Fizyka wyższa/Energia, pęd i moment pędu pola elektromagnetycznego

Praca pola elektromagnetycznego na cząstce naładowanej

Siła Lorentza

Jeżeli pole elektromagnetyczne jest zadane przez w każdym punkcie przestrzeni przez wektory natężenia elektrycznego i indukcji magnetycznej $𝐄,𝐁$ aoraz w polu tym porusza się cząstka naładowana o ładunku $q$ z prędkością $𝐯$, tp pole działa na cząstkę siłą Lorentza

$𝐅=q(𝐄+𝐯\times 𝐁)$

Praca pola elektromagnetycznego

Jeżeli ładunek przemieści się o odcinek $\mathrm{d}𝐥$ , to pole wykona pracę $\mathrm{d}W=𝐅\mathrm{d}𝐥$. Ponieważ $\mathrm{d}𝐥=𝐯dt$ , to otrzyma się

$\mathrm{d}W=𝐅\mathrm{d}𝐥$$=q(𝐄𝐯)\mathrm{d}t$

Moc pola

Praca wykonana przez pole elektromagnetyczne w objętości $V$ oraz w jednostce czasu czyli moc wynosi

$\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}=\underset{V}{\int }𝐄q𝐯dV$

lub

$\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}=\underset{V}{\int }𝐄𝐣dV$

gdzie

$𝐣=q𝐯$ - prąd elektryczny związany z przemieszczeniem cząstki.

Energia pola elektromagnetycznego

Moc promieniowania pola el-m

Korzystając z równań Maxwella moc promieniowania pola elektromagnetycznego można zapisać w postaci

$\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}=\underset{V}{\int }(-\frac{\partial \mathit{\epsilon }}{\partial t}-\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(𝐒))dV$

gdzie

$\mathit{\epsilon }=\frac{1}{2}(𝐄𝐃+𝐇𝐁)$ - gęstość energii pola elektromagnetycznego

$𝐒=𝐄\times 𝐇$ - wektor Pointinga

Równanie ciągłości

Energia pola nie zmienia się, jeżeli pole nie oddziałuje z cząstkami naładowanymi. Oznacza to, że

$\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}=0$

Przyrównując równanie $\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}=\underset{V}{\int }(-\frac{\partial \mathit{\epsilon }}{\partial t}-\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(𝐒))dV$ do zera otrzymuje się tzw. równanie ciągłości

$\frac{\partial \mathit{\epsilon }}{\partial t}+\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(𝐒)=0.$

Równanie ciągłości ma następującą interpretację:

Jeżeli pole nie wymienia energii z cząstkami naładowanymi, to strumień energii $𝐒$ wypływający z obszaru $dV$ tworzy rodzaj prądu energii, tj. $𝐉\equiv 𝐒$, taki że dywergencja tego prądu jest równa ilości energii malejącej w obszarze $dV$.

Równanie ciągłości w wersji relatywistycznej można zapisać podobnie jak dla prawa zachowania ładunku

${\partial }_{\mu }{𝐉}^{\mu }=0$

gdxzie ${𝐉}^0=c\mathit{\epsilon }$

Wektor Pointinga związany jest z gęstością pędu, który niesie samo pole elektromagnetyczne.

${\mathit{\pi }}_{\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{-}\mathrm{m}}={\epsilon }_0{\mu }_0𝐒$

Energia, pęd, moment pędu pola el-m

Klasyczne pole el-m

Pole elektromagnetyczne niesie energię, pęd i moment pędu: dane wzorami

$E_{\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{-}\mathrm{m}}=\int {\mathit{\epsilon }}_{\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{-}\mathrm{m}}dV$

$P_{\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{-}\mathrm{m}}=\int {\mathit{\pi }}_{\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{-}\mathrm{m}}dV$

$L_{\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{-}\mathrm{m}}=\int {\mathit{\lambda }}_{\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{-}\mathrm{m}}dV$

gdzie:

${\mathit{\epsilon }}_{\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{-}\mathrm{m}}=\frac{1}{2}(𝐄𝐃+𝐁𝐇)$ - gęstość energii pola elektromagnetycznego

${\mathit{\pi }}_{\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{-}\mathrm{m}}=(𝐃\times 𝐁)={\epsilon }_0{\mu }_0𝐒$ - gęstość pędu pola elektromagnetycznego; $𝐒=𝐄\times 𝐇$ - wektor Pointinga

${\mathit{\lambda }}_{\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{-}\mathrm{m}}=𝐫\times {\mathit{\pi }}_{\mathrm{e}\mathrm{l}}$ - gęstość momentu pędu pola elektromagnetycznego

Kwantowe pole el-m

Powyższe wzory przestają być słuszne dla małych porcji energii pola elektromagnetycznego. W takich sytuacjach ujawnia się dyskretny (kwantowy) charakter pola elektromagnetycznego. Np. w zjawisku fotoelektrycznym pole elektromagnetyczne musi być traktowane jako złożone z kwantów (porcji) energii, przy czym najmniejsza ilość energii jest równa

$E=h\nu$

gdzie $h$ - stała Plancka, $\nu$ - częstotliwość pola elektromagnetycznego

Fakt ten doprowadził do powstania mechaniki kwantowej.

Szablon:Nawigacja