Mechanika teoretyczna/Teoria ciała sztywnego i giroskopu

Kinematyka ciała doskonale sztywnego

Obrót pewnego ciała o kąt jest opisywany przez takie wielkości, którym jest wektorem kąta obrotu prostopadłego do płaszczyzny tego obrotu, a jego prędkość kątowa obrotu, która w zamierzeniu jest prostopadła do płaszczyzny tego obrotu ma zwrot ma taki, że jeśli dana bryła obraca się niezgodnie ze wskazówkami zegara, to zwrot jest do góry względem naszej płaszczyzny, w przypadku przeciwnym zwrot jest przeciwny. Weźmy sobie pewne dwie osie obrotu, względem których następuje obrót, zatem prędkości wektorowe danego punktu bryły sztywnej poruszającej się wokół osi pierwszej lub drugiej naszej bryły sztywnej są określane: Szablon:ElastycznyWiersz Wektory wodzące względem nowej osi pewnego punktu jest opisana przez wektor wodzący względem starej osi i jego definicja jest: Szablon:CentrujWzór Wektory prędkości Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór przestawiają tą samą prędkość, a także wykorzystując fakt transformacji położenia osi starej względem nowej: Szablon:CentrujWzór Porównując obie strony równości Szablon:LinkWzór dochodzimy do wniosku, że jeśli prędkość kątowa danego punktu względem jednej osi wynosi Szablon:Formuła, to względem drugiej jest wielkością taką samą, co wynika ze wspomnianego wzorze dla dowolności Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Biorąc tożsamość Szablon:LinkWzór do wzoru Szablon:LinkWzór, wtedy możemy napisać równość na prędkość danego punktu ciała sztywnego względem drugiej osi znając prędkość ciała względem pierwszej osi i prędkość ruchu postępowego osi drugiej względem osi pierwszej: Szablon:CentrujWzór Sprawdźmy jakie jest złożenie obrotów powstały przy obrocie pierwszym z prędkością kątowa obrotu Szablon:Formuła, i przy obrocie drugim z prędkością kątowej obrotu: Szablon:Formuła, co można napisać najpierw wykonując pierwszy obrót, a potem drugi, wtedy przesunięcia powstałe w wyniku tychże dwóch obrotów jest napisane: Szablon:ElastycznyWiersz Suma dwóch obrotów, które są obrotami z różnymi prędkościami kołowymi obrotów, to w ten sposób z dokładnością do wyższych rzędów, jest przestawiana: Szablon:CentrujWzór

Kąty Eulera

Ruch obrotowy ciała sztywnego może być opisany w nowym układzie współrzędnych (x',y'.z';), który można przejść z układu (x,y,z) do wspomnianego układu za pomocą kątów (φ,ψ,θ), zatem aby stworzyć kąty Eulera, a na je podstawie prędkości obrotów, należy wykonać czynności.

• Pierwszą czynnością jest obrót osi z o kąt θ w płaszczyźnie z=0, i z'=0, rozważana prędkość jest prostopadła do naszej płaszczyzny, jest ona skierowana wzdłuż osi "w":

• Obrót wokół osi z, jego prędkość kątowa jest opisana:

• I na samym końcu dokonajmy obrotu wokół osi z':

Szablon:CentrujWzór Całkowita prędkość kątowa obrotu całego układu (osi współrzędnych) jest określana przez: Szablon:CentrujWzór W powyższym wzorze Szablon:LinkWzór występują współrzędne (p,q,r), ich definicje na podstawie Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są: Szablon:ElastycznyWiersz Równania Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór nazywamy kinematycznymi równaniami Eulera .

