Mechanika kwantowa/Wnioski wynikające z mechaniki kwantowej Diraca

Uogólnienie klasycznego Hamiltonianu o moment magnetyczny elektronu (q=e)

Ukrytą zaletą równań Diraca jest to, że zawiera w sobie informacje o spinie elektronu. Jeśli taki elektron umieścimy w polu magnetycznym, to ono uzyska dodatkową energię Szablon:Formuła, którą wyrazimy za pomocą momentu magnetycznego znajdujący się w polu magnetycznym o pewnym natężeniu.

Przenosimy wyraz związany z energią potencjalną cząstki, czyli Szablon:Formuła na lewą stronie równania Szablon:LinkWzór z prawej jego strony, a następnie podzielmy obustronnie przez c, też obustronnie podnosimy do kwadratu, wszystkie te operację przedstawiamy je jako: Szablon:CentrujWzór Następnie korzystamy, że operatory współrzędnych operatora Szablon:Formuła, czyli Szablon:Formuła i operatora Szablon:Formuła, które za sobą antykomutują, zatem na podstawie równości Szablon:LinkWzór tożsamość Szablon:LinkWzór można przestawić przez: Szablon:CentrujWzór Pierwszy wyraz występujący po prawej stronie wzoru Szablon:LinkWzór możemy rozpisać jako iloczyn dwóch takich samych operatorów i wymnożyć je względem siebie. W tym rozpisaniu tego iloczynu występują wyrazy mieszane i niemieszane, przy czym pierwszy wyraz niemieszany zapisujemy zapisujemy według Szablon:LinkWzór, a wyraz mieszany jest jako Szablon:LinkWzór.

Na podstawie Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, także na podstawie obliczeń pomocniczych Szablon:LinkWzór (wyrazy niemieszane) i Szablon:LinkWzór (wyrazy mieszane) równanie Szablon:LinkWzór przyjmuje kształt: Szablon:CentrujWzór Powracając do naszego równania Szablon:LinkWzór, to wydzielmy z Hamiltonianu energię spoczynkową cząstki ze spinem, natomiast nasz hamiltonian jest równy sumie energii spoczynkowej cząstki i relatywistycznego operatora energii kinetycznej cząstki, zapisujemy ten hamiltonian wedle schematu: Szablon:CentrujWzór A więc równość Szablon:LinkWzór na podstawie tożsamości operatorowej Szablon:LinkWzór, w której hamiltonian Diraca jest zapisany jako suma hamiltonianu energii mechanicznej i operatora energii spoczynkowej naszego badanego ciała, piszemy: Szablon:CentrujWzór Wykonujemy działania związane z podnoszeniem do drugiej potęgi po lewej stronie w równości Szablon:LinkWzór, tak jak się wykonuje podnoszenie do kwadratu operatorów, ale w tym przypadku należy zastosować wzór skróconego mnożenia znanego z gimnazjum: Szablon:CentrujWzór W obliczeniach Szablon:LinkWzór możemy znaleźć taki wyraz, który znajduje się w nawiasie i jego pierwszy składnik przepisujemy i jednocześnie uproszczamy go: Szablon:CentrujWzór Niech energia spoczynkowa jest o wiele większa od energii kinetycznej cząstki napisanej jako Szablon:Formuła, wiedząc, że Szablon:Formuła jest operatorem całkowitej energii mechanicznej cząstki, zatem rozważmy przypadek, gdy zachodzi: Szablon:CentrujWzór A zatem pierwszy wyraz w nawiasie w Szablon:LinkWzór należy powinąć przy zachodzącym przybliżeniu Szablon:LinkWzór, dostajemy: Szablon:CentrujWzór Następnie dzielimy obie strony Szablon:LinkWzór przez podwojoną masę spoczynkową cząstki Szablon:Formuła, wtedy hamiltonian cząstki można zapisać w przybliżeniu, gdy jego energia kinetyczna cząstki jest o wiele mniejsza niż energia spoczynkowa cząstki: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że hamiltonian nierelatywistyczny cząstki w stosunku do Szablon:LinkWzór posiada dodatkowy człon związany, że elektron posiada spin, a zatem ma pewien moment magnetyczny, czyli posiada dodatkową energię, która występuje zawsze, gdy cząstka znajduje się w polu magnetycznym o natężeniu pola magnetycznego Szablon:Formuła. Moment magnetyczny związany ze spinem cząstki według wzoru na operator energii całkowitej cząstki Szablon:LinkWzór przedstawia się: Szablon:CentrujWzór Minus we wzorze Szablon:LinkWzór jest związany z ujemnym ładunkiem elektronu ładunku elementarnego "e". a dla współrzędnych zetowej moment magnetyczny cząstki przedstawiamy w sposób ogólny wedle schematu Szablon:LinkWzór w postaci: Szablon:CentrujWzór

