Mechanika kwantowa/Wprowadzenie do interpretacji fizycznych operatorów

Z testwiki
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Szablon:SkomplikowanaStronaStart

Zasada superpozycji stanów

Naszym punktem wyjścia będzie równanie własne operatora Szablon:Formuła, który przedstawiamy wedle przepisu: Szablon:CentrujWzór Rozwiązaniem tego równania są wektory własne ortogonalne do siebie do delty Diraca lub Kroneckera. Ze względu na zupełność bazy, dowolny stan funkcji Szablon:Formuła, można przedstawić jak kombinację wektorów bazy Szablon:Formuła, które są rozwiązaniami równania własnego Szablon:LinkWzór przy współczynnikach rozwinięcia Szablon:Formuła wedle sposobu: Szablon:CentrujWzór Jeśli funkcja stanu jest sumą dwóch wektorów prostopadłych do siebie, to funkcję własną tego stanu piszemy: Szablon:CentrujWzór Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym punkcie jest opisany przez kwadrat modułu funkcji stanu Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór W równaniu Szablon:LinkWzór występuje człon interferencyjny, tzn. Szablon:CentrujWzór który nijak nie ma się do doświadczenia. Np. jeśli detektor, który obserwuje z gęstością prawdopodobieństwa Szablon:Formuła, lub Szablon:Formuła, i dodatkowo mamy dużo fotonów, i jeśli pierwszy detektor wykrył Szablon:Formuła fotonów z pierwszym prawdopodobieństwem w szczelinie 1, a drugi detektor Szablon:Formuła w drugiej szczelinie z drugim prawdopodobieństwem, to gęstość znalezienia fotonu jest równa wyrażeniu z teorii prawdopodobieństwa: Szablon:CentrujWzór Widzimy, na podstawie naszych rozważań, że w doświadczeniu układ wybiera pewne funkcje będące wektorami bazy, które są rozwiązaniami równania własnego Szablon:LinkWzór, a więc też on wybiera wartości własne odpowiadające tym ściśle określonym wektorom bazy. Tzn. Jeśli w wyniku doświadczenia została wybrana funkcja własna Szablon:Formuła, to zmierzyliśmy obserwable o wartości Szablon:Formuła, czyli ta funkcja własna odpowiada temu wektorowi ściśle określonemu.

Zespoły czyste i mieszane

Rozważmy dwie szczeliny, przez który mogą przechodzić fotony, to takim stanom, należy przyporządkować funkcje: Szablon:ElastycznyWiersz Gęstość uderzenia cząstki w detektor jest równa kwadratowi modułu, który w tym obiekcie funkcja podmodułowa jest sumą funkcji Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór wyrażona przez: Szablon:CentrujWzór Gęstości prawdopodobieństwa wykrycia cząstki w przeciwieństwie do wzoru Szablon:LinkWzór jest to gęstość zaobserwowania fotonu przez detektor jest napisana w sposób: Szablon:CentrujWzór Pierwszy wzór dopuszcza superpozycję a drugi nie. Ale jak wiadomo z doświadczenia, drugi wzór realizuje doświadczenie, czyli Szablon:LinkWzór, a nie Szablon:LinkWzór. Jeśli mamy funkcje własne Szablon:Formuła, które są rozwiązaniami określonego równania własnego i które są niezależnymi funkcjami bazy n-wymiarowej, to można dokonać superpozycji tych stanów ze współczynnikami rozwinięcia Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór A więc gęstość znalezienia cząstki, uderzenia elektronu w dany punkt jest równa kwadratowi modułu z funkcji własnej będących kombinacją n-wymiarową bazy i jest przedstawiona wzorem: Szablon:CentrujWzór A prawdopodobieństwo wykrycia przez detektor redukuje się do gęstości prawdopodobieństwa Szablon:Formuła jako wyboru jednej funkcji z bazy Szablon:Formuła. Funkcje Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, czy też Szablon:LinkWzór, opsiują stany mieszane (gdzie występują gęstości prawdopodobieństwa), a Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór opisują stany czyste (gdzie występują aplitudy).