Tensor momentu bezwładności bryły sztywnej

Prędkość danego punktu bryły sztywnej określamy jako sumę ruchu postępowego i obrotowego, czyli wzorem Szablon:LinkWzór. Wtedy podwojona energia kinetyczna ciała obracająca się, dla której oś obrotu porusza się z prędkością Szablon:Formuła, przestawiamy: Szablon:CentrujWzór Ostatni wyraz występujący się w punkcie jest wielkością zerową, bo zakładamy, że środek masy znajduje się w punkcie zerowym na osi układu, co wynika z definicji położenia środka masy Szablon:LinkWzór, zatem dostajemy, że energia kinetyczna ruchu ciała jest suma energii środka masy i ruchu obrotowego (rotacyjnego), co wzór Szablon:LinkWzór przestawiamy przy wcześniejszych rozważaniach: Szablon:CentrujWzór Bardzo ważną tożsamością jest tożsamość opisana wzorem Szablon:LinkWzór, z którego to skorzystamy przy obliczeniach nad energią kinetyczną ruchu rotacyjnego: Szablon:CentrujWzór Napiszmy inne wyprowadzenie wzoru na moment pędu za pomocą momentu bezwładności i prędkości kątowej: Szablon:CentrujWzór Moment pędu zdefiniujmy jako iloczyn tensora momentu pędu i wektora prędkości katowej, a energię kinetyczną definiujemy jako wektor transponowany wektora prędkości kątowej przez wektor momentu pędu, i co wszystko definiujemy wiedząc, że Szablon:Formuła: Szablon:ElastycznyWiersz Gdzie macierz Szablon:Formuła jest zdefiniowana wzorem poniżej, którego to wykorzystaliśmy do wyznaczania momentu pędu Szablon:LinkWzór i energii kinetycznej ruchu obrotowego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Tensor czy macierz Szablon:LinkWzór nazywamy tensorowym momentem bezwładności.

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego według funkcji Lagrange'a

Z zasady Lagrange'a drugiego rozdzaju Szablon:LinkWzór możemy wyprowadzić drugie prawo dynamiki dla ruchu obrotowego Szablon:LinkWzór, dla którego punktem wyjścia jest równanie Lagrange'a: Szablon:CentrujWzór Lagrangian ruchu obrotowego możemy przestawić jako różnicę energii kinetycznej rotacyjnej Szablon:LinkWzór i energii potencjalnej bryły sztywnej, zatem pochodna cząstkowa lagrangianu L względem współrzędnej prędkości kątowej przestawiamy poprzez: Szablon:CentrujWzór Energia potencjalna podczas nieskończenie małego obrotu Szablon:Formuła zmienia się o wartość określoną przez wzór poniżej, i w tej samej linijce określimy moment siły przez pochodną cząstkową Lagrangianu względem kata Szablon:Formuła. Szablon:CentrujWzór Możemy podstawić końcowe wzory moment sił Szablon:LinkWzór na moment sił i wzoru na moment pędu Szablon:LinkWzór do wzoru Lagrange'a Szablon:LinkWzór, wtedy otrzymamy wzór na drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego, którą określamy: Szablon:CentrujWzór

Diagonalizacja tensora momentu bezwładności

Patrząc na wzór Szablon:LinkWzór, który jest energią kinetyczną bryły sztywnej w ruchu obrotowym, w której zdefiniujemy wektor Szablon:Formuła, wtedy można napisać: Szablon:CentrujWzór Momentem bezwładności ciała I nazywamy moment bezwładności, który jest ilorazem podwojonej energii całkowitej rotacyjnej przez kwadrat prędkości kątowej , który to zapisujemy na podstawie tożsamości Szablon:LinkWzór, co w którym wprowadzimy jednocześnie oznaczenie Szablon:Formuła, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Końcowy wzór wynikowy zapisanej w punkcie Szablon:LinkWzór przestawia elipsoidę obrotową w trójwymiarowym układzie współrzędnych, wtedy możemy obrać pewne kąty (θ,φ,ψ), w których to w nowym układzie współrzędnych tensor bezwładności pozostaje tensorem diagonalnym, którego schemat w układzie własnym bryły sztywnej przestawiamy: Szablon:CentrujWzór Wzór na całkowitą energie w ruchu obrotowym ciała w jego układzie własnym, w którym obowiązuje macierz tensora bezwładności Szablon:LinkWzór, przestawiamy: Szablon:CentrujWzór Wielkości A,B, C nazywamy głównymi momentami bezwładności ciała. Moment pędu w układzie własnym bryły sztywnej określamy: Szablon:CentrujWzór

Dynamiczne równania Eulera

Wykorzystując równanie opisujące drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego Szablon:LinkWzór i wykorzystując, że pochodna dowolnego wektora obracającego się układu współrzędnych jest opisana wzorem Szablon:LinkWzór, wtedy wzór opisujących dynamikę układu współrzędnych piszemy: Szablon:CentrujWzór Jeśli dodatkowo zauważymy, że zachodzi Szablon:Formuła, a także biorąc jeszcze jeden fakt powiedziany punkcie Szablon:LinkWzór, zatem na podstawie tego możemy powiedzieć Szablon:LinkWzór, jako: Szablon:ElastycznyWiersz Równania Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są to dynamiczne równania Eulera.