Prawo zachowania momentu pędu, a spin elektronu w teorii Diraca, w zerowym polu elektrycznym i magnetycznym

Rozważmy Hamiltonian Diraca Szablon:LinkWzór swobodnego elektronu, tzn. gdy ta cząstka znajduje się w zerowym polu elektrycznym i magnetycznym, ten operator energii całkowitej cząstki możemy zapisać: Szablon:CentrujWzór Jeśli jest zachowana jakaś współrzędna momentu pędu, stąd wynika, że ta współrzędna powinna komutować z hamiltonianem Szablon:LinkWzór. Rozważmy komutator momentu pędu orbitalnego Szablon:Formuła z hamiltonianem Szablon:Formuła, wiedząc że współrzędna operatora pędu komutuje z operatorem Szablon:Formuła, zatem dowolna współrzędna operatora momentu pędu komutuje z operatorem Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Policzmy następnie komutator współrzędnej momentu pędu z dowolną współrzędna pędu, który to jest potrzebne do dokończenia obliczeń w zapiskach Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Komutator współrzędnej itowej momentu pędu i Hamiltonianu Diraca na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór i obliczeń pomocniczych Szablon:LinkWzór przedstawia się: Szablon:CentrujWzór Powyższy komutator udowadnia, że moment pędu nie jest zachowany. Tak się to dzieje, że nie jest zachowana ta wielkość, ponieważ nie uwzględniono spinu elektronu. Sprawdźmy własności komutacyjne operatora Szablon:Formuła z hamiltonianem Diraca i obliczymy czemu jest on równy. Szablon:CentrujWzór Przeprowadźmy czemu jest równy komutator znajdujący się w Szablon:LinkWzór w pierwszym jego składniku: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy drugi komutator występujący jako drugi składnik w Szablon:LinkWzór, korzystając przy tym z antykomutatora Szablon:LinkWzór, który jest zdefiniowany na operatorach Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, tutaj rozwiniemy operator Szablon:Formuła według schematu Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Komutacja operatora Szablon:Formuła zdefiniowaną według Szablon:LinkWzór z operatorem hamiltonianu Diraca Szablon:LinkWzór, dla której ten nasz komutator na podstawie obliczeń pomocniczych Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór przedstawiamy wedle: Szablon:CentrujWzór Policzmy następny komutator, którego pierwszym elementem jest współrzędna operatora momentu pędu plus wyrażenie równe współrzędnej operatora Szablon:Formuła wraz z czynnikiem, który jest połówką stałej kreślonej Plancka, zatem: Szablon:CentrujWzór A więc moment pędu elektronu możemy zdefiniować tak jak poniżej, to on komutuje z operatorem całkowitej energii cząstki według Diraca Szablon:LinkWzór, zatem całkowity operator momentu pędu jest zdefiniowany wedle: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń wedle Szablon:LinkWzór spin elektronu przedstawiamy: Szablon:CentrujWzór Operator momentu magnetycznego spinu elektronu na podstawie wzoru Szablon:LinkWzór (definicji momentu magnetycznego elektronu związanego z jego spinem) i Szablon:LinkWzór (definicja spinu) przedstawia się w zależności od spinu elektronu wedle: Szablon:CentrujWzór Z powyższych rozważań wynika, że równania Diraca zawierają również spin elektronu.

Atom wodoru według teorii Diraca

Rozważmy atom wodoru według teorii Diraca, w tym celu przyjmijmy potencjał wektorowy magnetyczny za równy zero a skalarny potencjał elekryczny w polu jądra atomowego wodoru jest zdefiniowany: Szablon:CentrujWzór Wówczas operator Diraca Szablon:LinkWzór zapisujemy przy zerowym wektorowym potencjale magnetycznym i przy skalarnym potencjale elektryczny Szablon:LinkWzór w polu jądra atomowego, który wystepuje w równaniu własnym wspomnianego operatora energii całkowitej elektronu, wiedząc jednocześnie że ładunek elekronu jest ujemny, a jego wartość bezwzględna jest równa "e", wtedy jego równanie własne jest: Szablon:CentrujWzór Doprowadźmy nasze równanie tak by był opisywane we współrzędnych sferycznych, w prowadzając najpierw nowe operatory, za pomocą których opiszemy nasz Hamiltonian Diraca, których definicje są: Szablon:ElastycznyWiersz Zauważmy, że operator Szablon:Formuła zależy tylko od współrzędnych kątowych, bo operator Szablon:Formuła zależy od współrzędnych kątowych na podstawie współrzędnych operatorów momentów pędu wyrażonych według wzorów Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór wyrażonych we współrzędnych kulistych kątowych.

