mamy już transformację wektora pędu według Szablon:LinkWzór, przestawmy wzory na składowe prostopadłe i równoległe wektora pędu do prędkości liniowej nowego układu odniesienia wiedząc, że Szablon:Formuła: Szablon:ElastycznyWiersz Napiszmy wzór na kwadrat pędu prostopadłego względem linii poruszania się nowego układu współrzędnych Szablon:Formuła wykorzystując wzór na transformację macierzy iloczynu skalarnego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Czyli pęd prostopadły do prędkości liniowej nowego układu odniesienia nie zmienia swojej wartości.

Mechanika Newtona

Napiszmy wzór na transformację z jednego układu współrzędnych do drugiego tensora pędu Szablon:LinkWzór, zatem transformacja z jednego układu odniesienia do drugiego wykorzystując macierz transformacji Szablon:LinkWzór przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Wzór na transformację energii spoczynkowej (masy spoczybkowej) i wektora pędu przybiera wynikającą z Szablon:LinkWzór postać: Szablon:ElastycznyWiersz Na podstawie Szablon:LinkWzór masa spoczynkowa, a właściwiej masa, nie transformuje się przy przejściu z jednego układu do drugiego, a wektor pędu już tak. Mamy już transformację wektora pędu według Szablon:LinkWzór, przestawmy wzory na składowe prostopadłe i równoległe wektora pędu do prędkości liniowej nowego układu odniesienia wiedząc, że Szablon:Formuła: Szablon:ElastycznyWiersz Napiszmy wzór na kwadrat pędu prostopadłego względem linii poruszania się nowego układu współrzędnych Szablon:Formuła wykorzystując wzór na transformację macierzy iloczynu skalarnego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Czyli pęd prostopadły do prędkości liniowej nowego układu odniesienia nie zmienia swojej wartości.

Tensor siły w czasoprzestrzeni

N+1 wymiarowym wektorem siły nazywamy wielkość zdefiniowaną jako pochodną n+1 wymiarowego wektora pędu Szablon:LinkWzór względem linii światła, której różniczka jest zdefiniowana w punkcie Szablon:LinkWzór (lub Szablon:LinkWzór): Szablon:CentrujWzór

Szczególna teoria względności

Wyznaczmy elementy czasoprzestrzenne tensora siły Szablon:LinkWzór i jak przekonamy się później, że jest to wielkość proporcjonalna do relatywistycznej siły znanej z drugiej zasady dynamiki Einsteina Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Wedle wzoru Szablon:LinkWzór siła relatywistyczna jest proporcjonalna do części przestrzennej n+1 wymiarowego wektora siły: Szablon:CentrujWzór Jeśli wykorzystamy wzór wynikający z definicji interwału czasoprzestrzennego i tensora siły, czyli wzoru Szablon:LinkWzór i pomnożeniu tak otrzymanego wyrażenia przez (mSzablon:Subc)Szablon:Sup i po wykorzystaniu definicji n+1 wymiarowego wektora pędu Szablon:LinkWzór, to: Szablon:CentrujWzór Zróżniczkujmy obie strony równania Szablon:LinkWzór względem linii światła: Szablon:CentrujWzór Korzystać będziemy, że tensor Minkowskiego jest tensorem symetrycznym, który wynika z jego własności, a zatem równość Szablon:LinkWzór po zamianie miejscami wskaźników niemych według schematu μ→ν i ν→μ, wtedy po tak dokonanej zamianie i po podzieleniu tak otrzymanego równania przez dwa, wtedy dostajemy tożsamość fizyczną: Szablon:CentrujWzór Jeśli wykorzystamy definicję tensor siły Szablon:LinkWzór we wzorze Szablon:LinkWzór, to: Szablon:CentrujWzór W równaniu Szablon:LinkWzór wydzielamy części przestrzenne (ν=1,2,3) od jej elementów czasowego (ν=0) oraz prowadząc kolejne przekształcenia wyznaczając część czasową tensora siły Szablon:LinkWzór, właśnie ten element można zapisać: Szablon:CentrujWzór Na samym końcu możemy wykorzystać wnioski Szablon:LinkWzór (część przestrzenna tensora siły) i Szablon:LinkWzór (część czasowa tensora siły), wtedy ten nasz tensor siły piszemy: Szablon:CentrujWzór Jeśli mamy układ K', który porusza się z prędkością Szablon:Formuła względem układu K, i dalej ponieważ tensor Szablon:Formuła jest tensorem, to wtedy prawa fizyki są takie same we wszystkich układach odniesienia inercjalnych zgodnie z postulatem pierwszym szczególnej teorii względności. Wielkość wskaźnikowa siły Szablon:Formuła w Szablon:LinkWzór nie jest tensorem, a Szablon:Formuła jest tensorem. Jest w szczególnej teorii względności jest jak w Szablon:LinkWzór, a w mechanice Newtona według Szablon:LinkWzór na podstawie definicjni tensora prędkości Szablon:LinkWzór mamy:

Mechanika Newtona

W mechanice Newtona według Szablon:LinkWzór na podstawie definicjni tensora prędkości Szablon:LinkWzór, mamy: Szablon:CentrujWzór Wielkości w Szablon:LinkWzór, tzn.: Szablon:Formuła i Szablon:Formuła są tensorami, ten pierwszy nazwijmy tensorem siły, a ten drugi wielkością wskaźnikową siły. Widzmy, że współrzędne czasowe Szablon:Formuła są zerowe, a współrzędne przestrzenne są za to niezerowe. Na podstawie przestrzeni Galileusza, mamy wzór na wektor tensora siły w zalezności od wektora wielkości wskaźnikowej siły: Szablon:CentrujWzór

Jeszcze raz o twierdzeniu o środku mas

Mając tensory położenia Szablon:LinkWzór i masy relatywistyczne możemy napisać wzór na położenie tensorowe środka mas: Szablon:CentrujWzór Gdzie Szablon:Formuła to tensor położenia ciała o numerze Szablon:Formuła, a Szablon:Formuła to położenie środka mas. N-tą pochodną względem dowolnej zmiennej Szablon:Formuła możemy napisać w postaci podobnej do Szablon:LinkWzór,tzn: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór podobnie się udowadnia jak wzór Szablon:LinkWzór. A więc twierdzenie Szablon:LinkWzór zostało udowodnione. Wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są równoważne ze wzorami Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór dla Szablon:Formuła i Szablon:Formuła. Gdy we wzorze Szablon:LinkWzór mamy Szablon:Formuła, gdzie w nim Szablon:Formuła to masa spoczynkowa elementu masowego o numerze Szablon:Formuła, a także Szablon:Formuła, to wtedy dostajemy: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że według wzoru Szablon:LinkWzór masa środka mas jest równa sumie mas poszczególnych elementów masowych, stąd wzór Szablon:LinkWzór dla Szablon:Formuła jest tożsamością. Stąd wzór Szablon:LinkWzór jest słuszny dla każdego Szablon:Formuła dla Szablon:Formuła. A masa spoczynkowa środka mas jest równa sumie mas relatywistycznych elementów masowych podzielonego przez Szablon:Formuła, które jest zdefiniowane wzorem Szablon:LinkWzór(tutaj wybieramy znak plus jak wcześniej w module pierwszym powiedzieliśmy) dla wartości prędkości środka mas Szablon:Formuła. Przepiszmy wzór Szablon:LinkWzór dla Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, co po przekształceniu go wykorzystując Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór oraz dzieląc obustronnie ten wzór przez Szablon:Formuła, wtedy: Szablon:CentrujWzór Stąd na podstawie Szablon:LinkWzór mamy twierdzenie dla tensora prędkości środka mas dla jej elementów przestrzennych. A ponieważ zachodzi Szablon:Formuła i Szablon:Formuła według Szablon:LinkWzór, to możemy napisać w prawej i lewej stronie Szablon:LinkWzór wykorzystując mnożenie przez jeden, tzn. tożsamości Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, a także wykorzystując definicję tensora prędkości dla jej elementów czasowych: Szablon:CentrujWzór Łącząc wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór ze sobą w jeden wzór dostajemy: Szablon:CentrujWzór Jest to wzór na tensor prędkości dla środka mas z którym on się porusza, w którym masa spoczynkowa środka mas Szablon:Formuła jest zdefiniowana według Szablon:LinkWzór.