Obrazy według Schrödingera i Heisenberga

Rozważmy równanie zależne od czasu równanie Schrödingera, która wprowadza zależność od czasu funkcji falowej, który jest rozwiązaniem równania własnego Szablon:LinkWzór, gdy mamy przedstawienie funkcji falowej rozwiązania niezależnego od czasu Szablon:LinkWzór i te dwie funkcje można ze sobą połączyć używając operatora ewolucji Szablon:LinkWzór a tą operację przedstawiamy przy pomocy wzoru Szablon:LinkWzór, co tutaj przepiszemy w postaci: Szablon:CentrujWzór Lub odwrotną zależność do Szablon:LinkWzór, gdy mamy funkcję Szablon:Formuła (która jest rozwiązaniem równania falowego zależnego czasu), to będziemy mogli wyznaczyć funkcję niezależną od czasu Szablon:Formuła (która jest rozwiązaniem równania falowego niezależnego od czasu): Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy elementy macierzowe operatora Szablon:Formuła Schrödingera względem funkcji falowych zależnych od czasu przedstawionym wzorem Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

W powyższym wzorze wprowadzono oznaczenie, które nazwiemy operatorem Heisenberga Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Według wzoru Szablon:LinkWzór przedstawia on elementy macierzowe operatora Szablon:Formuła względem funkcji własnych niezależnych od czasu równania własnego falowego niezależnego od czasu.

Wprowadzamy Szablon:Formuła oraz Szablon:Formuła, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór

Operator Szablon:Formuła jest operatorem unitarnym, ponieważ zachodzi warunek dla tych operatorów w postaci Szablon:LinkWzór, a jego dowód jest: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy element macierzowy operatora Szablon:Formuła względem funkcji falowych Heisenberga, które są rozwiązaniami równania falowego niezależnego od czasu, korzystając przy tym, że operator energii jest operatorem hermitowskim: Szablon:CentrujWzór Ponieważ zachodzi na podstawie Szablon:LinkWzór, to można rozpisać działanie operatora ewolucji na funkcję falową Heisenberga: Szablon:CentrujWzór A zatem równanie Szablon:LinkWzór na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że elementy macierzowe operatora Heisenberga są wyrażone przy pomocy operatorów Schrödingera. Gdy zachodzi n=m, to te dwa operatory są sobie równe

Operatory kreacji i anihilacji

Reprezentacja liczby obsadzeń-operatory kreacji i anihilacji fermionów

Zapiszmy przy pomocy ketu Diraca stan r-nieoddziaływujących fermionów w postaci wektora Diraca "ket", który opisuje r liczb kwantowych, które są zapisywane przez liczby kwantowe napisana w postaci symbolu ξSzablon:SubSzablon:Sup, co opisujemy wzorem: Szablon:CentrujWzór

  • gdzie dolny wskaźnik oznacza numer cząstki, a górny oznacza stan w jakim dana cząstka się znajduje. Np. dla dwóch cząstek definicja tego stanu jest przedstawiana jest jako iloczyn dwóch stanów kwantowych osobnych fermionów, co opisujemy wzorem:

Szablon:CentrujWzór Układ dwóch fermionów dla którego funkcja falowa opisuje stan przez funkcję całkowicie antysymetryczną, tzn. przy zamianie dwóch cząstek pojawia się znak minus przed tą funkcją falową, zatem ten stan opisujemy przez funkcję falową: Szablon:CentrujWzór Ustalając w pewien ustalony sposób kolejność stanów, dla wszystkich możliwych, możemy je ponumerować naturalnym wskaźnikiem Szablon:Formuła, i napisać je będzie można z definicji wprowadzając zamiast parametrów opisujących dany stan kwantowy wprowadzamy liczbę cząstek νSzablon:Subznajdujący się w danym stanie kwantowym: Szablon:CentrujWzór