Operator Szablon:Formuła zależy od współrzędnych radialnych. A równanie na Szablon:Formuła od wektora jednostkowego, który jest wyznaczone według dwóch współrzędnych kątowych.

Podajmy kilka własności naszych nowych operatorów, po pierwsze można sprawdzić, że są to operatory hermitowskie, najpierw wykażmy to dla Szablon:LinkWzór Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór A następnie sprawdźmy, czy operator Szablon:LinkWzór Szablon:Formuła jest operatorem hermitowskim, ten dowód jest trochę trudny i nie jest wcale oczywisty, że ten operator jest w ogóle hermitowski: Szablon:CentrujWzór W końcu operator Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór też udowodnimy w sposób bardzo łatwy, że jest operatorem hermitowskim: Szablon:CentrujWzór Wykażmy, ile jest równy kwadrat operatora Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, udowodniamy to korzystając z antykomutacji operatorów Szablon:LinkWzór dla różnych współrzędnych tegoż omawianego operatora: Szablon:CentrujWzór Następnie wyznaczmy antykomutator operatorów Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, wyznaczymy, że jest on równy zero, czyli te operatory antykomutują ze sobą. Udowodnimy to na podstawie antykomutacji operatorów Szablon:Formuła i Szablon:Formuła wedle wzoru Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Udowodnijmy wyrażenie poniżej skonstrułowanych przy pomocy operatorów Szablon:LinkWzór(Szablon:Formuła), Szablon:LinkWzór(Szablon:Formuła) i Szablon:LinkWzór(Szablon:Formuła), którego wyrażenie mamy udowodnić w postaci lematu dla: Szablon:CentrujWzór A zatem do dzieła udowodnijmy wyrażenie Szablon:LinkWzór korzystając przy tym z tożsamości Szablon:LinkWzór (wzór na współrzędne operatora Szablon:Formuła), a także z własności Szablon:LinkWzór, który jest antykomutatorem zbudowanym na współrzędnych operatora Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Co kończy dowód wyrażenia Szablon:LinkWzór.

Równanie Diraca Szablon:LinkWzór na podstawie Szablon:LinkWzór przyjmuje zatem postać poniżej. Widzimy, że to równanie zależy od operatorów, tzn.: od Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór oraz Szablon:LinkWzór. Oczywiste jest, że to równanie Diraca jest równaniem niezależnym od czasu i jest równaniem własnym operatora energii: Szablon:CentrujWzór Sprawdźmy czy wszystkie operatory występujące w równaniu własnym operatora energii Szablon:LinkWzór komutują ze sobą, zatem sprawdźmy cztery poniższe komutacje:

1° Sprawdżmy, czy komutator Szablon:Formuła komutuje z Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór 2° Sprawdźmy, czy Szablon:Formuła komutuje z Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór 3° Sprawdźmy, czy komutator ${\hat{p}}_r$ komutuje z $\hat{k}$, zatem: Szablon:CentrujWzór Komutator Szablon:LinkWzór jest równy zero na podstawie, że operator Szablon:Formuła, zależy od współrzędnych radialnych, a Szablon:Formuła od współrzędnych kątowych.

4° Sprawdźmy czy operator Szablon:Formuła komutuje z Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Zdefiniujmy operatory Szablon:Formuła i Szablon:Formuła jako zwykłe macierze wedle sposobu: Szablon:ElastycznyWiersz Sprawdźmy, czy zachodzi Szablon:LinkWzór na operatorze Szablon:Formuła, czyli czy kwadrat tego operatora jest macierzą jednostkową, którego operator zdefiniowany jest wedle Szablon:LinkWzór, a dowód tej własności przebiega: Szablon:CentrujWzór a także zachodzi Szablon:LinkWzór na operatorze Szablon:Formuła, czyli czy kwadrat tegoż operatora jest macierzą jednostkową dla operatora zdefiniowanej wedle Szablon:LinkWzór, zatem udowodnijmy tą własność: Szablon:CentrujWzór Sprawdźmy, czy na operatorach Szablon:LinkWzór (Szablon:Formuła) i Szablon:LinkWzór (Szablon:Formuła) zachodzi antykomutacja Szablon:LinkWzór, stąd: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór oraz Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór udowodniliśmy, że operatory Szablon:Formuła i Szablon:Formuła mają postać Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór.

Udowodniliśmy, że operator Szablon:Formuła komutuje z Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, a następnie z operatorem Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, dalej z Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, na tej podstawie dochodzimy do wniosku, że równanie własne operatora hamiltonianu w Szablon:LinkWzór, w którym występuje hamiltonian komutatujący z operatorem Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Pozwala to rozwiązywać równanie w bazie jednoczesnych funkcji własnych Szablon:Formuła i Szablon:Formuła. Równanie własne operatora Szablon:Formuła jest w postaci Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

• gdzie Szablon:Formuła jest wartościa własną operatora Szablon:Formuła.