Tensor siły dla środka mas

Metryka dla środka mas tak samo się definiuje i ma takie same właściwości jak metryka Szablon:LinkWzór dla poszczególnych punktów masowych. Wykorzystując twierdzenie Szablon:LinkWzór o środku mas układu cząstek, to wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są również spełnione dla środka mas, bo te wzory są również formułowane dla definicji siły Szablon:LinkWzór ogólnie dla środka mas układów cząstek, a Szablon:LinkWzór udowodniliśmy wychodząc z Szablon:LinkWzór. Stąd wzór na tensor siły dla poruszającego środka masy i wzory na tensory sił dla elementów masowych są formalnie jednakowe.

Twierdzenie dodawania i odejmowania wyrazów równych zero do równania i wyrażenia matematycznego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych (zakrzywionych)

A oto bardzo ważne twierdzenie matematyczne potrzebne do udowadniania fizyki (mechaniki Newtona i szczególnej teorii względności) słuszne dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych (zakrzywionych), które będziemy stosować. Szablon:Twierdzenie

• 1. A oto przykład funkcji, która w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest równa zero:

Szablon:CentrujWzór W układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości Szablon:LinkWzór jest równa zero ze względu globalną (lokalną) stałość gęstości spoczynkowej Szablon:LinkWzór i globalną (lokalną) stałość tensora prędkości Szablon:LinkWzór. Przejdźmy do układów słabozakrzywionych, tzn. wymnażamy przez macierz transformcji Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Wyraz w Szablon:LinkWzór jest równy zero ze względu, że wyraz Szablon:Formuła w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest równy zero.

• 2. A oto przykład funkcji tensorowej słuszne dla układów co najwyżej zakrzywionych, ale najpierw udowodnijmy jego wartość w układzie globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:

Szablon:CentrujWzór A więc przejście od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości wyrażenia Szablon:LinkWzór do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych) daje nam jego wartość zero.

• 3. A oto przykład całki słuszne dla układów co najwyżej słabozakrzywionych, ale najpierw udowodnijmy jego wartość w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:

Szablon:CentrujWzór Pierwszy wyraz ostatniej równości jest równy zero dzięki niezależności gęstości spoczynkowej Szablon:LinkWzór i niezależności ciśnienia Szablon:LinkWzór względem interwału czasoprzestrzennego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości. Drugi wyraz w Szablon:LinkWzór jest równy zero na podstawie przykładu Szablon:LinkWzór. Całka powierzchniowa (trzeci wyraz) jest dokładnie równa zero niezależnie jak by na to patrzeć w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości według Szablon:LinkWzór. A więc przejście całki Szablon:LinkWzór od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych) na podstawie powyższego twierdzenia też daje nam wartość tej całki zero.

Gęstość tensora (wielkości wskaźnikowej) siły w przypadku relatywistycznego (szczególna teoria względności) i nierelatywistycznego (mechanika Newtona) ruchu płynu i punktów

Będziemy tutaj rozpatrywali relatywistyczny ruch cząstek płynu i punktów (ciał).

Szczególna teoria względności

Będziemy tutaj rozważać prawa ruchu układu relatywistycznego według szczególnej teorii względności.