Operator liczby obsadzeń fermionów na k-tej stanie

Określmy przez operator Szablon:Formuła liczby cząstek w danym stanie kwantowym o numerze k i działanie tego operatora na funkcję stanu fermionowego, które to przedstawiamy wedle sposobu poniżej. Widzimy, że podczas działania operatora liczby cząstek działający na stan k-ty, powoduje, że przed funkcją falową wyskakuje liczba cząstek znajdujących się w stanie k, co obrazujemy wzorem: Szablon:CentrujWzór

  • gdzie νSzablon:Sub jest to liczba cząstek w stanie k z kolei.

Operatory liczby cząstek komutuje z tym samym operatorem liczby cząstek, których te dwa operatory działają na ten sam stan lub różne stany kwantowe fermionowe: Szablon:CentrujWzór a oto dowód wzoru napisanego w punkcie Szablon:LinkWzór, wykorzystujący przy tym wzór Szablon:LinkWzór, co można zapisać w postaci: Szablon:CentrujWzór Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór wzór Szablon:LinkWzór został udowodniony w sposób natychmiastowy.

Krótkie wprowadzenie do operatorów kreacji i i anihilacji

Podamy tutaj podstawowe własności dla operatorów kreacji i anihilacji fermionów i bozonów.

Fermiony

Wprowadźmy przy pomocy właściwości komutacyjnych nowe operatory Szablon:Formuła oraz sprzężone po hermitowsku operator Szablon:Formuła do operatora Szablon:Formuła, gdzie operator Szablon:Formuła jest operatorem anihilacji na k-tym miejscu fermionu, a Szablon:Formuła,jest operatorem kreacji na k-tym miejscu fermionu. Z powodów oczywistych możemy powiedzieć na podstawie powyższych rozważań: Szablon:CentrujWzór Na pomocy definicji sprzężenia podwójnego po hermitowsku dochodzimy do wniosku, że operator Szablon:Formuła jest sprzężony po hermitowsku z operatorem Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór

Bozony

Wprowadźmy przy pomocy właściwości komutacyjnych nowe operatory Szablon:Formuła oraz sprzężone po hermitowsku operator Szablon:Formuła do operatora Szablon:Formuła, gdzie operator Szablon:Formuła jest operatorem anihilacji na k-tym miejscu fermionu, a Szablon:Formuła, jest operatorem kreacji na k-tym miejscu fermionu. Z powodów oczywistych możemy powiedzieć na podstawie powyższych rozważań: Szablon:CentrujWzór Na pomocy definicji sprzężenia podwójnego po hermitowsku dochodzimy do wniosku, że operator Szablon:Formuła jest sprzężony po hermitowsku z operatorem Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór

Działanie operatorów kreacji i anihilacji na dany stan fermionowy

Działanie operatora kreacji na stan fermionowy, otrzymujemy pewien stan, gdzie νSzablon:Sub przyjmują wartości takie jak zero lub jeden, które to w k-tym stanie zwiększa się liczba cząstek o jeden, tzn. jeśli nie było fermionu, to tam pojawia się fermion, a jeśli jest tam fermion, to działanie funkcji operatora kreacji daje nam wynik zerowy w rezultacie. Szablon:CentrujWzór

  • gdzie wykładnik p występujący we wzorze Szablon:LinkWzór określamy jako sumę liczby cząstek dla stanów o wskaźnikach mniejszych niż wskaźnik operatora kreacji.