Ruch bryły sztywnej wokół swobodnej osi

Tutaj będziemy rozpatrywać ruch bryły sztywnej, na które nań nie działają żadne momenty sił i zakładając przy tym, że prędkość kątowa jest stała, jeśli prędkości kątowe względem czasu, tzn., pochodne zupełne wielkości p,q,r nie zmieniają się wcale, to na podstawie tego można napisać równość: Szablon:CentrujWzór Powyższa równość przy różnych od siebie parametrach A, B, muszą być dwie wartości równe zero z trzech z wielkości p,q i r , co kończą się nasze rozważania na ten temat.

Rozpatrzmy teraz inny przypadek, w której prędkość kątowa p=pSzablon:Sub jest w przybliżeniu wielkością stałą, zaś funkcje q i r są bardzo małe, i z warunku nie działania momentów sił na nasz układ na podstawie tego wniosku możemy powiedzieć: Szablon:ElastycznyWiersz Równanie Szablon:LinkWzór na podstawie naszych rozważań jest tożsamościowo równe zero, zatem rozpatrzmy teraz dwa równania, tzn. równania Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, zatem różniczkując równanie Szablon:LinkWzór i podstawiając do równości Szablon:LinkWzór, wtedy otrzymujemy pierwsze równanie na r, podobnie robimy to samo dla równania, z którego wyznaczać będziemy q, wtedy dostajemy dwie równości: Szablon:ElastycznyWiersz Rozwiązaniem równań Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są równania określone jako: Szablon:ElastycznyWiersz Gdy w rozwiązaniu Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór będziemy mieli takie H, by zachodziło H>0, co zachodzi na podstawie Szablon:LinkWzór dla przypadków A>C i A>B lub A<C i A<B, to wtedy te nasze dwa rozwiązania są równaniami oscylatora harmonicznego, natomiast gdy A>C i A<B lub A<C i A>B, to orbita po której porusza się nasza bryła sztywna jest orbitą niestabilną.

Ruch bez udziału sił giroskopu symetrycznego

Załóżmy, że mamy do czynienia z giroskopem symetrycznym, dla którego zachodzi A=B i oś x' niech będzie osią symetrii, nasz giroskop znajduje się w polu sił ciężkości, nasz giroskop jest podparty w środku masy.

Na podstawie definicji środka masy Szablon:LinkWzór środek masy znajduje się w położeniu zerowym, tzn. jego moment siły tej siły ciężkości jest równy zero, czyli: Szablon:CentrujWzór Równania ruchu giroskopu, czyli równania Eulera dla naszego przypadku piszemy: Szablon:ElastycznyWiersz Ż równania Szablon:LinkWzór otrzymujemy natychmiast, że r=rSzablon:Sub=const, zatem naszymi równaniami ruchu są to dwa pierwsze powyższe równania, ale z warunku stałości r możemy otrzymać warunki na ruch giroskopu: Szablon:ElastycznyWiersz Szablon:Rysunek Równanie Szablon:LinkWzór możemy zróżniczkować względem czasu i wtedy równanie Szablon:LinkWzór podstawiamy do niego i w ten sposób otrzymujemy równanie drugiego stopnia, podobnie otrzymujemy inne równanie, które to Szablon:LinkWzór różniczkujemy względem czasu i podstawiamy do niego równość Szablon:LinkWzór i w ten sposób otrzymujemy drugie równanie, zatem te nasze dwa równania piszemy: Szablon:ElastycznyWiersz Rozważamy układu równań, tzn. Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, które są równaniami ruchu, z których wynikają rozwiązania harmoniczne: Szablon:ElastycznyWiersz Prędkość kątowa giroskopu symetrycznego, wykorzystując przy tym rozwiązania Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, jest równa wartości: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór rzut wektora Szablon:Formuła zakreśla okrąg o promieniu na płaszczyźnie (x',y'), którego kąt rozwarcia jest napisany: Szablon:CentrujWzór Aby napisać dalszy tok obliczeń należy wykorzystać kinematyczne równanie Eulera Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, wtedy wyznaczone prędkości kątowe p, q, r według wzorów Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Wybierzmy sobie teraz taki kierunek, w której wektor momentu pędu jest równoległy do osi zetowej, zatem współrzędne wektora momentu pędu we współrzędnych (x',y',z') piszemy wedle schematów poniżej: Szablon:CentrujWzór Jeśli weżniemy teraz wzór na moment pędu, dla macierzy bezwładności, w której występują diagonalne elementy tejże macierzy, zatem moment pędu liczonej wedle wzoru Szablon:LinkWzór przestawiamy jako: Szablon:CentrujWzór Patrząc na ostatni wzór występujący w układzie równań Szablon:LinkWzór, wtedy dochodzimy do wniosku, że stałymi wielkościami są Szablon:Formuła, a także Szablon:Formuła. Biorąc powyższe uwagi dla układ równań Szablon:LinkWzór, wtedy dostajemy inny układ równań: Szablon:CentrujWzór Z równania pierwszego i drugiego układu równań Szablon:LinkWzór od razu wynika dla dowolności zmiennej "t" związek na zmienną kątową ψ w zależności od zmiennej kątowej Φ i czasu, a także tożsamość na pochodną zmiennej kątowej φ: Szablon:ElastycznyWiersz Ż równości końcowej i wynikowej Szablon:LinkWzór od razu wynika, że zachodzi warunek na Szablon:Formuła, z którego wzór w zależności od "t" przestawiamy w sposób liniowy od czasu: Szablon:CentrujWzór Z końcowego układu równań dla ostatniego równania Szablon:LinkWzór i wniosku Szablon:LinkWzór, a także Szablon:LinkWzór i z definicji R Szablon:LinkWzór wynika tożsamość na tangens kąta początkowego w chwili początkowej θSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Z rozważań wynikłych z udowodnionych tożsamości Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i na samym końcu z Szablon:LinkWzór wynikają trzy równania ruchu, które przestawiamy układem równań: Szablon:ElastycznyWiersz Powyższe obliczenia przestawiają ciało, którego oś obrotu porusza się z pewną prędkością kątową wokół osi zetowej, a nasze ciało okrąża daną poruszającą się oś z prędkością kątową ω.