Układy słabozakrzywione i globalnie (lokalnie) płaskie

Spróbujmy wyprowadzić wzór na gęstość tensora siły, której różniczka tensora siły działa na dany punkt ośrodka i jej odpowiednik dla skończonego tensora siły jest w postaci Szablon:LinkWzór, piszemy wychodząc z różniczki tensora siły będąca iloczynem różniczki masy spoczynkowej i pochodnej zupełnej tensora prędkości cząstki płynu względem interwału czasoprzestrzennego i korzystając z definicji skrócenia długości Szablon:LinkWzór (przechodząc z infinitezymalnej różniczki objętości spoczynkowej do objętości relatywistycznej) i definicji gęstości masy spoczynkowej, możemy powiedzieć: Szablon:CentrujWzór Wzór na gęstość tensora siły jest w postaci Szablon:LinkWzór. Korzystając z definicji gęstości tensora siły Szablon:Formuła według wzoru Szablon:LinkWzór przejdziemy z niej do gęstości wielkości wskaźnikowej siły Szablon:Formuła na podstawie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły jest w postaci Szablon:LinkWzór, jest ona iloczynem gęstości spoczynkowej masy, prędkości światła, parametru γ i pochodnej zupełnej tensora prędkości względem czasu t.

Układ globalnie (lokalnie) płaski o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości

Mając wzór na wielkość gęstości tensora siły według punktu Szablon:LinkWzór przestawmy go w innej postaci dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości stosując w nim globalną (lokalną) stałość tensora prędkości Szablon:LinkWzór i globalną (lokalną) stałość gęstości spoczynkowej masy Szablon:LinkWzór oraz twierdzenie Szablon:LinkTwierdzenie, jako: Szablon:CentrujWzór Wzór na gęstość tensora siły Szablon:LinkWzór zapisujemy jako pochodna cząstkowa iloczynu gęstości relatywistycznej masy i wielkości wskaźnikowej prędkości względem interwału czasoprzestrzennego. Napiszmy drugą postać tego wzoru patrząc co jest po czwartej równości w Szablon:LinkWzór, mamy: Szablon:CentrujWzór Wzór na gęstość tensora siły Szablon:LinkWzór jest iloczynem gęstości spoczynkowej masy, prędkości światła, γ i pochodnej cząstkowej tensora prędkości względem interwału czasoprzestrzennego. Na podstawie sobie różnych postaci jednego wzoru dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór piszemy ich odpowiedniki gęstości wielkości wskaźnikowej siły patrząc na równość Szablon:LinkWzór, wtedy Szablon:CentrujWzór Wzory na gęstość tensora siły Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi Szablon:LinkWzór oraz wzory na gęstość wielkości wskaźnikowej siły Szablon:LinkWzór są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi Szablon:LinkWzór na mocy twierdzenia Szablon:LinkTwierdzenie w układach globalnie (lokalnie) płaskich, a te twierdzenia są słuszne również w układach słabozakrzywionych na mocy twierdzenia o transformacji wielkości tensorowych.

Prawa dynamiki dla układów punktowych wynikające z praw dla układów rozciągłych dla przestrzeni słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich

Drugie prawo dynamiki w postaci wskaźnikowej dla układów rozciągłych dla układów słabozakrzywionych jest napisana według wzoru Szablon:LinkWzór, a dla układów punktowych wyprowadzamy z tego wzoru wzór na wielkość wskaźnikową siły według Szablon:LinkWzór, a więc: Szablon:CentrujWzór Napiszmy z definicji delty Diraca: Szablon:CentrujWzór

• gdzie n to wymiar przetrzeni zwykłej.

Na podstawie Szablon:LinkWzór i z definicji delty Diraca dla układów punktowych wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły podczas jego operacji całkowania względem objętości: Szablon:CentrujWzór Stąd wzór Szablon:LinkWzór dla układów rozciągłych przechodzi dla układów punktowych w wzór Szablon:LinkWzór (końcowy wzór), czyli w Szablon:LinkWzór. Zatem wzór dla układów punktowych dla układów słabokrzywionych na tensor siły jest w postaci Szablon:LinkWzór, a dla rozciągłych wzór na gęstość tensora siły przedstawia się w formie Szablon:LinkWzór (drugi wzór w implikacji), i to wszystko dla układów słabozakrzywionych.