Szablon:CentrujWzór Działaniem operatora anihilacji na pewien stan fermionowy określamy wzorem poniżej. Widzimy, że operator anihilacji działający na k-ty stan fermionowy, to liczba cząstek w tym stanie zmniejsza się o jeden, tzn. jeśli tam była jakaś cząstka, to w tym stanie ona znika i pojawia się pustka. Jeśli tam nie było cząstki, to działanie operatora anihilacji powoduje zerowy wynik takiej operacji. Szablon:CentrujWzór Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem Szablon:Formuła na pewien stan fermionowy, który na pewien stan kwantowy działamy operatorem kreacji na k-ty stan, stąd otrzymany wynik działamy operatorem kreacji, których to liczba k określa jednocześnie anihilację, a później kreację pewnej cząstki w stanie k-tej, wtedy na podstawie tego: Szablon:CentrujWzór W obliczeniach Szablon:LinkWzór wykorzystaliśmy tożsamość, którą zapisujemy w postaci: Szablon:Formuła, co dowód przeprowadzamy wstawiając za nSzablon:Sub liczbę zero albo jedynkę. Na sam koniec wyznaczmy działanie operatora Szablon:Formuła, tzn. najpierw działamy operatorem kreacji na dany stan fermionowy, a później działamy operatorem anihilacji na tak otrzymany wynik, co powiemy: Szablon:CentrujWzór Zatem na podstawie wzoru napisanego w punkcie Szablon:LinkWzór Szablon:LinkWzór możemy określić anty-komutację operatora Szablon:Formuła z operatorem Szablon:Formuła, w takim razie biorąc wyniki działania naszego operatora kreacji i anihilacji i odwrotnie, tzn. wynikające z wspominanych obliczeń: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że na podstawie obliczeń wynikających z Szablon:LinkWzór działanie składającego się z operatorów kreacji i anihilacji na stan fermionowy jest liczbie jeden pomnożonej przez stan fermionowy. Następnym krokiem jest wyznaczenie podobnego działania Szablon:Formuła, ale na operatorach kreacji i anihilacji zakładając przy tym, że zachodzi k>l: Szablon:CentrujWzór Naszym dalszym krokiem jest wyznaczenie działania operatorowego, który jest operatorem Szablon:Formuła dla k>l, zatem możemy napisać, że zachodzi tożsamość dla złożenia operatora anihilacji i kreacji: Szablon:CentrujWzór Zatem możemy wyrazić operator, który jest antykomutatorem działający na dany stan fermionowy, których składnikami jest operator kreacji i anihilacji, dowód ten przeprowadzamy dla k>l, ale wynik jest słuszny, że względu na wszystkie k i l różne od siebie, bo możemy w antykomutorze zamienić miejscami oba te opisywane w tym komutatorze operatory, w takim razie otrzymujemy postać: Szablon:CentrujWzór Na podstawie przeprowadzonych obliczeń Szablon:LinkWzór (dla k równego od l) i Szablon:LinkWzór (dla k nierównego l) możemy napisać właściwość operatora kreeacji i anihilacji, który określamy wzorem: Szablon:CentrujWzór Następnym naszym obliczeniem jest wyznaczenie działania operatora Szablon:Formuła, że na k-tym miejscu możemy raz anihilować jedną cząstkę, jeśli tam znajdowała się cząstka, ale puste miejsce w takim razie po anihilacji fermionu nie da się z anihilować, ale gdy by tam nie znajdowała się cząstka (fermion), to w takim razie