Giroskop symetryczny szybko poruszający się w polu grawitacyjnym

Rozpatrzmy giroskop szybko poruszający się, którego tensor moment bezwładności jest macierzą diagonalną, zatem w takim przypadku energia rotacyjna jest wyrażona wzorem Szablon:LinkWzór , który to lagrangian takiego ciała sztywnego, przy wykorzystaniu wzorów według Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, jest przestawiany jako: Szablon:CentrujWzór Według warunku zapisanego w punkcie Szablon:LinkWzór dla Lagrangianu nasza energia nie zależy od czasu, wtedy całkowita energia układu pozostaje w czasie stała, a Lagrangian Szablon:LinkWzór też nie zależy od czasu: Szablon:CentrujWzór Dodatkowo zauważamy, że pochodne Lagrangianu Szablon:LinkWzór w względem współrzędnych Szablon:Formuła i Szablon:Formuła przyjmuje wartość zawsze zero, zatem te współrzędne są to współrzędne cykliczne, zatem dwie wielkości, które podamy poniżej, przyjmują wartość zero: Szablon:ElastycznyWiersz Do wzoru napisanego w punkcie Szablon:LinkWzór możemy podstawić wzór Szablon:LinkWzór, wtedy otrzymujemy równość: Szablon:CentrujWzór I ostatecznie wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór podstawiamy do wzoru na energie całkowitą mechaniczną Szablon:LinkWzór, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Określmy teraz warunki brzegowe, które to piszemy wedle schematów: Szablon:ElastycznyWiersz Wykorzystując warunki Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór i na samym końcu wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, wtedy stałe α i β i całkowita energia rozważanego układu Szablon:LinkWzór przyjmują wartości: Szablon:ElastycznyWiersz Do równanie Szablon:LinkWzór możemy dokonać podstawienia za θ, która jest zależna od kąta θ i od kata χ: Szablon:CentrujWzór W tak powstałym wyrażeniu na E Szablon:LinkWzór zakładamy, że mamy do czynienia z małymi katami (wtedy zachodzi sinχ≈χ), wtedy to równanie możemy przepisać przy warunku brzegowym Szablon:LinkWzór do postaci: Szablon:CentrujWzór W równości Szablon:LinkWzór różniczkujemy obie jego strony, i w ten sposób dostajemy równanie różniczkowe wynikające z powyższego: Szablon:CentrujWzór W równaniu Szablon:LinkWzór widzimy, że występuje w nim pewna stała występująca w równaniu, czyli Mgs, którą to uwzględnimy w jego rozwiązaniu: Szablon:CentrujWzór Możemy dalej wykorzystać warunki brzegowe Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, a także tożsamości między kątem θ, a χ Szablon:LinkWzór, w ten sposób dla t=0 przy równaniu różniczkowym Szablon:LinkWzór dla jego rozwiązania Szablon:LinkWzór przy jego warunkach brzegowych, tzn. sama funkcja i jej pochodna, przyjmujących kształt: Szablon:ElastycznyWiersz Na podstawie warunków brzegowych Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór i podstawienia Szablon:LinkWzór możemy napisać rozwiązanie na kąt θ, który to całkowite równanie na rozwiązania θ możemy przepisać w postaci: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że według równania Szablon:LinkWzór następuje kiwanie bryły sztywnej wokół kąta Szablon:Formuła, który określamy przez Szablon:Formuła. Załóżmy, że teraz mamy równość Szablon:LinkWzór, którego sinus jest zawsze bliski jedności, zatem na podstawie tego dla małych odchyleń od katą Szablon:Formuła możemy powiedzieć, że zachodzi poniższa równość na sinus kąta θ: Szablon:CentrujWzór Jeśli wykorzystamy wzór na kąt θ według wzoru Szablon:LinkWzór dla przybliżenia małych kątów, to jego kosinus: Szablon:CentrujWzór Mając warunek Szablon:LinkWzór napiszmy czemu są równe wyrażenia na stałą α Szablon:LinkWzór oraz β Szablon:LinkWzór: Szablon:ElastycznyWiersz Wykorzystując równość Szablon:LinkWzór, z której możemy policzyć pochodną wielkości φ względem czasu, by potem wyznaczyć samą tą wielkość: Szablon:CentrujWzór Patrząc na wzór Szablon:LinkWzór możemy powiedzieć, że oś symetrii giroskopu zatacza koło na płaszczyźnie (x,y) w przybliżeniu prędkością kątową Szablon:Formuła, ten ruch nazywamy precesją , a niewielkie jego odchylenia noszą nazwę nutacjami . Na sam koniec rozważmy tożsamość na β, czyli: Szablon:CentrujWzór