Mechanika Newtona

Będziemy tutaj rozważać prawa ruchu układu nierelatywistycznego według mechaniki Newtona.

Układy słabozakrzywione i globalnie (lokalnie) płaskie

Spróbujmy wyprowadzić wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły, której różniczka wektora działa na dany punkt ośrodka i jej odpowiednik dla skończonej wielkości wskaźnikowej siły jest w postaci Szablon:LinkWzór, piszemy wychodząc z różniczki wielkości wskaźnikowej siły będąca iloczynem różniczki masy spoczynkowej i pochodnej zupełnej wielkości wskaźnikowej prędkości cząstki płynu względem czasu absolutnego, korzystając przy tym, że nie ma żadnego skrócenia długości (a więc transformacji infinitezymalnej objętości z różniczki objętości spoczynkowej), i definicji gęstości masy spoczynkowej (ogólnie gęstości masy), możemy powiedzieć: Szablon:CentrujWzór Wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły jest w postaci Szablon:LinkWzór, jest ona iloczynem gęstości spoczynkowej i pochodnej wielkości wskaźnikowej prędkości względem czasu t.

Układ globalnie (lokalnie) płaski o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości

Mając wzór na wielkość gęstości wskaźnikowej siły według punktu Szablon:LinkWzór przestawmy go w innej postaci dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości stosując zachodzącą globalną (lokalną) stałość tensora prędkości Szablon:LinkWzór i globalną (lokalną) stałość gęstości masy spoczynkowej Szablon:LinkWzór oraz twierdzenie Szablon:LinkTwierdzenie, jako: Szablon:CentrujWzór Wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły jest pochodną iloczynu gęstości masy i wielkości wskaźnikowej prędkości. Dalej patrząc co jest po drugiej równości w Szablon:LinkWzór, mamy: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór jest iloczynem gęstości masy i pochodnej cząstkowej wielkości wskaźnikowej prędkości względem czasu absolutnego. Wzory na gęstość wielkości wskaźnikowej siły Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi Szablon:LinkWzór na mocy twierdzenia Szablon:LinkTwierdzenie w układach globalnie (lokalnie) płaskich, a te twierdzenia są słuszne również w układach słabozakrzywionych na mocy twierdzenia o transformacji wielkości tensorowych.

Prawa dynamiki dla układów punktowych wynikające z praw dla układów rozciągłych dla przestrzeni słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich

Drugie prawo dynamiki w postaci wskaźnikowej dla układów rozciągłych dla układów słabozakrzywionych jest napisana według wzoru Szablon:LinkWzór, a dla układów punktowych wyprowadzamy z tego wzoru wyprowadzając wzór na wielkość wskaźnikową siły według Szablon:LinkWzór, a więc: Szablon:CentrujWzór Napiszmy z definicji delty Diraca: Szablon:CentrujWzór

• gdzie n to wymiar przestrzeni zwykłej.

Na podstawie Szablon:LinkWzór i z definicji delty Diraca dla układów punktowych wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły podczas jego operacji całkowania względem objętości: Szablon:CentrujWzór Stąd wzór Szablon:LinkWzór dla układów rozciągłych przechodzi dla układów punktowych w wzór Szablon:LinkWzór (końcowy wzór), czyli w Szablon:LinkWzór. Zatem wzór dla układów punktowych dla układów słabozakrzywionych na wielkość wskaźnikową siły jest w postaci Szablon:LinkWzór, a dla rozciągłych wzór na gęstość wielkości wskaźnikową siły przedstawia się w formie Szablon:LinkWzór (drugi wzór w implikacji), i to wszystko dla układów słabozakrzywionych.