Matematyka dla liceum/Trygonometria/Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego

Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego

Miara kąta skierowanego na płaszczyźnie zorientowanej

Przykład kąta skierowanego

Ramieniem początkowym kąta $\alpha$ jest półprosta wyróżniona na Szablon:Kolor, a ramieniem końcowym półprosta koloru Szablon:Kolor. Szablon:Koniec grafiki

Plik:XOY plus.png	Plik:XOY minus.png
Przykład płaszczyzna zorientowana 1: Układ współrzędnych zorientowany dodatnio.	Przykład płaszczyzna zorientowana 2: Układ współrzędnych zorientowany ujemnie.

Kątowi skierowanemu $\overrightarrow{AOB}$ na płaszczyźnie zorientowanej przyporządkowujemy ten kąt nieskierowany AOB (wypukły lub wklęsły) w którym leży łuk o początku w punkcie L i końcu w punkcie K, mający zwrot dodatni.

Plik:Kat skier AOB LK.png Plik:Kat skier AOB LK va.png

Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego

Przykład 1.

Plik:Kąt w położeniu standardowym, P(3,1).png

Niech ramię początkowe kąta $\alpha$ pokrywa się z dodatnią półosią OX, a ramię końcowe przechodzi przez punkt $P(3,1)$. Wyznaczmy wartości funkcji sinus, cosinus, tangens i cotangens dla tego kąta. Ponieważ wartości funkcji trygonometrycznych nie zależą od wyboru punktu należącego do końcowego ramienia kąta, zatem możemy wykorzystać do tego współrzędne punktu $P(3,1)$:

• $\sin \alpha =\frac{y}{r}=\frac{1}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$
• $\cos \alpha =\frac{x}{r}=\frac{3}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$
• $\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =\frac{y}{x}=\frac{1}{3}$
• $\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =\frac{x}{y}=\frac{3}{1}=3$

Szablon:Indeksuj Mówimy, że kąt jest w położeniu standardowym, jeśli kąt został umieszczony tak w układzie współrzędnych, że jego ramię początkowe pokrywa się z dodatnią osią OX.

Przykład 2.

Plik:Kąt w położeniu standardowym, P(-3,4).png

Kąt $\alpha$ znajduje się w położeniu standardowym. Końcowe ramię przechodzi przez punkt $P(-3,4)$. Wyznaczmy $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha$, $\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha$.

• $\sin \alpha =\frac{4}{\sqrt{(-3{)}^2+4^2}}=\frac{4}{\sqrt{25}}=\frac{4}{5}$
• $\cos \alpha =\frac{-3}{\sqrt{(-3{)}^2+4^2}}=\frac{-3}{\sqrt{25}}=-\frac{3}{5}$
• $\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =\frac{4}{-3}=-\frac{4}{3}$
• $\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =\frac{-3}{4}=-\frac{3}{4}$

Przykład 3.

Plik:Kąt w położeniu standardowym, P(-2,-4).png

Kąt $\alpha$ znajduje się w położeniu standardowym. Końcowe ramię przechodzi przez punkt $P(-2,-4)$. Obliczmy $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha$, $\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha$.

• $\sin \alpha =\frac{-4}{\sqrt{(-2{)}^2+(-4{)}^2}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• $\cos \alpha =\frac{-2}{\sqrt{(-2{)}^2+(-4{)}^2}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$
• $\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =\frac{-4}{-2}=2$
• $\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}$

Szablon:Nawigacja