Mechanika teoretyczna/Zasady zachowania w mechanice materiałów

Wyprowadzimy tutaj prawa zachowania masy, a właściwie jej lokalną własność z globalnego zachowania masy, zasadę zachowania pędu, a także na samym końcu zasadę zachowania momentu pędu.

Lokalna zasada zachowania masy

Będziemy liczyli ilość wypływania masy w jednostce czasu, zatem ilość masy jakie opuszcza daną objętość przestawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni i wektora prędkości jakie obowiązują na tej omawianej powierzchni w danym punkcie z jaką wylatuje masa z tej powierzchni, którą to przecałkujemy po tej powierzchni. Możemy napisać jaka jest ilość wylatywanej substancji na jednostkę czasu określaną przez: Szablon:CentrujWzór Minus znajdującej się po lewej strony równości Szablon:LinkWzór ma znak ujemny, ponieważ masa ubywa z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Z drugiej jednak strony całkowita masa znajdująca się w danej objętości przestawiana jest: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór wstawiamy do równości Szablon:LinkWzór, w ten sposób możemy napisać wzór przekształcając go dalej poniżej, w której wykorzystamy prawo Ostrogradskiego Gaussa: Szablon:CentrujWzór Ponieważ całkowanie we wzorze Szablon:LinkWzór jest całkowanie po dowolnej objętości, to jedyną możliwością jest, że funkcja jej podcałkowa jest równa zero, co możemy ten wniosek przestawić: Szablon:CentrujWzór

Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów

Wprowadzimy tutaj wektor naprężeń, który to będziemy wprowadzać do drugiej zasady dynamiki Newtona, są to siły powierzchniowe, ten wektor definiujemy: Szablon:CentrujWzór Całkowita siła działająca na ciało znajdująca się w objętości V w wyniku naprężeń, dla której jej składowa i-ta jest przestawia się przy wykorzystaniu twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa: Szablon:CentrujWzór Wśród sił działających na całą objętość są to siły, których definicja jest całką z iloczynu gęstości w danym punkcie i wielkości Szablon:Formuła, ona wynika z tego, że wektor Szablon:Formuła jest stosunkiem różniczki siły działającej na objętość dV przez iloczyn tejże wspomnianej objętości i przez gęstość materii w danym punkcie, w której liczymy naszą wielkość Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Jak można zauważyć, że wielkość Szablon:LinkWzór dla pola grawitacyjnego jest to po prostu przyspieszenie ziemskie. Jeśli wykorzystamy wzór na całkowitą masę infinitezymalnej części układu znajdującej się w objętości dV, zatem nasz rozważany nieskończenie mały element objętości zawiera w sobie masę równą dm=ρdV. Szablon:CentrujWzór Definicja siły FSzablon:SupSzablon:Sub jest sumą sił pochodzącą od sił naprężeń zdefiniowanego w punkcie Szablon:LinkWzór i sił działających na całą objętość pokazanego w punkcie Szablon:LinkWzór, które to podstawimy do wzoru Szablon:LinkWzór, w tak otrzymanej równości wszystko przenosimy na jej lewą stronę, w ten sposób w tak otrzymanym obiekcie wszystko wkładamy pod znak jednej całki całkowalną względem objętości. Szablon:CentrujWzór Ponieważ równość Szablon:LinkWzór jest spełniona dla dowolnej objętości V, która jest ograniczoną zamkniętą objętością po której całkujemy, zatem na podstawie tego nasza rozważana funkcja podcałkowa w Szablon:LinkWzór jest zawsze równa zero: Szablon:CentrujWzór Pierwszy wyraz znajdujący się w punkcie w wyrażeniu Szablon:LinkWzór możemy przekształcić do innej równoważnej postaci po dokonaniu poniższych przekształceń, które będziemy pisać: Szablon:CentrujWzór Możemy wykorzystać tożsamość wynikłych z obliczeń Szablon:LinkWzór do drugiego prawa Newtona Szablon:LinkWzór, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Tensor naprężeń σSzablon:Sub możemy rozłożyć na sumę tensorów pochodzącej od ciśnienia, a także od sił pochodzących od tarcia wewnętrznego, zapis tego równania w postaci tensorowej jest: Szablon:CentrujWzór Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego, to tensor RSzablon:Sub jest tożsamościowo równy zero, zatem ten nasz wniosek możemy wykorzystać do punktu Szablon:LinkWzór, w ten sposób dostajemy niestępujący wniosek jako równanie różniczkowe o charakterze wektorowym: Szablon:CentrujWzór