Teraz zajmijmy się operatorem Szablon:Formuła podstawiając za Szablon:Formuła, który można wyliczyć z Szablon:LinkWzór wyrażenie na Szablon:Formuła w zależności od operatora spinu cząstki kwantowej: Szablon:CentrujWzór Iloczyn operatora Szablon:Formuła i operatora momentu pędu na podstawie wzoru Szablon:LinkWzór można podstawić do poniższego wyrażenia otrzymując wyrażenie proporcjonalne do iloczynu operatora momentu pędu spinowego przez orbitalny: Szablon:CentrujWzór Wiemy, że operator całkowitego momentu pędu jest sumą operatora momentu pędu orbitalnego i spinowego momentu pędu badanej cząstki: Szablon:CentrujWzór Można podnieść do kwadratu wyrażenie operatorowe Szablon:LinkWzór, to otrzymujemy inny wzór wynikowy, w którym występują kwadraty różnych operatorów momentu pęd oraz wyraz mieszany będącej iloczynem momentu pędu orbitalnego i spinowego elektronu: Szablon:CentrujWzór Z Szablon:LinkWzór wyznaczamy wyrażenie Szablon:Formuła, w tym celu przenieśmy wyraz mieszany na lewą stronę równania Szablon:LinkWzór z jego prawej strony, a pozostałe wyraży występujące po lewej stronie ostatniego wyrażenia na jego prawo stronę, dostajemy: Szablon:CentrujWzór Podstawiamy za Szablon:Formuła wyrażenie Szablon:LinkWzór do wzoru operatorowego Szablon:LinkWzór, wtedy dostajemy równoważne równanie do tego ostatniego równanie: Szablon:CentrujWzór Operator Szablon:LinkWzór na podstawie własności operatorowej Szablon:LinkWzór możemy przestawić podstawiając do niego wyrażenie na Szablon:Formuła wedle wzoru tego ostatniego, to dostaniemy inny równoważny wzór na operator Szablon:Formuła w stosunku do pierwotnej definicji Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Mając wartości własne kwadratu operatora całkowitego momentu pędu Szablon:Formuła kwadratu operatora orbitalnego momentu pędu Szablon:Formuła i ostatecznie kwadratu operatora spinowego Szablon:Formuła i ze względu na elementy operatora Szablon:Formuła, które mają wartość 1 lub -1 na podstawie wyrażenia Szablon:LinkWzór, mamy: Szablon:CentrujWzór

• gdzie:Szablon:Formuła.

Mając liczbę kwantową całkowitego momentu pędu "j" dla cząstki o spinie równą połowie jedynki, to wyznaczymy z niego wzór na liczbę kwantową orbitalnego momentu pędu w zależności od liczby kwantowej całkowitego momentu pędu: Szablon:CentrujWzór A więc dla Szablon:Formuła według Szablon:LinkWzór wartość własna równania własnego Szablon:LinkWzór, na podstawie Szablon:LinkWzór, przestawiamy: Szablon:CentrujWzór oraz dla Szablon:Formuła według Szablon:LinkWzór, wtedy wartość własna równania własnego Szablon:LinkWzór, na podstawie Szablon:LinkWzór, przestawiamy: Szablon:CentrujWzór Ponieważ wartości własne Szablon:Formuła całkowitego momentu pędu mają wartości ułamkowe połówkowe, zatem na podstawie Szablon:LinkWzór (dla Szablon:LinkWzór z minusem) i Szablon:LinkWzór (dla Szablon:LinkWzór z plusem) dochodzimy więc do wniosku, że wartościami własnymi operatora Szablon:LinkWzór są liczby całkowite bez zera: Szablon:CentrujWzór Mając na uwadze powyższe rozważania przedstawmy funkcję $\psi$ jako wektor funkcji, jako dwuskładnikowsy wektor kolumnowy, czyli spinor: Szablon:CentrujWzór Biorąc spinor Szablon:LinkWzór jako wektor własny, a także definicję macierzy Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, to równanie Diraca Szablon:LinkWzór przyjmuje kształt: Szablon:CentrujWzór Po dalszych przekształceniach powyższego równania Szablon:LinkWzór dotyczące przemnożenia pewnych macierzy, otrzymujemy inne równoważne do poprzedniego macierzowe równanie Diraca dla elektronu: Szablon:CentrujWzór Z równania macierzowego Szablon:LinkWzór stanowiących jakoby układ dwóch równań, otrzymujemy dwa równania zależne od siebie: Szablon:CentrujWzór