wynik takiego operatora na ten nasz stan fermionowy jest równy zero, w takim razie możemy napisać tożsamość: Szablon:CentrujWzór Dalej wyznaczmy działanie operatora Szablon:Formuła, gdy zachodzi na pewno k>l, w takim przypadku działanie na wynik działania operatora anihilacji na stan l na funkcję stanu fermionowego jeszcze raz operatorem anihilacji działający tym razem na stan k określamy wzorem: Szablon:CentrujWzór Jeśli w takim razie, gdy napiszemy działanie operatora Szablon:Formuła, gdy zachodzi k>l, możemy napisać tożsamość opisujący działanie operatora anihilacji na k-ty stan fermionowy, którego to wynik działamy znów operatorem anihilacji działający n l-ty stan kwantowy, w takim razie możemy napisać tożsamość matematyczną: Szablon:CentrujWzór Na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie Szablon:LinkWzór możemy napisać, że zachodzi tożsamość, która jest również słuszna dla k=l a także dla dowolnego k i l: Szablon:CentrujWzór Wedle przeprowadzonych wywodów Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór i z wywodu, gdy k≠l przeprowadzonego powyżej możemy napisać tożsamość przeprowadzoną na operatorach kreacji i anihilacji, w takim razie możemy powiedzieć dla dowolnego k i l zachodzi tożsamość poniżej. Ten dowód był przeprowadzany dla k>l lub k=l, ale jest on słuszny dla dowolnego k i l, co wynika symetryczności antykomutatora, ze względu na przestawienie tychże składników: Szablon:CentrujWzór Następnym naszym obliczeniem jest wyznaczenie działania operatora Szablon:Formuła, jeśli tam znajdowało się na k-tym miejscu puste miejsce, to tam zostanie wykreowany fermion. Powtórna kreacja fermionu jest niemożliwa, stąd wynika działania kwadrat operatora aSzablon:Sub jest równy zero. Zatem wynik działania antykomutatora określonego tuż poniżej jest równa tożsamościowo zeru. Szablon:CentrujWzór Dalej wyznaczmy działanie operatora Szablon:Formuła, gdy zachodzi k>l, zatem możemy napisać tożsamość działania dwóch operatorów anihilacji na stan najpierw na l-ty stan i później na k-ty, które to działają na osobne stany kwantowe fermionowe, zatem wynik takiego działania jest okreslony wzorem: Szablon:CentrujWzór Jeśli w takim razie, gdy napiszemy działanie operatora Szablon:Formuła, dla którego zachodzi k>l, w których na dany k-ty stan kwantowy działamy operatorem anihilacji, a później na ten uzyskany wynik działamy operatorem anihilacji na l-ty stan kwantowy. Szablon:CentrujWzór Na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie Szablon:LinkWzór oraz w punckie Szablon:LinkWzór możemy napisać, że zachodzi tożsamość dla k>l, co również jest słuszne dla k=l wedle Szablon:LinkWzór, stąd jest słuszne dla dowolnego k i l, co wynika z symetryczności po przestawieniu w naszym rozważanym antykomutatorze argumentów: Szablon:CentrujWzór Wedle przeprowadzonych wywodów Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór i z wywodu, gdy k≠l przeprowadzonego powyżej możemy napisać tożsamość przeprowadzoną na operatorach kreacji i anihilacji, w takim razie możemy powiedzieć dla dowolnego k i l: Szablon:CentrujWzór