Moment sił w dynamice materiałów

Wzór Szablon:LinkWzór, który napisany dla współrzędnej i-tej, który jakoby charakteryzuje pewien wektor o trzech elementach i ten wektor mnożymy obustronnie przez wektor wodzący danego punktu w przestrzeni lewostronnie: Szablon:CentrujWzór Wykorzystując definicję momentu sił MSzablon:Sub i przekształcając dalej równość zapisaną w punkcie Szablon:LinkWzór za pomocą prawa o pochodnej iloczynu, wtedy możemy napisać tożsamość wedle sposobu: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy teraz trzeci wyraz występujący we wzorze przy wykorzystaniu z własności tensora Leviego-Civity i przekonamy się później, że ten wyraz jest zawsze równy zero, co można pokazać w sposób: Szablon:CentrujWzór Wyrażenie zapisane w punkcie Szablon:LinkWzór jest tożsamościowo równe zero, co wynika z tego, że tensor Szablon:Formuła jest tensorem symetrycznym, wtedy równość Szablon:LinkWzór jest równa wyrażeniu: Szablon:CentrujWzór

Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów

Równość Szablon:LinkWzór wymnażamy przez współrzędną prędkości vSzablon:Sub, w ten sposób otrzymujemy równanie, która jest równaniem wejściowym, z którego będziemy wyprowadzać dalsze wywody: Szablon:CentrujWzór Wykorzystując twierdzenie o lokalnej zasadzie zachowania masy Szablon:LinkWzór i korzystając z twierdzenia o pochodnej iloczynu, mamy: Szablon:CentrujWzór Z twierdzenia o pochodnej iloczynu możemy przekształcić pierwszy wyraz znajdujący się po prawej stronie Szablon:LinkWzór, co po tej czynności otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Obliczenia wynikłe z obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy podstawić do równania Szablon:LinkWzór, zatem po dokonaniu tejże operacji otrzymany wzór możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Wektor, który jest drugim wyrazem pod pochodną różniczkowania względem współrzędnej j-tej położenia danego punktu w przestrzeni nazywamy wektorem Poyntinga, jego definicję piszemy: Szablon:CentrujWzór Gęstość siły możemy powiązać z potencjałem objętościowym, tzn. potencjałem przypadającego na jednostkę objętości i gęstości ciała, którą definiujemy jako pochodną cząstkową potencjału U względem współrzędnej i-tej wektora położenia, i całość piszemy z minusem, stąd jego definicja: Szablon:CentrujWzór Wtedy na podstawie tożsamości Szablon:LinkWzór możemy rozpisać drugi wyraz prawej strony równości Szablon:LinkWzór, mamy: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń przeprowadzonej w punkcie Szablon:LinkWzór, którego wynik możemy wstawić do Szablon:LinkWzór i grupując odpowiednio wyrazy w nim występujące: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy teraz pracę wykonaną nad ciałem zdeformowanym przez siły napięcia PSzablon:Sub podczas zniekształcenia danego ciała, w którym dla danego punktu zniekształcenie jest opisane: Szablon:CentrujWzór I wykorzystując fakt, że siły napięć PSzablon:Sub są wyrażone przez tensor napięcia σSzablon:Sub Szablon:LinkWzór, zatem praca wykonana przez siły naprężeń nad całym ciałem jest napisana: Szablon:CentrujWzór Jeśli wykorzystamy fakt, że tensor σSzablon:Sub jest tensorem symetrycznym, ze względu na przestawienie dolnych wskaźników, zatem wykorzystując, że tensor deformacji jest zdefiniowany wzorem Szablon:LinkWzór, to wtedy dla stanu równowagi zachodzi σSzablon:Sub, wtedy możemy dokonać obliczenia: Szablon:CentrujWzór Praca wykonana nad układem przez siły napięć Szablon:LinkWzór możemy napisać na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie Szablon:LinkWzór jako całkę objętościową deformowanego ciała, co piszemy: Szablon:CentrujWzór Wprowadźmy teraz funkcję Φ, którego pochodną cząstkową względem czasu, wykorzystując przy tym fakt Szablon:LinkWzór, a także z symetryczności tensora σSzablon:Sub, piszemy: Szablon:CentrujWzór Wykorzystując obliczenia napisane w punkcie Szablon:LinkWzór, to wzór Szablon:LinkWzór możemy przepisać: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór możemy w taki w sposób przekształcić, by wszystkie pochodne czasowe przestawić w postaci jednego wyrazu wiedząc, że Szablon:Formuła (bo udowodnilśmy, że zachodzi przybliżona równość: Szablon:LinkWzór (wzór w następniku implikacji)), a także przyjmując, że deformacje odkształceń Szablon:Formuła są małe, a więc je można pominąć, wtedy dochodzimy do wniosku: Szablon:CentrujWzór Możemy przecałkować obustronnie wyrażenie Szablon:LinkWzór wykorzystując definicję całki objętościowej, w ten sposób druga całka z lewej strony w tak otrzymanym wyrażeniu jako całkowanie po objętości zamieniamy na całkowanie po powierzchni znajdującej się poza ciałem, wtedy to nasza całka jest równa zero, bo wtedy tensor napięć i gęstość ciała znikają poza ciałem, a także wyraz określający przesunięcia względem starego położenia sSzablon:Sub nie zmienia się poza ciałem, mamy: Szablon:CentrujWzór Wyrażenie Szablon:LinkWzór przestawia zasadę zachowania energii, w której energia kinetyczna i potencjalną przestawiamy jako pewne całki, w której wzór na energię kinetyczną jest to po prostu całka po energiach kinetycznych bardzo małych elementów podzielonej przez ten element objętości, to wyrażenie jest całkowane względem objętości. Te energie energię kinetyczną T i potencjalną U wyrażamy: Szablon:ElastycznyWiersz A całkowita energia jest wyrażona wzorem poniżej, który przy definicji energii kinetycznej Szablon:LinkWzór i potencjalnej Szablon:LinkWzór jest wielkością stałą na podstawie równości różniczkowej Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Weźmy następnie funkcję ciśnienia, której definicja jest całką z odwrotności funkcji gęstości ρ(p) i całkowaną względem ciśnienia: Szablon:CentrujWzór Wtedy możemy policzyć pochodną cząstkową funkcji ciśnienia Szablon:Formuła względem współrzędnej j-tej, i wykorzystując przy tym fakt, że zachodzi Szablon:LinkWzór, dostajemy: Szablon:CentrujWzór Dalej policzmy wyrażenie przy wykorzystaniu prawa ciągłości, podanej w punkcie Szablon:LinkWzór i pochodnej funkcji Szablon:LinkWzór względem współrzędnej j-tej, piszemy: Szablon:CentrujWzór Jeśli dodatkowo zauważymy, że przy wykorzystaniu wzoru na wielkość Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, której definicja dla ściśle określonego punktu jest iloczynem gęstości objętościowej i pochodnej cząstkowej funkcji Szablon:LinkWzór względem czasu i dokonując pewnych przekształceń poniżej, dostajemy końcowy wniosek, że ona jest pochodną cząstkową ciśnienia względem czasu: Szablon:CentrujWzór Pochodną cząstkowa tensora napięć zdefiniowanego w punkcie poprzez ciśnienie i tensor tarcia napiszemy względem jego części ciśnieniowej poprzez Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Mając ostateczny wzór Szablon:LinkWzór i definicję tensora napięć Szablon:LinkWzór, zatem możemy napisać równość wynikająca z Szablon:LinkWzór dla sił potencjalnych, a zarazem konserwatywnych: Szablon:CentrujWzór Lewa strona wzoru Szablon:LinkWzór opisuje dyssypację energii i przestawia zmianę energii mechanicznej ciała zdeformowanego na ciepło.