Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Monotoniczność ciągu

Monotoniczność ciągu

Szablon:Indeksuj Szablon:Indeksuj Podobnie jak dla funkcji tak i dla ciągu możemy zdefiniować monotoniczność. Spójrzmy na ciąg:

$(a_n)=(5,10,30,50,90,100,1000,10000)$

Domyślamy się, że ciąg ten jest ciągiem rosnącym, ponieważ liczby w ciągu są coraz większe, czyli $5<10<30<50<\dots <10000$. Ogólnie mówiąc n-ty wyraz jest mniejszy od następnego, czyli $a_n<a_{n+1}$, a to możemy zapisać jako:

Szablon:Wzór

Szablon:Indeksuj Podobnie ciąg:

$(b_n)=(1000,999,998,997,996,995,994,\dots )$

będzie ciągiem malejącym, ponieważ $1000>999>998>997>\dots$. W tym przypadku dla n-tego wyrazu będziemy mieli $a_n>a_{n+1}$, czyli:

Szablon:Wzór

Szablon:Indeksuj Zobaczmy kolejny przykład:

$(c_n)=(1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,\dots )$.

ciąg ten prawie rośnie, ale jednak nie rośnie, ponieważ np. $c_2=c_3=2$. Ciąg ten jest ciągiem niemalejącym, więc zachodzi w nim:

Szablon:Wzór

Szablon:Indeksuj Skoro ciąg może być ciągiem niemalejącym, to może i być ciągiem nierosnącym. Stwórzmy odpowiedni przykład:

$(d_n)=(16,16,16,8,8,8,4,4,4,2,2,2,\dots )$

Już wiemy, że ciąg ten jest nierosnący, co oznacza, że zachodzi:

Szablon:Wzór

$(e_n)=(-5,-5,-5,-5,\dots )$ Wszystkie wyrazy mają taką samą wartość. Czyli ten ciąg jest stały.

Szablon:Indeksuj Spójrzmy teraz na ten ciąg:

$(f_n)=(1,-10,203,-50,30,40,-80,100,\dots )$

Analizując ten przykład nie możemy stwierdzić, że jest on rosnący czy malejący. O takim ciągu mówimy, że jest ciągiem niemonotonicznym. Szablon:Mat:Def

Szablon:Nawigacja