Wyrażanie operatorów kreacji i anihilacji fermionów

Operatory Szablon:Formuła nie są to operatorami hermitowskimi i nie mogą reprezentować żadnej mierzalnej wielkości. Natomiast odpowiednie iloczyny są już operatorami hermitowskimi, bo zachodzi tożsamość poniżej: Szablon:CentrujWzór

Wobec tego operator Szablon:Formuła posiada rzeczywiste wartości własne, i nietrudno je wyliczyć. A oto dowód własności Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

Korzystaliśmy tu z właściwości antykomutatora Szablon:LinkWzór, zatem otrzymaliśmy własność przy wykorzystaniu ostatnio wspomnianego komutatora. Na podstawie wzoru Szablon:LinkWzór operator Szablon:Formuła, ma wartości własne 0 i 1, a więc takie jak operator liczby cząstek n^k dla fermionów, bo ten nasz opisywany operator jest operatorem rzutowym, ale dla porządku dziennego udowodnijmy, że on posiada takie wartości własne, a nie inne, korzystając z warunku udowodnionego Szablon:LinkWzór. Napiszmy najpierw równanie własne operatora Szablon:Formuła, w takim przypadku możemy powiedzieć, że zachodzi równość poniżej: Szablon:CentrujWzór Następnie podziałajmy następującym operatorem Szablon:Formuła lewostronnie obie strony równania Szablon:LinkWzór, korzystając na podstawie tożsamości Szablon:LinkWzór dla prawej jego strony, dostajemy równanie: Szablon:CentrujWzór Idąc dalej przekształcając lewą stronę według tożsamości Szablon:LinkWzór, dochodzimy więc do wniosku: Szablon:CentrujWzór I ostatecznie, jeśli zastosujemy równanie własne Szablon:LinkWzór do równania Szablon:LinkWzór i zastosujemy dla lewej jego strony, dojdziemy więc do wniosku, że powinno zachodzić: Szablon:CentrujWzór Przenosząc całą lewą stronę równania Szablon:LinkWzór na jego prawą stronę i włączając wielkość Szablon:Formuła za nawias, dochodzimy do wniosku: Szablon:CentrujWzór co jedynie jest spełnione dla wartości λ równej 0 lub 1. Czyli operator Szablon:Formuła ma wartości własne takie jak Szablon:Formuła lub Szablon:Formuła, co zostało udowodnione.

Policzmy antykomutator operatora składający się z operatora Szablon:Formuła i operatora Szablon:Formuła tak że zachodzi Szablon:Formuła, bo dla Szablon:Formuła dowód jest trywialny i taki komutator jest równy zero, korzystając przy tym z własności operatorów kreacji i anihilacji wedle tożsamości Szablon:LinkWzór, określający związek na operatorach kreacji i anihilacji, i związku opisanego na operatorach kreacji, czyli wzoru Szablon:LinkWzór, zatem: Szablon:CentrujWzór Wobec obliczonego związku Szablon:LinkWzór i związku na operatorach liczby cząstek na k-tym i l-tym stanie Szablon:LinkWzór, operatorSzablon:Formuła ma wartości własne zero i jeden dla fermionów, zatem możemy tożsamościowo zdefiniować równoważność operatora Szablon:Formuła z operatorem liczby fermionów w danym stanie Szablon:Formuła, bo w danym stanie najwyżej może się znajdować 0 albo 1 fermion, czyli powinna na pewno zachodzić tożsamość operatorowa: Szablon:CentrujWzór

Przykłady stanów fermionowych i działania na te stany operatorów kreacji i anihilacji

Wprowadźmy fizyczny stan próżni, tzn. stanu opisywanego przez funkcję, których liczba cząstek we wszystkich stanach jest równa zero, w takim przypadku operator stanu fermionowego jest operatorem zerowym: Szablon:CentrujWzór Z definicji tego stanu otrzymujemy od razu, że operator liczby cząstek działający na k-ty stan kwantowy, daje nam liczbę cząstek równej zero, co zapisujemy wzorem Szablon:Formuła, bo w stanie k z kolei nie ma żadnych cząstek.

Korzystając z definicji Szablon:Formuła zdefiniowanego w punkcie Szablon:LinkWzór, dochodzimy do wniosku: Szablon:CentrujWzór Ponieważ w stanie k z kolei nie ma żadnych cząstek i nie ma co operatorem anihilacji Szablon:Formuła robić (usunąć daną cząstkę z tego stanu), więc nic dziwnego, że w tym stanie, że działanie operatora liczby cząstek opisywanego wedle równania Szablon:LinkWzór daje nam końcowy wynik równy zero. Pomnóżmy lewostronnie przez Szablon:Formuła równanie Szablon:LinkWzór, dostajemy tożsamość: Szablon:CentrujWzór Obierzmy definicję "ket"-a Szablon:Formuła wedle sposobu: Szablon:Formuła, to mamy Szablon:Formuła, a zatem z definicji iloczynu skalarnego dostajemy odrazu, że zachodzi A=0.