Bąk całkowicie asymetryczny

Obierzmy sobie bąk, który posiada tylko diagonalne elementy tensora momentu pędu, a relacja między tymi składowymi jak można założyć jest A>B>C. Równości na całkowitą energię i moment pędu bąka możemy przestawić poprzez równania: Szablon:CentrujWzór Równości Szablon:LinkWzór możemy przestawić poprzez definicje składowych momentu pędu przestawionych według wzoru Szablon:LinkWzór zdefiniowanej poprzez definicję elementów zdiagnozalizowanego tensora momentu bezwładności Szablon:LinkWzór i trzech prędkości kątowych (p,q,r) bąka asymetrycznego: Szablon:CentrujWzór Elipsoida obrodowa pierwszego równania Szablon:LinkWzór ma półosie elipsoidy o następujących wartościach:Szablon:Formuła, Szablon:Formuła,Szablon:Formuła. Z równań Szablon:LinkWzór możemy napisać inny wynikający wniosek na kwadrat całkowitego momentu pędu bąka KSzablon:Sup, znając A i C, a także całkowitą jego energię E: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy teraz kwadraty zmiennych "p' i "r" z układu równań Szablon:LinkWzór w zależności od kwadratu prędkości katowej q. Aby wyznaczyć pSzablon:Sup w zależności od zmiennej qSzablon:Sup należy pierwsze równanie pomnożyć przez C i odejmujemy je od siebie, stąd możemy wyznaczyć poszukiwaną zależność: Szablon:CentrujWzór By wyznaczyć równość na zmienną rSzablon:Sup w zależności od zmiennej qSzablon:Sup należy pierwszą równość Szablon:LinkWzór pomożyć przez A i tak otrzymany układ równań odejmujemy je od siebie, stąd możemy wyznaczyć poszukiwaną zależność: Szablon:CentrujWzór Skorzystamy z równości Szablon:LinkWzór, by podstawić do niego wzory wynikłe z Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór, co potem otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Aby znaleźć funkcję q od t, należy zdefiniować wzory na τ (który przestawimy w zależności od zmiennej t), i s (który przestawimy w zależności od zmiennej t), które oba te podstawienia będą zależeć od diagonalnych elementów zdiagonalizowanej macierzy bezwładności, tzn. A,B,C, a także od całkowitej energii bąka asymetrycznego E i jego wartości całkowitego momentu pędu K, czyli należy dokonać podstawień: Szablon:ElastycznyWiersz a także dodatni parametr kSzablon:Sup<1, który zależy od tych samych parametrów co zmienne τ i "s". Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy teraz pochodną funkcji "s" Szablon:LinkWzór względem τ Szablon:LinkWzór, przy zdefiniowanym parametrze kSzablon:Sup Szablon:LinkWzór i przy istniejącym wzorze Szablon:LinkWzór, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Równość końcowa uzyskana z równania Szablon:LinkWzór możemy przestawić w postaci całki τ zależnej od zmiennej s przy parametrze kSzablon:Sup zdefiniowanej w punkcie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Szukana funkcja jest to odwrotność do funkcji uzyskanej z postaci jej wersji całkowej Szablon:LinkWzór, wiemy jednak, że ta zależność jest jedną z funkcji eliptycznych