Następnym naszym krokiem jest podstawienie za operator Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór jego definicji w układzie równań Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Ponieważ operator Szablon:Formuła zależy od współrzędnych kątowych, a nie radialnym, stąd wynika, że funkcje Szablon:Formuła i Szablon:Formuła mają jednakową funkcję kątową, co wynika, że dla obu równań Szablon:LinkWzór wartość własna operatora Szablon:Formuła powinna być taka sama, z definiujmy w takim wypadku te opisywane funkcje: Szablon:ElastycznyWiersz Zajmijmy się teraz pierwszym równaniem układu równań Szablon:LinkWzór, do niego możemy wstawić funkcje, tzn.:Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór i Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór oraz za Szablon:Formuła należy wstawić wartość własną tego operatora, co wynika z definicji jego wartości własnej: Szablon:CentrujWzór Pomnóżmy teraz lewostronnie Szablon:LinkWzór przez odległość radialną r: Szablon:CentrujWzór Rozpiszmy tożsamość poniżej korzystając z twierdzenia o pochodnej ilorazu: Szablon:CentrujWzór A zatem nasze pierwsze równanie uzyskujemy z Szablon:LinkWzór, po dokonaniu w nim obliczeń pomocniczych wedle schematu Szablon:LinkWzór, przyjmuje ona wtedy postać: Szablon:CentrujWzór W tej chwili zajmować się będziemy drugim równaniem Szablon:LinkWzór podstawiając do niego za Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór i za Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Przekształćmy nasze aktualne równanie: Szablon:CentrujWzór Pomnóżmy lewostronnie równanie Szablon:LinkWzór przez odległość radialną r, wtedy otrzymujemy równość napisaną w zależności od funkcji Szablon:Formuła i Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Zatem ostatecznie drugie równanie wynikającego z Szablon:LinkWzór i po dokonaniu w nim obliczeń pomocniczych, wykorzystując tożsamość Szablon:LinkWzór, przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Dokonajmy podstawień do równań Szablon:LinkWzór (pierwsze równanie) i Szablon:LinkWzór (drugie równanie) w postaci: Szablon:ElastycznyWiersz Zatem równanie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór na podstawie podstawień Szablon:LinkWzór(Szablon:Formuła), Szablon:LinkWzór(Szablon:Formuła) i Szablon:LinkWzór(Szablon:Formuła) przyjmują postacie zapisaną w układzie równań: Szablon:CentrujWzór

Nastepnie wyodrębnijmy ten sam czynnik wykładniczy z funkcji Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, tzn.: Szablon:ElastycznyWiersz W Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór stała "a" jest zależna od energii całkowitej elektronu i od jego masy spoczynkowej, jest zdefiniowane jako stała: Szablon:CentrujWzór Podstawiając te funkcje Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór do dwóch rozważanych równań Szablon:LinkWzór, mamy: Szablon:CentrujWzór Dokonajmy podstawień za funkcje Szablon:Formuła i Szablon:Formuła pewnymi nieskończonymi szeregami potęgowymi zapisane jako kombinacja liniowa z pewnymi współczynnikami względem poszczególnych potęg odległości radialnych: Szablon:ElastycznyWiersz

• gdzie Szablon:Formuła, co gwarantuje rozpoczęcia w szeregu potęgowym opisanym powyżej, których wykładnik potęgi jest większy niż "m" w szeregach powyżej zdefiniowanych.

Dokonajmy podstawień szeregów Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór i Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, do pierwszego równania Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór Dokonajmy podstawień wedle schematu m'=m+1 dla pierwszego i czwartego wyrazu równania Szablon:LinkWzór w ten sposób, by w tym równaniu mieć te same potęgi, by później współczynnik stojący przy tej potędze przyrównać do zera, jeśli wszystkie wyrazy występując po przegrupowaniu występują w czynniku przy tym obiekcie, a zatem dochodzimy do wniosku po odpowiedniej zamianie parametrów m: Szablon:CentrujWzór Grupując względem tych samych potęg w Szablon:LinkWzór, zależność na współczynnikach (pierwsze równanie poniżej) i warunek brzegowy (drugie równanie) przedstawia się: Szablon:ElastycznyWiersz Dokonajmy teraz podstawień do drugiego równania Szablon:LinkWzór w szeregach potęgowych Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Podstawmy do drugiego i trzeciego wyrazu przy pomocy schematu m=m'-1 do powyższego równania, by w tym równaniu mieć te same potęgi "r", by później współczynniki stojący przy tej potędze przyrównać do zera: Szablon:CentrujWzór Grupując względem tych samych potęg w Szablon:LinkWzór, zatem równanie iteracyjne między współczynnikami (pierwsze równanie poniżej) i warunek brzegowy (drugie równanie) przedstawia się: Szablon:ElastycznyWiersz Następnie możemy wyregułować wyrazy z m-1, jeśli Szablon:LinkWzór pomnożymy przez "a" a Szablon:LinkWzór przez Szablon:Formuła, pamiętając jednak, że zachodzi tożsamość: Szablon:Formuła, mamy: Szablon:CentrujWzór Co kończy dowód powyższego lematu.