Policzmy teraz dla przykładu wyrażenie, korzystając przy tym z własności na operatorach kreacji i anihilacji Szablon:LinkWzór, a także korzystając z definicji operatora liczby cząstek poprzez operatory kreacji i anihilacji przeprowadzonych wedle punktu Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór bo w trzeciej równości w drugim wyrazie operator anhilacji nie mam co anihilować w stanie k z kolei, a więc gdy zachodzi k≠1, to możemy powiedzieć: Szablon:CentrujWzór oraz gdy Szablon:Formuła, to dochodzimy do wniosku: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy wyrażenie w którym w k-tym stanie występuje cząstka i działamy operatorem anihilacji na l-ty stan: Szablon:CentrujWzór Zbierając razem interesujące nas wyniki z punktu Szablon:LinkWzór, możemy napisać: Szablon:CentrujWzór bo zero, iż kreator anihilacji nie ma co anihilować w stanie k z kolei. A także równanie, na którym na stan fermionowym, którym na k-tym poziomie jest cząstka i działamy operatorem anihilacji na ten stan i wyniku czego po anihilacji tam cząstki powstaje w ogólności stan próżni: Szablon:CentrujWzór Jeśli podziałamy operatorem kreacji na k-ty stan kwantowy, w której znajduje się jakiś fermion, to wyniku działania takiego operatora na ten stan powoduje działanie nie wykonalne, a więc wynik działania takiego operatora daje nam liczbę zero. Szablon:CentrujWzór Cząstkę można kreować w stanie k ze stanu próżni w stan, której na k tym poziomie fermionowym będzie znajdowała się cząstka po tej operacji, i jeszcze raz działając na ten otrzymany tak stan tym samym operatorem kreacji otrzymamy wynik zerowym, bo nie można kreować na tym samym miejscu dwóch cząstek, które są fermionami. Połóżmy zatem: Szablon:CentrujWzór Jeśli działamy operatorem kreacji na stan kSzablon:Sub, a później na stan kSzablon:Sub, i na samym ostatku aż do operatora kreacji o numerze kSzablon:Sub, co działanie na stan próżni r- operatorów zapisujemy wzorem opisanych poniżej: Szablon:CentrujWzór Jest to sprzężenie (iloczyn) operatorów kreacji, które powodują powstanie na Szablon:Formuła-tych miejscach cząstek. Określmy jako liczba cząstek znajdująca się na wszystkich poziomach w stanie fermionowym, których tą liczbę cząstek oznaczamy przez parametr N. Szablon:CentrujWzór W równaniu Szablon:LinkWzór oznaczamy całkowitą liczbę cząstek we wszystkich stanach dla Szablon:Formuła.

Zdefiniujmy dla przykładu operator, którego definicja jest: Szablon:CentrujWzór Policzmy elementy macierzowe operatora Q zdefiniowanej w punkcie Szablon:LinkWzór przy pomocy operatora kreacji i anihilacji, w takim przypadku możemy napisać: Szablon:CentrujWzór