Jacobiego. Szablon:CentrujWzór Jak widzimy na podstawie przestawienia całki na τ Szablon:LinkWzór wartość bezwzględna parametru s jest mniejsza niż jeden, bo tylko wtedy funkcja podcałkowa ma sens. Definicje innych funkcji Jacobiego opartych o funkcje eliptyczne s=snτ Szablon:LinkWzór i o definicję parametru kSzablon:Sup Szablon:LinkWzór (o ten współczynnik jest oparty dnτ) są to funkcje zdefiniowane jako: Szablon:ElastycznyWiersz Prędkość kątową q możemy policzyć ze wzoru Szablon:LinkWzór przy wykorzystaniu funkcji eliptycznej Szablon:LinkWzór, która τ jest zależna liniowo od czasu według podstawienia Szablon:LinkWzór, zatem funkcja q jest zależna od czasu: Szablon:CentrujWzór Dalszym krokiem jest wyliczenie kwadratu prędkości kątowej pSzablon:Sup ze wzoru Szablon:LinkWzór wykorzystując definicję funkcji eliptycznej cnτ Szablon:LinkWzór, której τ jest zależna liniowo od czasu według podstawienia Szablon:LinkWzór, zatem funkcja p jest zależna od czasu: Szablon:CentrujWzór Dalszym krokiem jest wyliczenie prędkości kątowych rSzablon:Sup ze wzoru Szablon:LinkWzór wykorzystując definicję funkcji eliptycznej dnτ Szablon:LinkWzór, której τ jest zależna liniowo od czasu według podstawienia Szablon:LinkWzór, zatem funkcja r jest zależna od czasu: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór wyznaczymy wartości prędkości kątowych p i r, które są zależne od funkcji eliptycznych cnτ Szablon:LinkWzór, i dnτ Szablon:LinkWzór, których to zmienna τ jest zależna liniowo od czasu wedle Szablon:LinkWzór: Szablon:ElastycznyWiersz Jak widzimy na podstawie całki Szablon:LinkWzór, gdy kSzablon:Sup→0, wtedy dwie pierwsze funkcji eliptyczne przechodzą w funkcje trygonometryczne, a ostatnia dąży do jedynki, tzn. snτ→sinτ, cnτ→cosτ, dnτ→1. Mając poszczególne składowe momentu pędu Szablon:LinkWzór, a także składowe momentu pędu poprzez ich prędkości kątowe Szablon:LinkWzór, wtedy możemy je napisać w związkach: Szablon:CentrujWzór Z trzeciego równania Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć cosθ, a dzieląc równość pierwszą przez drugą otrzymamy równość na tgψ. Wykorzystując związki Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy napisać związki na cosθ i tgθ w zależności od τ i elementów bezwładności zdiagonalizowanej macierzy bezwładności, a także od całkowitej energii E i momentu pędu bąka K: Szablon:ElastycznyWiersz Pozostało jeszcze nam obliczyć kąt φ, w tym celu wyznaczmy go z dwóch tożsamości Szablon:LinkWzór (który mnożymy obustronnie przez sinθ), i Szablon:LinkWzór (który mnożymy przez cosφ), wtedy w ostatecznych rozrachunkach: Szablon:CentrujWzór By otrzymać tożsamość na związek φ w zależności od czasu "t" należy równość Szablon:LinkWzór obustronnie scałkować względem czasu, bo p i q są zależne od funkcji eliptycznych, które natomiast zależą od τ, a to pośrednio według wzoru Szablon:LinkWzór od czasu, a więc całka po prawej stronie jest w sensie stricto zapisana względem czasu.