Po tych operacjach odejmujemy obustronnie tak otrzymane oba te równania, możemy napisać, że: Szablon:CentrujWzór Grupujemy wyrazy względem Szablon:Formuła i Szablon:Formuła w Szablon:LinkWzór, mamy: Szablon:CentrujWzór Jest to ogólny związek wziążacy współczynniki Szablon:Formuła z Szablon:Formuła. Zbieżność szeregu dla dużych m według Szablon:LinkWzór można tak zapisać, by we wspomnianym równaniu można pominąć wszystkie składniki za wyjątkiem wyrazów z m, bo wyrazy z m są o wiele większe niż bez niego, zatem dla dużego m ostatnie równanie możemy zapisać wedle schematu: Szablon:CentrujWzór Tożsamość Szablon:LinkWzór dla dużych m, podobnie jak przy pisaniu Szablon:LinkWzór, przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Podstawiamy zależność Szablon:LinkWzór do ostatniego równania Szablon:LinkWzór w celu wyznaczenia zależności iteracyjnej współczynników Szablon:Formuła występujących w Szablon:LinkWzór, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Dla dużych "m" prawie nieskończonych, równanie Szablon:LinkWzór przechodzi w równoważną równość: Szablon:CentrujWzór Ostatecznie otrzymujemy z równości Szablon:LinkWzór stosunek dwóch współczynników dSzablon:Sub występujących w szeregu Szablon:LinkWzór jako stosunek czynnika o wskaźniku dolnym m przez współczynnik o wskaźniku m-1: Szablon:CentrujWzór Tak samo jak w ilorazie Szablon:LinkWzór, który zachodzi dla dużych m, które zachowują się jak współczynniki szeregu eksponencjalnego o wykładniku 2ar, że w ten sam w sposób, ale dla dużych m dokładnie to samo: Szablon:CentrujWzór

• gdzie:

