Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Wartość bezwzględna liczby

Wartość bezwzględna liczby nazywana jest także czasami modułem lub wartością absolutną liczby.

Zobaczmy kilka przykładów:

• $|4|=4$
• $|-5|=5$
• $|30-40|=|-10|=10$
• $|4-3|=|1|=1$
• $|3-\pi |=\pi -3$

Bezwzględna wartość to odległość liczby od zera.

Własności

Szablon:Indeksuj Dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzą poniższe własności:

• $|x|⩾0$
• $|x|=|-x|$
• $|x|=\sqrt{x^2}$
• $|x\cdot y|=|x|\cdot |y|$
• $\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|},y\ne 0$

Interpretacja geometryczna

Szablon:Indeksuj Wartość bezwzględną liczby można interpretować jako odległość współrzędnej tego punktu od punktu zerowego:

Plik:Wartość bezwzględna jako odległość.png

Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną

Przy rozwiązywaniu równania można wykorzystać własność:

• $|x|=a⟺(x=a\vee x=-a)$

Przykład 1. W przypadku równań z jedną wartością bezwzględną można posłużyć się tylko definicją, np.:

$|x+4|=2$

$x+4=2\vee x+4=-2$

$x=-2\vee x=-6$

Przykład 2. Jeżeli wartości bezwzględnych jest więcej, równanie liczy się inną metodą. Oto przykładowe równanie:

$|x+4|+|x-2|=6$

Tutaj również należy posłużyć się definicją. Pierwsze wyrażenie objęte wartością bezwzględną jest ujemne w przedziale $(-\mathrm{\infty };-4)$ i dodatnie w przedziale $(-4;+\mathrm{\infty })$. Natomiast drugie wyrażenie jest ujemne w przedziale $(-\mathrm{\infty };2)$ i dodatnie w przedziale $(2;+\mathrm{\infty })$. Dostajemy więc trzy przedziały, które należy rozpatrzeć (jeśli tego nie widzimy od razu, warto rozrysować sobie cztery wcześniejsze zbiory na osi liczbowej i zobaczyć, jaką pozycję względem siebie zajmują):

1. $(-\mathrm{\infty };-4)$ gdzie oba wyrażenia są ujemne
2. $[-4;2)$ gdzie pierwsze jest nieujemne a drugie ujemne
3. $[2;+\mathrm{\infty })$ gdzie oba wyrażenia są nieujemne

W przypadku pierwszej wartości bezwzględnej, jeżeli $x<(-4)$ trzeba będzie zmienić w niej znaki występujące przy liczbach, gdyż musi ona być dodatnia. Tą metodą tworzy się przedziały. I teraz należy obliczyć równanie do każdego z przedziałów.

$x\in (-\mathrm{\infty };-4)$

W tym przypadku zmienią się znaki dla każdej wartości bezwzględnej:

$-x-4-x+2=6$

$x=-4$

Liczba ta nie należy do przedziału, więc w przedziale $x\in (-\mathrm{\infty };-4)$ równanie nie ma rozwiązań.

$x\in [-4;2)$

$x+4-x+2=6$

$6=6$

Tożsamość. Oznacza to, że w przedziale $x\in [-4;2)$ każda liczba spełnia równanie.

$x\in [2;\mathrm{\infty })$

$x+4+x-2=6$

$x=2$

Liczba należy do przedziału, czyli x=2 jest rozwiązaniem równania.

Podsumowując wcześniejsze obliczenia otrzymujemy wniosek, iż:

$x\in [-4;2]$

Przykład 3.

$|x+4|-|2x+3|+3|x-1|=7$

Najprostszą metodą wyznaczania przedziałów jest wyobrażenie sobie liczb pod modułem jako miejsc zerowych funkcji liniowych.

$x+4=0⟹x=-4$

$2x+3=0⟹x=-\frac{3}{2}$

$x-1=0⟹x=1$

W ten sposób wyznaczone zostały przedziały, więc teraz wystarczy już tylko wykonać obliczenia.

$x\in (-\mathrm{\infty };-4)$

$-x-4+2x+3-3x+3=7$

$x=-\frac{5}{2}$

W tym przedziale nie ma rozwiązań.

$x\in [-4;-\frac{3}{2})$

$x+4+2x+3-3x+3=7$

$10=7$

Sprzeczność. W tym przedziale także nie ma rozwiązań.

$x\in [-\frac{3}{2};1)$

$x+4-2x-3-3x+3=7$

$x=-\frac{3}{4}$

Ta liczba należy do przedziału, więc jest rozwiązaniem równania.

$x\in [1;\mathrm{\infty })$

$x+4-2x-3+3x-3=7$

$x=\frac{9}{2}$

Ta liczba należy do przedziału więc jest rozwiązaniem równania.

Podsumowując:

$x\in \{-\frac{3}{4};\frac{9}{2}\}$

To samo można zapisać w postaci:

$x=-\frac{3}{4}\vee x=\frac{9}{2}$

Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną

Szablon:Indeksuj Szablon:MDL:Rozszerzony Przy rozwiązywaniu nierówności można wykorzystać poniższe własności:

• $|x|<a⟺-a<x<a⟺(x>-a\wedge x<a)$
• $|x|⩽a⟺-a⩽x⩽a⟺(x⩾-a\wedge x⩽a)$
• $|x|>a⟺(x<-a\vee x>a)$
• $|x|⩾a⟺(x⩽-a\vee x⩾a)$

W przypadku niektórych nierówności możemy posłużyć się którąś z powyższych własności np.:

$|x+5|⩽10$ wykorzystując własność $|x|⩽a⟺(x⩾-a\wedge x⩽a)$, gdzie zamiast x postawiamy x+5, a zamiast a liczbę 10 otrzymujemy:

$|x+5|⩽10⟺(x+5⩾-10\wedge x+5⩽10)$

$(x⩾-15\wedge x⩽5)$

Odp. $x\in [-15;5]$.