Reprezentacja liczby obsadzeń-operatory kreacji i anihilacji bozonów

Działaniem operatora kreacji Szablon:Formuła dla stanu bozonowego nazywamy działaniem, która w wyniku działania stanu bozonowego zwiększa się liczba cząstek o jedynkę na tym poziomie na k-tym poziomie, na który działa nasz operator. Zatem nasze działanie naszego operatora piszemy: Szablon:CentrujWzór We wzorze Szablon:LinkWzór wykorzystaliśmy stan, że νSzablon:Sub jest stanem, który jest opisany przez liczbę kwantową równej k=0,1,2,3,.. Działaniem operatora anihilacji Szablon:Formuła dla stanu bozonowego nazywamy działaniem, która w wyniku działania stanu bozonowego zmiejsza się liczba cząstek o jedynkę na tym poziomie na k-tym poziomie, na który działa nasz operator, Zatem nasze działanie naszego operatora piszemy wzorem: Szablon:CentrujWzór Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem Szablon:Formuła na pewien stan bozonowy, zatem na pewien stan kwantowy podziałajmy operatorem anihilacji na k-ty stanie, stąd na wynik tak otrzymany działamy operatorem kreacji, na ten sam stan: Szablon:CentrujWzór Na sam koniec wyznaczmy działanie operatora Szablon:Formuła, tzn., najpierw działamy operatorem kreacji na dany stan bozonowy, a później działamy operatorem anihilacji na tak otrzymany wynik: Szablon:CentrujWzór Na podstawie wzoru napisanego w punkcie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy określić antykomutację operatora Szablon:Formuła z operatorem Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór wynika tożsamość: Szablon:CentrujWzór Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem Szablon:Formuła na pewien stan bozonowy, któremu odpowiada działaniu operatora kreacji na l-ty stan, stąd na wynik tak otrzymany działamy operatorem anihilacji na k-ty stan kwantowy, gdy k≠l, wtedy: Szablon:CentrujWzór Na podstawie wniosków końcowych przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór dla dowolności "k" i "l" można zapisać właściwość: Szablon:CentrujWzór Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem Szablon:Formuła na pewien stan bozonowy, któremu odpowiada działaniu operatorem kreacji na l-ty stan, stąd na wynik tak otrzymany działamy operatorem kreacji na k-tyn stan kwantowy, gdy k≠l, wtedy: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór możemy powiedzieć, że tożsamość powstaje w wyniku odjęcia działania obu stron dotyczące działania operatorami Szablon:Formuła i Szablon:Formuła na stan bozonowy, co te zależności opisujemy razem we wspomnianym tutaj równaniu: Szablon:CentrujWzór Przeprowadzmy obliczenia gdy k=l, wtedy na tej podstawie piszemy tożsamość: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, a także dowolności "k" i "l", co wtedy na tej podstawie opisujemy tutaj równaniem: Szablon:CentrujWzór Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem Szablon:Formuła na pewien stan bozonowy, który na pewien stan kwantowy działamy operatorem anihilacji na l-ty stan, stąd na wynik tak otrzymany działamy operatorem anihilacji na l-ty stan kwantowy, gdy l≠k, zatem na podstawie tego: Szablon:CentrujWzór Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem Szablon:Formuła na pewien stan bozonowy, który na pewien stan kwantowy działamy operatorem anihilacji na k-ty stan, stąd na wynik tak otrzymany działamy operatorem anihilacji na k-ty stan kwantowy, zatem na podstawie tego: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy powiedzieć, że powstaje tożsamość dla dowolności "k" i "l", co te zależności opisujemy wspomnianym tutaj w równaniu: Szablon:CentrujWzór Mnożenie operatorów kreacji Szablon:LinkWzór lub anihilacji Szablon:LinkWzór jest całkowicie przemienne, tzn.: Szablon:CentrujWzór stąd w ogólności, mamy dla bozonów: Szablon:Formuła. Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór możemy powiedzieć, że operator Szablon:Formuła oznacza liczbę cząstek znajdujących się w danym stanie kwantowym, czyli ten operator ma sens ilości cząstek w danym stanie kwantowym i jest zapisana wzorem: Szablon:CentrujWzór Liczba cząstek znajdujących się we wszystkich stanach kwantowych jest zapisana przy pomocy wzoru Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

Wyrażenie operatora hamiltonianu poprzez operatory kreacji i anihilacji

Często operator energii całkowitej jest wyrażony poprzez operatory kreacji i anihilacji, np. kolejno nieoddziaływających fermionów, czy to bozonów, w takim przypadku możemy powiedzieć, że hamiltonian: Szablon:ElastycznyWiersz

Szablon:SkomplikowanaStronaKoniec

Źródło: „https://pl.wikibooks.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Mechanika_kwantowa/Wprowadzenie_do_interpretacji_fizycznych_operatorów&oldid=297”