Szablon:CentrujWzór Funkcja eSzablon:Sup dąży w nieskończonościach do nieskończoności, zatem aby nasz szereg był zbieżny w nieskończoności musimy urwać nasz szereg uSzablon:Sub(r) Szablon:LinkWzór na pewnym wyrazie, by on był zbieżny w nieskończoności, podobnie wnioskujemy dla drugiego szeregu, czyli uSzablon:Sub(r) Szablon:LinkWzór. Wiadomo,że jeśli bSzablon:Sub=0, to dSzablon:Sub=0 na podstawie Szablon:LinkWzór. Jeśli nasze szeregi, zarówno dla uSzablon:Sub(r) lub dla uSzablon:Sub(r), należy urwać na pewnym wskaźniku m=s+1. Zbierając wszystko z równania Szablon:LinkWzór, podstawiamy za wyrazy ze wskażnikiem m+1 jako zero (bo urywamy), a wyrazy ze wskaźnikiem m pozostawiamy i dalej zamieniamy m na s, jeśli ostatnio w naszym równaniu Szablon:LinkWzór dokonaliśmy podstawienia m=m'+1, tylko wtedy można tak źrobić, a drugie wyrażenie Szablon:LinkWzór przepisujemy wstawiając za m wskaźnik s: Szablon:ElastycznyWiersz Ponieważ oba współczynniki rozwinięcia nie mogą być równe zero, podstawiamy równanie wynikające z Szablon:LinkWzór, tzn. wyznaczamy z niego wyrażenie na bSzablon:Sub, to wszystko podstawiamy za ten sam współczynnik do tożsamości Szablon:LinkWzór, mamy: Szablon:CentrujWzór Dzielimy obie strony Szablon:LinkWzór przez wyrażenie w ogólności niezerowe cSzablon:SubdSzablon:Sub, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Dokonujemy dalszych przekształceń w tożsamości Szablon:LinkWzór, wtedy: Szablon:CentrujWzór Po podstawieniu za aSzablon:Sup wzoru napisanego według Szablon:LinkWzór do równania Szablon:LinkWzór wyrażając je względem stałych cSzablon:Sub i cSzablon:Sub, narazie zapominając od definicji tychże stałych, mamy: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór mnożymy przez cSzablon:Sub, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Do równania Szablon:LinkWzór wstawiając stałe za "a" Szablon:LinkWzór (jego definicja zależy od energii całkowitej cząstki i zależności od jego masy spoczynkowej), cSzablon:Sub Szablon:LinkWzór(definicja) oraz cSzablon:Sub Szablon:LinkWzór (definicja) Szablon:CentrujWzór Pomnóżmy ostatnie równanie przez stałą zależną od stałej kreślonej Plancka i prędkości światła Szablon:Formuła, mamy: Szablon:CentrujWzór Podnieśmy równanie Szablon:LinkWzór do kwadratu w celu usunięcia niewymierności we wspomnianym ostatnio równaniu, można powiedzieć: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy z Szablon:LinkWzór parametr E, który jest energią cząstki wynikająca z mechaniki kwantowej Diraca, która jest wartością własną operatorta energii całkowitej, zatem otrzymujemy ostatecznie: Szablon:CentrujWzór Teraz zajmniemy się dwoma warunkami brzegowymi dla m=1, tzn. Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór: Szablon:ElastycznyWiersz |} Te dwa ostatnie równania możemy przekształcić, czyli Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, do równoważnej bardziej uproszczonej postaci: Szablon:ElastycznyWiersz Dwa ostatnie dwa równania dzielimy obustronnie przez siebie, tzn. równości Szablon:LinkWzór przez Szablon:LinkWzór, wtedy mamy pojedynczy wzór na warunek brzegowy: Szablon:CentrujWzór Następnie w Szablon:LinkWzór wyznaczmy wzór na stałą μ występujących w szeregach potęgowych w wykładnikach potęg, czyli w Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór A zatem energia całkowita elektronu otrzymujemy, podstawiając stałą μ zdefiniowaną wedle Szablon:LinkWzór do wzoru na całkowitą energię elektronu Szablon:LinkWzór, wtedy mamy wniosek: Szablon:CentrujWzór Dokonajmy przybliżeń w tym celu obierzmy stałą n^', która jest zależna od kwantowej liczby k zdefiniowanej wedle Szablon:LinkWzór, stałej struktury subtelnej i elementu s, definiujemy ją wedle: Szablon:CentrujWzór Podstsawienie napisaną wedle tożsamości Szablon:LinkWzór podstawiamy do wzoru na energię Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Rozłóżmy wyrażenie Szablon:LinkWzór w szereg Taylora względem parametru αSzablon:Sup, czyli kwadratu stałej struktury subtelnej, który wygląda tak samo jak w punkcie Szablon:LinkWzór, tylko mamy inną definicję n', w przeciwieństwie dla atomu wodoru według Kleina-Gordona, czyli Szablon:LinkWzór, a w teorii Diraca mamy definicję tego parametru w postaci Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Rachunki będziemy prowadzić do czwartej potęgi przy dokonaniu przybliżenia liczby n^' dla małego współczynnika kwadratu struktury subtelnej αSzablon:Sup: Szablon:CentrujWzór

• gdzie

Szablon:CentrujWzór Ponieważ s≥1 i k jest takie, że Szablon:LinkWzór, a żeby zachodziło Szablon:LinkWzór, to dostajemy dalsze ograniczenia na liczbę kwantową k jako wartości własnej równania własnego dla operatora Szablon:LinkWzór, zatem: Szablon:CentrujWzór Określmy odwrotność parametru n' napisaną w sposób przybliżony wyrażenia Szablon:LinkWzór, dokonując w nim dalszych przybliżeń dla małości wyrazów występujących w nawiasie wspomnianego wyrażenia występującego po jedynce: Szablon:CentrujWzór Odwrotność kwadratu z liczby n' Szablon:LinkWzór napiszemy wychodząc od Szablon:LinkWzór z dokładnością do drugiej potęgi z liczby α: Szablon:CentrujWzór Odwrotność czwartej potęgi z liczby n' Szablon:LinkWzór napiszemy wychodząc od Szablon:LinkWzór z dokładnością do zerowej potęgi liczby α: Szablon:CentrujWzór Podstawiamy wzór Szablon:LinkWzór (odwrotność zmiennej n'), Szablon:LinkWzór (kwadrat odwrotności zmiennej n') do Szablon:LinkWzór będących rozwinięciem w szereg Taylora względem omawianego tam parametru, który zapiszemy z dokładnością do trzech wyrazów w nawiasie, dostajemy: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy energię ESzablon:Sub, którą jak udowodnimy jest to energia obliczoną z nierelatywistycznej teorii kwantowej, wychodząc z wyrażenia: Szablon:CentrujWzór Wyrażenie na całkowitą energię elektronu w polu jadra atomowego wodoru, uwzględniając efekty relatywistyczne, jest równa sumie energii spoczynkowej elektronu, energii obliczonej wedle mechaniki kwantowej nierelatywistycznej i z poprawką zależną od tej energii i od k-tej liczby kwantowej, ale też od głównej liczby kwantowej (jest ona również zależna od czynniku struktury subtelnej α, która jest względnie mała i dlatego w teorii nierelatywistycznej ten trzeci składnik jest często pomijany), zatem ta nasza energia elektronu w polu jądra atomowego atomu wodoru jest równa na podstawie Szablon:LinkWzór i obliczeń pomocniczych Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Policzmy skrajną różnicę poziomów dla ściśle określonego n między orbitalną liczbą kwantową k=1 a k=n, bo ta liczba przyjmuje wartości skwantowane wedle schematu Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Co zgadza się z doświadczeniem, w porównaniu z teorią Kliena-Gordona mamy dwukrotną redukcję rozszczepienia poziomu n.

Ruch swobodny elektronu według teorii Diraca

W trym rozdziale rozważmy ruch swobodny elektronu w teorii Diraca, napiszemy czemu jest równa energia cząstki znając jej wartość pędu, rozważmy najpierw macierze w postaci czteroskładnikowych bispinorów. Mając reprezentację operatorów $\hat{\alpha }$ przystąpijmy do dyskusji zagadnienia własnego elektronu według teorii Diraca Szablon:LinkWzór bez pola elektromagnetycznego: Szablon:CentrujWzór

• gdzie: ψ jest bispinorem, którego współrzędne zależą od czasu i przestrzeni.

Zakładamy, że zależność czasowo-przestrzenną funkcji falowej jako rozwiązania zależnego od czasu, przedstawia się ona w postaci fali płaskiej, z dokładnością do amplitudy, która jest wektorem pionowym, gdy mamy cząstkę o pędzie Szablon:Formuła i o energii E: Szablon:CentrujWzór Wówczas bispinor z amplitudą, która jest wektorem pionowym, jako całkowita funkcja falowa rozwiązania Diraca, będzie miało postać: Szablon:CentrujWzór Po wstawieniu do równania Diraca elektronu swobodnego Szablon:LinkWzór wyrażenia Szablon:LinkWzór, dochodzimy do wniosku: Szablon:CentrujWzór Następnie wstawiamy, za macierze Szablon:Formuła, gdzie i=x,y,z Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór oraz Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór do wzoru Szablon:LinkWzór, który stanowi równanie niezależne od czasu mechaniki kwantowej Diraca, otrzymujemy ostatecznie: Szablon:CentrujWzór Dokonując niewielkich przekształceń w Szablon:LinkWzór, tak by odpowiednie skalary i ich współrzędne pędu przenieść w granicę macierzy ściśle określonych: Szablon:CentrujWzór I ostatecznie otrzymujemy układ równań różniczkowych, wychodząc od Szablon:LinkWzór, w taki sposób by wszystko znajdowało się pod macierzą w pierwszym czynniku, a drugim czynnikiem jest wektor Szablon:Formuła, wtedy w ten sposób otrzymaliśmy układ równań jednorodnych zapisanej w postaci działań na macierzach: Szablon:CentrujWzór Warunkiem niezerowania się bispinorów (niezerowych rozwiązań) jest wyznacznik macierzy, występujący w Szablon:LinkWzór przed bispinorem, który jest równy zero: Szablon:CentrujWzór Z zerowania się wyznacznika otrzymujemy zależność energii elektronu w zależności od jego wartości pędu i jego masy spoczynkowej: Szablon:CentrujWzór Co daje nam z Szablon:LinkWzór wyrażenie na całkowitą energię elektronu tejże cząstki, jako wartość własna równania własnego operatora energii elektronu swobodnego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Widzimy z Szablon:LinkWzór, że energia całkowita elektronu przyjmuje zarówno energię dodatnie jak i ujemne przy tym samym jego wartości pędu, którego interpretację podamy w następnym rozdziale.

Stany elektronu o ujemnej energii, a istnienie pozytonu

W dyskusji swobodnego elektronu mamy energię dodatnią i energię ujemną według Szablon:LinkWzór. Jeśli każdy stan według szczególnej teorii względności można przedstawić: Szablon:CentrujWzór Co by odpowiadało ujemnej masie dla ujemnych energii. Różnica energii pomiędzy dwoma stanami jest: Szablon:CentrujWzór W mechanice kwantowej są możliwe przeskoki energetyczne, ze stanu o energii ujemnej do dodatniej i odwrotnie. Oczywiste przejście od energii ujemnej do dadatniej jest możliwe poprzez dostarczenie pewnej energii. Przeskok elektronu pomiędzy stanami o tych energiach może odbywać się zgodnie z zakazem Pauliego. W powyższej interpretacji jest to po prostu, gdy mamy stan zerowy, co odpowiada powstawaniu pary elektron-pozyton.